2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（下）开学数学试卷（理科）（解析版）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（下）开学数学试卷（理科）（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 487.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-03-16 16:30:15 | ||
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文档简介
2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（下）开学数学试卷（理科）
一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙 ( http: / / www.21cnjy.com )两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（ ）
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
2．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
3．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是 q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
4．抛物线y=2x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．某公司将职员每月的工作业绩分为1～30共30个级别，甲、乙两职员在2010年一到八月份的工作业绩的茎叶图如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
B．两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
C．两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
D．两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
6．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1
7．在2010年3月15日那天，哈市物价部 ( http: / / www.21cnjy.com )门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（ ）
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
8．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．1＜m＜2 C．m＜﹣1或1＜m＜2 D．m＜﹣1或1＜m＜
11．已知函数f（x）=﹣cosx，若＜a＜b＜，则（ ）
A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（a）f（b）＞0
12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=ax g（x），（a＞0，且a≠1），+=，在有穷数列{}（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于地概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ．
14．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ．
15．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 ．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B= ，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质 ( http: / / www.21cnjy.com )状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
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19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
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20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．
21．已知f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（下）开学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．某产品分为甲、乙、丙三 ( http: / / www.21cnjy.com )级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（ ）
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题．
【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0. 03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．
【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，
抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04
∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96
故选D．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件的概 ( http: / / www.21cnjy.com )率，对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．
2．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由题意知=2，（a＞0），由此可以求出a的值．
【解答】解： =2，（a＞0），
∴a=．
故选B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，比较简单．会利用公式就能求出实数a．
3．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是 q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】先求出条件q和 q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，
∴ q：0≤x≤1．
∴p是 q成立必要不充分条件．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对于条件q，要先解出不等式成立的等价条件，然后再求 q，否则容易出错．
4．抛物线y=2x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先把抛物线化为标准方程为x2=y，再求准线．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，
∴p=，开口朝上，
∴准线方程为y=﹣，
故选D．
【点评】在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．
5．某公司将职员每月的工作业绩分为1～30共30个级别，甲、乙两职员在2010年一到八月份的工作业绩的茎叶图如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
B．两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
C．两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
D．两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
【考点】茎叶图．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据茎叶图所给的两组数据， ( http: / / www.21cnjy.com )分别求出甲和乙两人的工作业绩的平均数，发现平均数相同，再求出两组数据的方差，甲的方差比乙的方差大，得到两个人的业绩平均水平相同，但是乙的比较稳定．
【解答】解：根据茎叶图提供的数据计算得
甲职员的平均业绩=20
乙职员的平均业绩=20
甲的业绩方差（64+25+4+0+0+4+25+64）=23.25
乙职员的业绩方差（36+25+9+1+1+9+25+36）=17.75
∴两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定．
故选C．
【点评】对于两组数据，通常要求的是 ( http: / / www.21cnjy.com )这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．
6．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】根据两个向量的数量积公式可得 4+4y+2x=0，由向量的模的求法可得 =6，解出x和y的值，
即得x+y的值．
【解答】解：由题意可得 =4+4y+2x=0，且 =6，∴x=4，或x=﹣4，
当x=4时，y=﹣3，当x=﹣4时，y=1，∴x+y=1，或 x+y=﹣3，
故选 A．
【点评】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，向量的模的求法，解出x和y的值，是解题的难点．
