7.6用锐角三角函数解决问题（3）
【学习目标】1、理解仰角、俯角、水平距离，垂直距离和方位角等概念的意义，为解决有关实际问题扫除障碍；
2、能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；
3、能将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形．转化为解直角三角形)的能力．
【目标导入】
问题情境：如图，线段AB、CD分别表示甲、 ( http: / / www.21cnjy.com )乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝45°，已知甲乙两楼间的距离BD＝30米，求乙楼的高度．
【合作交流】
如何正确理解什么是俯角、仰角？
填一填：当从高处观测低处的目 ( http: / / www.21cnjy.com )标时，视线与水平线所成的锐角是 ____________________；
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角是 ____________________；
【尝试练习】
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在 ( http: / / www.21cnjy.com )离电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
2、如图，在坡角α＝ 30° 山顶C上 ( http: / / www.21cnjy.com )有一座电视塔CB，在山脚A处测得电视塔顶部B仰角为 45°，斜坡AC的长为400米，则电视塔BC的高为多少？
【自主探究1】
小华去实验楼做实验， 两幢实验楼的高度A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝CD＝20m， 两楼间的距离BC＝15m，已知太阳光与水平线的夹角为30°，求南楼的影子在北楼上有多高？
变式：画出示意图进行思考
小华又想：如果要使北楼实验室内的同学在室内也能惬意地享受阳光，已知窗台距地面1米，那么两楼应至少相距多少米
【自主探究2】
为了测量停留在空中的气球高度，小明先站在地面 ( http: / / www.21cnjy.com )上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°，若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢？（精确到0.01m）
【自主探究3】
光明中学九年级（1）班开展数学实践 ( http: / / www.21cnjy.com )活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．
练习：1. 如图，在一次数学课外实践活 ( http: / / www.21cnjy.com )动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
2. 如图，一艘舰艇在海面下500米A点 ( http: / / www.21cnjy.com )处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．
7.6用锐角三角函数解决问题（3）课堂作业
一、回顾与检测：
1．如图，从点C测得树的仰角为33 ，BC＝20米，则树高AB＝ 米．（精确到0.1米）
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图：机器人从点A出发，沿着西南方向行了个单位，到达点B后观察到原点O在它的南偏东60 的方向上，则原来点A的坐标为 ．
3．某片绿地的形状如图所示，其中∠A＝60 ，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200米，CD＝100米，
则AD＝ ，BC＝ ．
4．如图，一艘船向正北航行，在A处 ( http: / / www.21cnjy.com )看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是___________海里
5.某乡镇中学数学活动小组，为测量数 ( http: / / www.21cnjy.com )学楼后面的山高AB，用了如下的方法.如图所示，在教学楼底C处测得山顶A的仰角为60°，在教学楼顶D处，测得山顶A的仰角为45°.已知教学楼高CD＝12米，求山高AB.
6.如图所示，小杨在广场上的A处正面观 ( http: / / www.21cnjy.com )测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30 ，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 ．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告幕上端与下端之间的距离．
北
北
A
B
C
60°
45°
A
B
C
D
E7.6 用锐角三角函数解决问题（1）
【教学目标】
1.能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明。
2．经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际过程中的作用。
3．通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。
【教学重点】利用三角函数解决实际问题。
【教学难点】三角函数在解决问题中的灵活运用。
【引入概念】
1．坡度的概念，坡度与坡角的关系。
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
坡角是斜坡与水平线的夹角。
从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i=tana 。
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡。
（如图）如图是一个拦水大坝的横断面图，AD∥BC
（1）斜坡AB＝10m，大坝高为8m,斜坡AB的坡度iAB＝___。
（2）如果坡度iAB＝1∶，则坡角∠B＝___。
（3）如果坡度iAB＝1∶2，AB＝8m，则大坝高度为___。
【试一试】
例1. 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎 ( http: / / www.21cnjy.com )水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i为1∶1.2， 坝顶宽DC＝2.5米，坝高4.5米．
求：（1）背水坡AD的坡角β（精确到0.1°）；
（2）坝底宽AB的长（精确到0.1米）．
思考1：在上题中,为了提高堤坝的防洪 ( http: / / www.21cnjy.com )能力，市防汛指挥部决定加高堤坝，要求堤坝加高0.5米，已知堤坝的总长度为5km，（保持迎水坡与背水坡的坡度不变），需要多少方土？(结果保留根号)
思考:2：：在上题中，为 ( http: / / www.21cnjy.com )了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1∶1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1米3） ．
【练习】
1.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为 __________.
