2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省保定市安国中学高二（上）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设点在平面上的射影为，则等于( )
A. B. C. D.
2.若直线的倾斜角为，则实数值为( )
A. B. C. D.
3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为，则到左焦点的距离为( )
A. B. C. D. 或
4.点是直线上的动点，，是圆：的两条切线，，是切点，则三角形周长的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6.“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
7.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的图象不关于原点对称
B. 曲线经过个整点横、纵坐标均为整数的点
C. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线：，为上的动点，过点作曲线的两条切线、，切点为、，则下列说法中正确的是( )
A. 的最小值为
B. 线段的最小值为
C. 的最小值为
D. 当最小时，直线的方程为
10.已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为，是，在准线上的射影，则下列命题不正确的是( )
A. B.
C. D. 为直角三角形
11.已知曲线，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则曲线表示两条直线
B. 若，则曲线是椭圆
C. 若，则曲线是双曲线
D. 若，则曲线的离心率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知椭圆的长轴长为，离心率为若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为______．
13.在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则 ．
14.如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，以下正确的是______．
；
存在点，使得面；
的最小值为；
存在点，使得与面所成线面角的余弦值为．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知两直线：，：．
求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
已知两点，，动点在直线运动，求的最小值．
16.已知圆过点，圆心在直线上，且直线与圆相切．
求圆的方程；
过点的直线交圆于两点若为线段的中点，求直线的方程．
17.如图，四棱锥中，底面，底面为菱形，，，分别为的中点．

证明：平面；
求二面角的正弦值．
18.如图，在三棱柱中，，，是棱的中点．
证明：；
若三棱锥的体积为，问是否在棱上存在一点使得平面？若存在，请求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
19.由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆：．
若椭圆：，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：联立，解得，，
可得两条直线的交点为，
设垂直于直线的直线的方程为：，
将交点代入可得：，
解得，
所以所求直线方程为；
由得两直线的交点为，
当所求的直线过原点时，直线的方程为：，
当所求的直线不过原点时，设方程为，
把交点代入可得，求得，
可得所求的直线方程为，
综上，所求的直线方程为或；
设点关于直线对称的点为，，
联立，解得，
即，
可得，
当且仅当，，三点共线时取等号．
故的最小值为．
16.解：设圆的方程为，，
因为圆过点，所以，
又因为圆心在直线上，所以，
直线与圆相切，得到，
由解得：，
因此圆的方程为；
设，因为为线段的中点，所以，
因为在圆上，所以，解得或
当时，由可知直线的方程为，
当时，由可得斜率，
故直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或．

17.解：连接，如下图所示：

由底面，底面，可得，
又因为底面为菱形，所以，
显然平面，
因此平面，
又分别为的中点，所以，
即平面；
记的交点为，取的中点为，连接，
易知，由可得平面，
又平面，所以，
因为，所以两两垂直；
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系；

又，，所以，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则，
即为平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，
可得，解得，令，则，
即为平面的一个法向量，
可得，
设二面角为，
可得，
所以二面角的正弦值为．

18.证明：如图，取中点，连接，，C.
因为，所以，
因为，，，
所以与全等，
所以，所以，
因为，E、平面，
所以平面，
因为平面，所以．
解：不存在，理由如下：
由得，平面，
因为平面，
所以平面平面，
如图，过点作于点．

因为平面平面，平面，所以平面，
由题意得，，，，
所以，设三棱柱的高为，
因为三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，即，
所以，即，
所以，所以点为中点．
取中点，则，所以．
故以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，．
设，则，
所以，
要使平面，则需且，
由得，，解得，
由得，，解得，
由两个方程解出值不同，可得在棱上不存在点使得平面．
19.解：椭圆与相似．-------------------分
因为椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为：-------------------分
：或
设：，点，，中点为，
则，所以-------------------分
则，------------------分
因为中点在直线上，所以有，-------------------分
即直线的方程为：，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程有两个不同的实数解，
所以，即．
第1页，共1页