7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门 ( http: / / www.21cnjy.com )对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（ ）
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题．
【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=﹣b，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值．题目中给出公式，只要代入求解即可，得到结果．
【解答】解：
∵a=﹣b=8﹣（﹣3.2）10=40，
故选D．
【点评】本题考查线性回归方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．
8．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：如图
先将F1D平移到AF，再平移到E1E，
∠EE1B为BE1与DF1所成的角
设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2
cos∠EE1B=，故选A
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；导数的综合应用．
【分析】由题意知，当曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．
【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，
点P到直线y=x﹣2的距离最小．
直线y=x﹣2的斜率等于1，
令y=x2﹣lnx，得 y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1， 1），
点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，
∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．
10．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．1＜m＜2 C．m＜﹣1或1＜m＜2 D．m＜﹣1或1＜m＜
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中y2的分母比x2分母大且是正数，列出不等式组，求出m的范围．
【解答】解：表示焦点在y轴上的椭圆，
∴2﹣m＞|m|﹣1＞0
解得
故选D．
【点评】解决椭圆的方程，注意焦点的位置在哪个坐标轴上，方程中哪个字母的分母就大．
11．已知函数f（x）=﹣cosx，若＜a＜b＜，则（ ）
A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（a）f（b）＞0
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=﹣cosx，
∴f′（x）=sinx﹣，当x∈＜a＜b＜时，
sinx∈（，∈（），此时f′（x）=sinx﹣＞0，
即函数f（x）在（，）上单调递增，即f（a）＜f（b），
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=ax g（x），（a＞0，且a≠1），+=，在有穷数列{}（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于地概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】由f（x）=ax g（x），得ax=，得到y=ax为减函数，由+=，解得a=，1﹣（）n＞，得n＞4，问题得以解决
【解答】解：由f（x）=ax g（x），得ax=，
又（）′=＜0
∴y=ax为减函数，则0＜a＜1，
由+=，得a+=，
解得a=，
∴=，
∴+…+=1﹣（）n，
由1﹣（）n＞，得n＞4．
∴前k项和大于的概率为P==．
故选：C
【点评】考查学生对导数、指数函数的单调性、等比数列求和、古典概型等有关知识的掌握与应用能力，属于中档题
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ．
【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】设P（m，n ），则 =1，m≥，利用两个向量的数量积公式化简的 解析式为
m2+2m﹣1，据 在[，+∞）上是增函数，求出其值域．
【解答】解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=．设P（m，n ），则 =1，m≥．
=（m，n ） （m+2，n）=m2+2m+n2==m2+2m﹣1 关于
m=﹣对称，故 在[，+∞）上是增函数，当 m=时有最小值为 3+2，无最大值，
故的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，化简的 解析式，
是解题的关键，并注意m的取值范围．
14．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 任意一个无理数，它的平方不是有理数 ．
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】计算题．
【分析】特称命题的否定是全称命题，直接考查它对应的全称命题即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：任意一个无理数，它的平方不是有理数．
故答案为：任意一个无理数，它的平方不是有理数．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，注意否定词语的应用．
15．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：两种品牌的彩电齐全的概率：
p==．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式的灵活运用．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 （7，+∞） ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】常规题型．
【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0
解得：x=1或﹣
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．
故答案为：（7，+∞）
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B= ，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题；阅读型．
【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B= ，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；
（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B= ，A∪B=R，得，得a=2，
所以满足A∩B= ，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A B，且A≠ ，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．
18．为了解某市今年初二年级男生的身体 ( http: / / www.21cnjy.com )素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀， ( http: / / www.21cnjy.com )其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）由频率计算公式得样本中第一组共 ( http: / / www.21cnjy.com )有2人，得第二组共有6人．用列举的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．
【解答】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．
所以此次测试总人数为=40．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．
（2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，
则估计从该市初二年级男生中任意选取一人， “掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．
（3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．
从这8人中随机抽取2人共28种情况ab ( http: / / www.21cnjy.com )，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，
事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，
所以事件A的概率P==．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．
【点评】本题给出频率分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com )，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】用空间向量求平面间的夹角．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由已知条件推导出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能证明DM⊥平面SDC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，
由题意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD=BD=，PD⊥BD，M为PB的中点，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，