2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了_________.
3.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1∶，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是 .
4.在一次课题设计活动中 ( http: / / www.21cnjy.com )，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB的坡度i=5∶3，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面AE的坡度i=5∶6.
(1)求原方案中此大坝迎水坡AB的长.（结果保留根号）
(2)如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？
5.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座 ( http: / / www.21cnjy.com )山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=600，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过450时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B 沿BC削进到E 处，问BE至少是多少米(结果保留根号)？
【课堂小结】通过这节课的学习，你学习到什么新知识？
【课外作业】今日优学有道课时
【教学反思】7.6用锐角三角函数解决问题（1）
【学习目标】
1、进一步理解坡度、坡角等概念的意义；会将非直角三角形的实际问题通过添加辅助线转化为解直角三角形的问题；
2、培养学生将实际问题抽象为数学问题的能力．
【自主探究】
基本概念：如图，
坡度：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.
记作i,即i=____ __；
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有
i＝______=______.
生活经验：坡度越大，坡角a就越大，坡面就越_____.
【尝试练习】
（1）斜坡的坡度是1：1，则坡角α=_______。
（2）如图水库堤坝的横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：，坡面AB的水平宽度为30米，基面AD宽10米，则堤坝的高度为_______米，坡角α=______，坝底BC=______米。
（3）一个人从山下沿30°角的坡路登上山顶,共走了50m,那么这山的高度是 （ ）
A. 23m B. 24m C. 25m D. 26m
【典例剖析】
例1、如图，在山坡上种树，要求株距(相 ( http: / / www.21cnjy.com )邻两树间的水平距离)是5米，测得斜坡的倾斜角是33°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？(精确到0.1米)．
例2、一水坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡CD的坡角a=30°，背水坡AB的坡度i＝1∶1.2 ，坝顶宽BC=2.5m，坝高4.5m，
求：①背水坡AB的坡角∠A（精确到1°） ②坝底AD的长度（精确到0.1米）
变一变：在上述问题中，为了提高堤坝 ( http: / / www.21cnjy.com )的抗洪能力，防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶BC加宽0.5m，背水坡AB的坡度改为1∶1.4，已知堤坝的总长为5km，求完成该项工程需多少土方（精确到0.1m ）
例3、一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .
⑴ 求整修后背水坡面的面积；
⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
【巩固拓展】
如图是一座人行天桥的示意图，天桥的 ( http: / / www.21cnjy.com )高是10m，坡面的倾斜角为450，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为300，若新坡脚前须留3m的人行道。
问：离原坡脚10m的建筑物是否需要拆除？说明理由。
【课堂小结】
7.6用锐角三角函数解决问题（1）课堂作业
1、测得某坡面的水平宽度为3m，坡面的长度为5m，则坡面的坡度为______坡角为___ __，（精度到1°）
2、某人沿i=1:2.4的山坡上行了20米，这人升高了_______米.
3、铁道路基的横断面是等腰梯形，其上底为10米，下底为15米，高12米，则腰面的坡度为________
4、要在坡度为1：2的山坡上种树，要求两树间的坡面距离是5m，试求株距（相邻两棵树间的水平距离）______（精确到0.1m）
5、如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，仰角是．后，火箭到达点，此时测得的距离是，仰角为，解答下列问题：
（1）火箭到达点时距离发射点有多远（精确到0.01km）？
（2）火箭从点到点的平均速度是多少（精确到0.1km/s）？
6、亮亮和强强相约周六去登山，亮亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，强强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问强强以什么速度攀登才能和亮亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）
7、如图某防汛大堤的横断面为梯形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D，斜坡AB的坡度i1＝1∶1.5，斜坡CD的坡度i2=1∶1，大堤顶高AD为10米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横截面为梯形ADFE，AD∥EF，且点E、F分别在BA、CD的延长线上，新坝顶宽EF为7.5米，求大堤加高了多少米？
A
D
C
B
E
F7.6用锐角三角函数解决问题（2）
【学习目标】通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，并运用解直角三角形的知识解决问题．
【知识回顾】1、在△ABC中，∠C＝90°（1）已知∠A＝30°，BC＝8cm，求AB与AC的长；
（2）已知∠A＝60°，AC＝cm，求AB与BC的长．
（3）∠A＝50 °，AB＝3，求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）
【自主探究1】
“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩 ( http: / / www.21cnjy.com )，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min．小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.5m）开始1周的观光，1.5 min后小明离地面的高度是多少（精确到0.1m）？
引伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10.5 m？
