屯溪一中2024-2025学年度第一学期期中质量检测
高三数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.C
2.A
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B
8. D
【解析】
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）
9. AD
10. ACD
11. ABD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12.
【答案】
13.
【答案】
14.
【答案】
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.
【解析】
【分析】（1）根据得到为公差为2的等差数列，利用等差数列求通项公式求出，再设的公比为，列出方程，求出，得到通项公式；
（2）化简得到，故为公差为3的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案.
【小问1详解】
因为，
故为公差为2的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，
则，解得或，
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
【小问2详解】
，则，
故为公差为3的等差数列，
故.
16.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可证；
（2）由正弦定理及三角形面积公式可得答案.
【小问1详解】
由正弦定理，知，
所以，即为，
所以，
即，
所以
因，，
所以或，即或（舍去）；
【小问2详解】
由，得，
所以，即
由余弦定理，得，
即，解得，
所以
又由，可得，
得，
所以的面积
17.
【解析】
【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证；
（2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解.
【小问1详解】
证明：连接．
因为是的中点，所以．
分因为，且，所以四边形是正方形，
则．
因为平面，且，
所以平面．
【小问2详解】
解：
作，垂足为，连接.
由（1）可知平面．又平面，所以．
因为平面，且，所以平面．
因为平面，所以，则是二面角的平面角．
记，连接，则是的中点．
因为，且是的中点，所以．
因为平面，且平面，所以．
连接．因为平面，且，所以平面，
则四棱锥为正四棱锥，故．
因为的面积，
即，
所以．
同理可得．
在中，由余弦定理可得，
则，即二面角的正弦值为
18.
【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定在上的性，再计算最值得到答案；
（2）（ⅰ）计算得到，确定，设，根据函数的单调性结合，得到证明；
（ⅱ）求导得到导函数，考虑，，三种情况，构造，确定函数的单调区间，根据，，得到零点个数.
【小问1详解】
，，令得到，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，，，
故在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
（ⅰ），
，
，故，
设，函数单调递增，
，.
根据零点存在定理知；
（ⅱ），，，
设，，
当时，，故，单调递增，，故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，
故在单调递增，在上单调递减，
，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
，故，，故函数在上有1个零点.
综上所述：在区间上的零点个数为2.
19.
【解析】
【分析】（1）结合曼德拉数列的定义，分公比是否为1进行讨论即可求解；
（2）结合曼德拉数列的定义，首先得,然后分公差是大于0、等于0、小于0进行讨论即可求解；
（3）记中非负项和为，负项和为，则，进一步，结合前面的结论以及曼德拉数列的定义得出矛盾即可求解.
【小问1详解】
设等比数列的公比为.
若，则由①得，得，
由②得或.
若，由①得，，得，不可能.
综上所述，.
或.
【小问2详解】
设等差数列的公差为，
，
，
即，
当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，
当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，
，
，即，
由得，即，
.
当时，同理可得，
即.
由得，即，
.
综上所述，当时，，当时，.
【小问3详解】
记中非负项和为，负项和为，则，
得，，，即.
若存在，使，由前面的证明过程知：
，，，，，，，，且.
若数列为阶“曼德拉数列”，
记数列的前项和为，则.
，
又，，
.
又，
，，，，
，
又与不能同时成立，
数列不为阶“曼德拉数列”.屯溪一中2024-2025学年度第一学期期中质量检测
高三数学试题
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若全集，则（）
A. B. C. D.
2. 已知命题，则是（）
A. B.
C D.
3. 设各项均为正数的等比数列满足，则等于（）
A. B. C. 11 D. 10
4若，则（）
A. B.
C. D.
5. 已知函数与其导函数图象的一部分如图所示，则关于函数的单调性说法正确的是（）
A. 在单调递减 B. 在单调递减
C. 在单调递减 D. 在单调递减
6. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D. 且
7. 直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则（）
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（）
A B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分）
9. 给出下列四个关系式，其中正确的是（）
A. B.
C. D.
10. （多选）下列说法不正确的是（）
A. 已知，若，则组成集合为
B. 不等式对一切实数恒成立的充分不必要条件是
C. 的定义域为，则的定义域为
D. 不等式解集为，则
11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（）
A. 点和均在上
B. 点的纵坐标的最大值为
C. 的最大值与最小值之和为3
D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 若是定义在上的奇函数，当时，，则______．
13. 函数在上的极小值点为：__________.
14. 函数与和分别交于，两点，设在处的切线的倾斜角为，在处的切线的倾斜角为，若，则________．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求证：
（2）若，，求的面积.
17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，．
（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的正弦值．
18已知函数.
（1）求在区间上的最大值和最小值；
（2）若是函数的极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）讨论在区间上的零点个数.
19. 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：
①；②.
（1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（，用表示）；
（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（，用表示）；
（3）记阶“曼德拉数列”的前项和为，若存在，使，试问：数列能否为阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