∴DM⊥平面PDC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0，），M（），
设平面ADM的法向量，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
取y=，得，
同理，设平面ADM的法向量，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
取，得=（），
cos＜＞=﹣，
∵二面角A﹣DM﹣C的平面角是钝角，
∴二面角A﹣DM﹣C的余弦值为﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意， ( http: / / www.21cnjy.com )，解得．
即椭圆方程为
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以．
原点到直线的AB距离，
所以三角形的面积．
由可得k2=2，∴，
所以直线或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．
21．已知f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x﹣ln（x+1）2+a，再求导，讨论其单调性，得到或F（1）=0，继而求出范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2的定义域为{x|x≠﹣1}，
∵f′（x）=2x﹣2﹣=．
令f′（x）＞0，
则x∈（﹣，﹣1）∪（，+∞），
故f（x）的单调递增区间为（﹣，﹣1）和（，+∞）；
（2）由已知得F（x）=x﹣ln（x+1）2+a，
∴F′（x）=1﹣=，
∴当x＜﹣1，或x＞1时，F′（x）＞0，当﹣1＜x＜1，F′（x）＜0，
∴当x∈[﹣，1]，F′（x）＜0，此时F（x）单调递减，
当x∈[1，2]，F′（x）＞0，此时F（x）单调递增，
∴F（﹣）=﹣﹣ln（﹣+1）2+a＞a，F（2）=2﹣2ln3+a＜a
∴F（﹣）＞F（2）
∵函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，
∴或F（1）=0，
解得﹣+2ln2≤a≤2ln3﹣2，或a=2ln2﹣1，
故实数a的取值范围为：﹣+2ln2≤a≤2ln3﹣2，或a=2ln2﹣1，
【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及二次函数的单调性和零点问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
22．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，
∴，
整理，得，x≠，
∴动点E的轨迹C的方程为，x．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
将y=k（x﹣1）代入，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，
设MN的中点为Q，则，，
∴Q（，﹣），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，
令x=0，得yP=，
当k＞0时，∵2k+，∴0＜；
当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．
一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙 ( http: / / www.21cnjy.com )两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（ ）
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
2．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
3．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是 q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
4．抛物线y=2x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．某公司将职员每月的工作业绩分为1～30共30个级别，甲、乙两职员在2010年一到八月份的工作业绩的茎叶图如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
B．两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
C．两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
D．两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
6．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1
7．在2010年3月15日那天，哈市物价部 ( http: / / www.21cnjy.com )门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（ ）
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
8．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
10．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．1＜m＜2 C．m＜﹣1或1＜m＜2 D．m＜﹣1或1＜m＜
11．已知函数f（x）=﹣cosx，若＜a＜b＜，则（ ）
A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（a）f（b）＞0
12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=ax g（x），（a＞0，且a≠1），+=，在有穷数列{}（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于地概率是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ．
14．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 ．
15．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 ．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B= ，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质 ( http: / / www.21cnjy.com )状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
( http: / / www.21cnjy.com )
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．
21．已知f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．
22．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（下）开学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
1．某产品分为甲、乙、丙三 ( http: / / www.21cnjy.com )级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（ ）
A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96
【考点】互斥事件与对立事件．
【专题】计算题．
【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0. 03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．
【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，
抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04
∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96
故选D．
【点评】本题考查互斥事件和对立事件的概 ( http: / / www.21cnjy.com )率，对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．
2．若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A．2 B． C． D．1
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】由题意知=2，（a＞0），由此可以求出a的值．
【解答】解： =2，（a＞0），
∴a=．
故选B．
【点评】本题考查双曲线的离心率，比较简单．会利用公式就能求出实数a．
3．已知条件p：x≤1，条件q：＜1，则p是 q成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．不充分也不必要条件
【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】规律型．
【分析】先求出条件q和 q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由＜1，得x＜0或x＞1，即q：x＜0或x＞1，
∴ q：0≤x≤1．
∴p是 q成立必要不充分条件．
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，对于条件q，要先解出不等式成立的等价条件，然后再求 q，否则容易出错．
4．抛物线y=2x2的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题．