2、小明将有多长时间连续保持在离地面10.5 m以上的空中？
3、t min（0≤t≤6）后小美离地面的高度h是多少？（结果用t表示）
【尝试练习】
1、单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到AB’的位置时， ∠BAB’＝11°，问这时摆球B’较最低点B升高了多少(精确到1cm)
2、如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳 ( http: / / www.21cnjy.com )子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米 (结果精确到0.1米)
【自主探究2】
海中有一个小岛A，它周围13.5海里内有暗 ( http: / / www.21cnjy.com )礁，渔船跟踪鱼群，由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°，航行10海里到达C点，这时小岛A在北偏东45°，如果渔船不改变航向，继续向东捕捞，是否有触礁的危险？
( http: / / www.21cnjy.com )
【巩固拓展】
为缓解“停车难”的问题，某 ( http: / / www.21cnjy.com )单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（精确到0.1m）
7.6用锐角三角函数解决问题（2）课堂作业
1、如图，小明从地沿北偏东方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时小明离地 ．
2、如图，东西两炮台A、B相距2000 ( http: / / www.21cnjy.com )米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东30°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，则敌舰与炮台A、B的距离分别为 米
和 米．
3、某工厂接受一批支援四川省汶川灾 ( http: / / www.21cnjy.com )区抗震救灾帐蓬的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成（如图所示）．已知等腰△ABE的底角∠AEB＝θ，且tanθ＝，矩形BCDE的边CD＝2BC，这个横截面框架（包括BE）所用的钢管总长为15m．求帐篷的篷顶A到底部CD的距离．（结果精确到0.1m）
4、某大型超市为方便顾客购物，准备 ( http: / / www.21cnjy.com )在一至二楼之间安装电梯，如图所示，楼顶与地面平行．要使身高2米以下的人在笔直站立的情况下搭乘电梯时，在B处不碰到头部．请你帮该超市设计，电梯与一楼地面的夹角α最小为多少度？
5、如图，某军港有一雷达站，军舰停泊在雷达站的南偏东60°方向36海里处，
另一艘军舰位于军舰的正西方向，与雷达站相距海里．
求：（1）军舰在雷达站的什么方向？
（2）两军舰的距离．（结果保留根号）
7.6用锐角三角函数解决问题（2）家庭作业
1、某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台 ( http: / / www.21cnjy.com )阶的宽度(如CD)均为30cm，高度(如BE)均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16)
2、如图，小阳发现电线杆A ( http: / / www.21cnjy.com )B的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝8米，BC＝20米，CD与地面成30 角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．
3、在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处
有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km
的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距8km的C
处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么
轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
N
M
P
北
A
B
C
D
E用锐角三角函数解决问题（2）
【教学目标】1．知识与技能： 能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；
2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际过程中的作用；
3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．
【教学重点】利用三角函数解决实际问题．
【教学难点】三角函数在解决问题中的灵活运用．
【练习】
1.单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到AB′的位置时，∠BAB′＝11°，
问这时摆球B′较最低点B升高了多少？（精确到1cm）
2.已知跷跷板长4m,当跷跷板的一端碰到地面时,另一端离地面m.求此时跷跷板与地面的夹角.
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【试一试】
例1 “五一”节，小明和同 ( http: / / www.21cnjy.com )学一起到游乐场游玩．游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min．小明乘坐最底部的车厢（离地面约0.3m）开始1周的观光，经过2min后，小明离地面的高度是多少（如图）？
思考（1）摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次达到15.3m？
(2) 摩天轮转动1周，小明在离地面30.3m以上的空中有多长时间？
例2如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两边摆动时，两边的摆动角度均为30 ．求它摆动至最高位置与最低位置的高度之差（结果保留根号）．
例3某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台 ( http: / / www.21cnjy.com )阶的宽度（如CD）均为30cm，高度（如BE）均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9°．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）．
【练习】
1.如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳 ( http: / / www.21cnjy.com )子 拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°,此人以每秒0.5米收绳.问：8秒后船向岸边移动了多少米 (结果精确到0.1米)
【课堂小结】
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．三角形的内心和外心有什么区别与联系？
【课外作业】课课练今日课时。
60
O
A
B
A
B
C
D
E
