2024-2025学年福建省福宁古五校教学联合体高二上学期期中质量检测数学试题（含答案）

2024-2025学年福宁古五校教学联合体高二上学期期中质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.已知是等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是( )
A. 若是等差数列，则是等差数列
B. 若是等比数列，则是等比数列
C. 若是等差数列，则是等比数列
D. 若是等比数列，则是等差数列
4.已知数列的通项公式为，下列说法正确的是( )
A. 数列从第项起各项数值逐渐增大
B. 当时，取最大值
C. 是该数列的项
D. 数列的图象与的图象相同
5.圆与圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 相交 C. 外切 D. 内切
6.已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知直线将圆分成面积分别为，的两个部分，当的值取最大时，的值为( )
A. B. C. D.
8.一个弹力球从高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第次着地后，它经过的总路程超过，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，，则下列说法正确的是( )
A. 若满足在轴上的截距与在轴上的截距相等，则
B. 必过定点
C. 若，则或
D. 若，则
10.已知圆，点，直线不全为，则下列说法正确的是( )
A. 若与圆相切，则点在上 B. 若与圆相交，则点在外
C. 若与圆相离，则点在内 D. 若与圆相离，则点在外
11.斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用斐波那契数列可以用如下方法定义：，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线与之间的距离是
13.已知圆与轴交于，两点点在点的左边，动点满足，则的面积最大值为 ．
14.定义在上的函数满足对任意的，都有为常数，且，设，数列的前项和为，当且仅当时，取到最大值，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和，其中．
求数列的通项公式；
若对于任意正整数，都有，求实数的最小值．
16.本小题分
已知直线过点，且的一个法向量是．
求直线的方程；
若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程；
在的条件下，求的角平分线所在的直线方程．
17.本小题分
设数列满足，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知直线和圆交于、两点．
当时，求直线被圆所截得的弦长；
探究：轴的负半轴上是否存在一个定点，使得轴平分，如果有，求出点坐标，如果没有，说明理由．
19.本小题分
定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列．
已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；
设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；
若、都
和谐数列，证明也是和谐数列．
参考答案
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15.
当时，，
则，
当时，，满足上式，所以．
由
．
所以，即的最小值为．

16.
因为直线的一个法向量是，
又过点所以可得直线的方程为，
化简得，所以所求直线的方程为．
因为直线与轴交于点，由知的方程为，所以，
因为，所以，
将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，
则，所以．
由点可知直线方程为，即．
设直线的倾斜角为，因为，
所以，，则，
所以，的角平分线所在直线的倾斜角为，
则的角平分线所在直线的斜率为
，
因此，的角平分线所在直线的方程为，即．

17.
依题意有，
所以，，，．
累加这个式子得，，
又，所以显然满足上式，所以．
由知，所以，
，
两式相减得：，
所以，
整理得．

18.
当时，直线，圆心到直线的距离，圆的半径为
所以．
假设存在点满足题意，设点坐标为，点坐标为，点坐标为，
依题意有平分，则，
所以，即，
又，
所以上式可化为，
即．
由，得，
易知，，，
因此，，
即，
又，则，整理得，
因此轴上存在一个定点符合题意．

19.
解：是和谐数列，
理由如下：，
上式，
所以，数列是和谐数列．
证明：因为是和谐数列，所以存在常数，对任意的，
有，
即．
则
．
所以数列是和谐数列．
解：若数列、是和谐数列，则存在常数、，
对任意的，有，
，
，
即，同理：．
因为，所以，
所以．
记，，
则有
，
所以
，
所以，数列也是和谐数列．

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