【分析】先把抛物线化为标准方程为x2=y，再求准线．
【解答】解：∵抛物线的标准方程为x2=y，
∴p=，开口朝上，
∴准线方程为y=﹣，
故选D．
【点评】在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．
5．某公司将职员每月的工作业绩分为1～30共30个级别，甲、乙两职员在2010年一到八月份的工作业绩的茎叶图如下：
则下列说法正确的是（ ）
A．两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
B．两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定
C．两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
D．两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定
【考点】茎叶图．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据茎叶图所给的两组数据， ( http: / / www.21cnjy.com )分别求出甲和乙两人的工作业绩的平均数，发现平均数相同，再求出两组数据的方差，甲的方差比乙的方差大，得到两个人的业绩平均水平相同，但是乙的比较稳定．
【解答】解：根据茎叶图提供的数据计算得
甲职员的平均业绩=20
乙职员的平均业绩=20
甲的业绩方差（64+25+4+0+0+4+25+64）=23.25
乙职员的业绩方差（36+25+9+1+1+9+25+36）=17.75
∴两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定．
故选C．
【点评】对于两组数据，通常要求的是 ( http: / / www.21cnjy.com )这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．
6．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若，则x+y的值是（ ）
A．﹣3或1 B．3或1 C．﹣3 D．1
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】计算题．
【分析】根据两个向量的数量积公式可得 4+4y+2x=0，由向量的模的求法可得 =6，解出x和y的值，
即得x+y的值．
【解答】解：由题意可得 =4+4y+2x=0，且 =6，∴x=4，或x=﹣4，
当x=4时，y=﹣3，当x=﹣4时，y=1，∴x+y=1，或 x+y=﹣3，
故选 A．
【点评】本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，向量的模的求法，解出x和y的值，是解题的难点．
7．在2010年3月15日那天，哈市物价部门 ( http: / / www.21cnjy.com )对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 10 10.5 11
销售量y 11 10 8 6 5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是；y=﹣3.2x+a，（参考公式：回归方程；y=bx+a，a=﹣b），则a=（ ）
A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题．
【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=﹣b，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值．题目中给出公式，只要代入求解即可，得到结果．
【解答】解：
∵a=﹣b=8﹣（﹣3.2）10=40，
故选D．
【点评】本题考查线性回归方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．
8．如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】计算题．
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解答】解：如图
先将F1D平移到AF，再平移到E1E，
∠EE1B为BE1与DF1所成的角
设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2
cos∠EE1B=，故选A
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及余弦定理的应用，属于基础题．
9．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；导数的综合应用．
【分析】由题意知，当曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，点P到直线y=x﹣2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得切点的坐标，此切点到直线y=x﹣2的距离即为所求．
【解答】解：点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线y=x﹣2平行时，
点P到直线y=x﹣2的距离最小．
直线y=x﹣2的斜率等于1，
令y=x2﹣lnx，得 y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），
故曲线y=x2﹣lnx上和直线y=x﹣2平行的切线经过的切点坐标为（1， 1），
点（1，1）到直线y=x﹣2的距离等于，
∴点P到直线y=x﹣2的最小距离为，
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想方法，是中档题．
10．已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．1＜m＜2 C．m＜﹣1或1＜m＜2 D．m＜﹣1或1＜m＜
【考点】椭圆的定义．
【专题】计算题．
【分析】根据焦点在y轴上的椭圆的方程的特点是方程中y2的分母比x2分母大且是正数，列出不等式组，求出m的范围．
【解答】解：表示焦点在y轴上的椭圆，
∴2﹣m＞|m|﹣1＞0
解得
故选D．
【点评】解决椭圆的方程，注意焦点的位置在哪个坐标轴上，方程中哪个字母的分母就大．
11．已知函数f（x）=﹣cosx，若＜a＜b＜，则（ ）
A．f（a）＞f（b） B．f（a）＜f（b） C．f（a）=f（b） D．f（a）f（b）＞0
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求函数的导数，判断函数的单调性，即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=﹣cosx，
∴f′（x）=sinx﹣，当x∈＜a＜b＜时，
sinx∈（，∈（），此时f′（x）=sinx﹣＞0，
即函数f（x）在（，）上单调递增，即f（a）＜f（b），
故选：B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=ax g（x），（a＞0，且a≠1），+=，在有穷数列{}（n=1，2，…10）中，任意取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于地概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】由f（x）=ax g（x），得ax=，得到y=ax为减函数，由+=，解得a=，1﹣（）n＞，得n＞4，问题得以解决
【解答】解：由f（x）=ax g（x），得ax=，
又（）′=＜0
∴y=ax为减函数，则0＜a＜1，
由+=，得a+=，
解得a=，
∴=，
∴+…+=1﹣（）n，
由1﹣（）n＞，得n＞4．
∴前k项和大于的概率为P==．
故选：C
【点评】考查学生对导数、指数函数的单调性、等比数列求和、古典概型等有关知识的掌握与应用能力，属于中档题
二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为 ．
【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用．
【专题】计算题．
【分析】设P（m，n ），则 =1，m≥，利用两个向量的数量积公式化简的 解析式为
m2+2m﹣1，据 在[，+∞）上是增函数，求出其值域．
【解答】解：由题意可得 c=2，b=1，故 a=．设P（m，n ），则 =1，m≥．
=（m，n ） （m+2，n）=m2+2m+n2==m2+2m﹣1 关于
m=﹣对称，故 在[，+∞）上是增函数，当 m=时有最小值为 3+2，无最大值，
故的取值范围为，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，化简的 解析式，
是解题的关键，并注意m的取值范围．
14．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 任意一个无理数，它的平方不是有理数 ．
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】计算题．
【分析】特称命题的否定是全称命题，直接考查它对应的全称命题即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是：任意一个无理数，它的平方不是有理数．
故答案为：任意一个无理数，它的平方不是有理数．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，注意否定词语的应用．
15．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取3台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】利用古典概型概率计算公式求解．
【解答】解：两种品牌的彩电齐全的概率：
p==．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概型概率计算公式的灵活运用．
16．设，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为 （7，+∞） ．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】常规题型．
【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m的范围．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0
解得：x=1或﹣
当x∈时，f'（x）＞0，
当x∈时，f'（x）＜0，
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7
由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．
故答案为：（7，+∞）
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，属于基础题．
三．解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知命题p：x∈A，且A={x|a﹣1＜x＜a+1}，命题q：x∈B，且B={x|x2﹣4x+3≥0}
（Ⅰ）若A∩B= ，A∪B=R，求实数a的值；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】充分条件；集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题；阅读型．
【分析】（Ⅰ）把集合B化简后，由A∩B= ，A∪B=R，借助于数轴列方程组可解a的值；
（Ⅱ）把p是q的充分条件转化为集合A和集合B之间的关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，
由A∩B= ，A∪B=R，得，得a=2，
所以满足A∩B= ，A∪B=R的实数a的值为2；
（Ⅱ）因p是q的充分条件，所以A B，且A≠ ，所以结合数轴可知，
a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4，
所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【点评】本题考查了充分条件，考查了集合关系的参数取值问题，集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较，是易错题．
18．为了解某市今年初二年级男生的身体 ( http: / / www.21cnjy.com )素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由频率分布直方图的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀， ( http: / / www.21cnjy.com )其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）由频率计算公式得样本中第一组共 ( http: / / www.21cnjy.com )有2人，得第二组共有6人．用列举的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率．
【解答】解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05．
所以此次测试总人数为=40．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人．
（2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，
则估计从该市初二年级男生中任意选取一人， “掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4．
（3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h．
从这8人中随机抽取2人共28种情况ab ( http: / / www.21cnjy.com )，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，
事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，
所以事件A的概率P==．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．
【点评】本题给出频率分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com )，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．
（Ⅰ）证明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】用空间向量求平面间的夹角．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）连结BD，取DC的中点G，连结BG，由已知条件推导出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能证明DM⊥平面SDC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DM﹣C的余弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连结BD，取DC的中点G，连结BG，
由题意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD=BD=，PD⊥BD，M为PB的中点，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，
∴DM⊥平面PDC．
（Ⅱ）以D为原点，DA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0，），M（），
设平面ADM的法向量，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
取y=，得，
同理，设平面ADM的法向量，
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，
取，得=（），
cos＜＞=﹣，
∵二面角A﹣DM﹣C的平面角是钝角，
∴二面角A﹣DM﹣C的余弦值为﹣．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【专题】综合题．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意， ( http: / / www.21cnjy.com )，解得．
即椭圆方程为
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以．
原点到直线的AB距离，
所以三角形的面积．
由可得k2=2，∴，
所以直线或．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．
21．已知f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，求实数a的取值范围．
【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0
（2）先求出F（x）=x﹣ln（x+1）2+a，再求导，讨论其单调性，得到或F（1）=0，继而求出范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣2x﹣ln（x+1）2的定义域为{x|x≠﹣1}，
∵f′（x）=2x﹣2﹣=．
令f′（x）＞0，
则x∈（﹣，﹣1）∪（，+∞），
故f（x）的单调递增区间为（﹣，﹣1）和（，+∞）；
（2）由已知得F（x）=x﹣ln（x+1）2+a，
∴F′（x）=1﹣=，
∴当x＜﹣1，或x＞1时，F′（x）＞0，当﹣1＜x＜1，F′（x）＜0，
∴当x∈[﹣，1]，F′（x）＜0，此时F（x）单调递减，
当x∈[1，2]，F′（x）＞0，此时F（x）单调递增，
∴F（﹣）=﹣﹣ln（﹣+1）2+a＞a，F（2）=2﹣2ln3+a＜a
∴F（﹣）＞F（2）
∵函数F（x）=f（x）﹣x2+3x+a在[﹣，2]上只有一个零点，
∴或F（1）=0，
解得﹣+2ln2≤a≤2ln3﹣2，或a=2ln2﹣1，
故实数a的取值范围为：﹣+2ln2≤a≤2ln3﹣2，或a=2ln2﹣1，
【点评】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，以及二次函数的单调性和零点问题，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．
22．在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），由点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，知，由此能求出动点E的轨迹C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x﹣1），将y=k（x﹣1）代入，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由题设条件能推导出直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，由此能求出点P纵坐标的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，
∴，
整理，得，x≠，
∴动点E的轨迹C的方程为，x．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
将y=k（x﹣1）代入，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，
设MN的中点为Q，则，，
∴Q（，﹣），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，
令x=0，得yP=，
当k＞0时，∵2k+，∴0＜；
当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．
【点评】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查点的纵坐标的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆位置的综合运用．
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