人教版九年级上学期数学课时进阶测试25.1随机事件与概率（二阶）
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·西湖月考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个装着白球和黑球的袋中摸出红球
B．若是实数，则
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．三角形三个内角的和小于
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
2．（2023九上·温州期中）从下列标志图中任选一张，选中既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：图一不是轴对称图形，是中心对称图形；图二是轴对称图形，也是中心对称图形；图三是轴对称图形，不是中心对称图形；图四既不是轴对称，也不是中心对称图形，故4个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形是1个，则既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个图形进行判断，最后根据概率公式求解即可.
3．（2024九上·进贤期末）下列说法错误的是（ ）.
A．在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100.
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件.
C．调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用全面调查.
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；频数与频率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A：随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100，说法正确，不符合题意
B：“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件，说法正确，不符合题意
C：调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故说法错误，符合题意
D：在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
故答案为：C
【分析】了解统计的基本概念，样本容量、事件的可能性、全面调查和抽样调查、频率等。
4．（2024九上·嘉兴期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意4个小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面积是25，正方形EFGH的面积是1，
故弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，4个全等的直角三角形面积相等，据此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，再求概率即可.
5．（2023九上·平山期中） 在不透明的袋子里装有2个红球、3个白球、2个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出1个球.下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【知识点】可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】解：P(摸到红球）=，P(摸到白球）=，P(摸到黑球）=，
∴摸到红球比摸到白球的可能性小；摸到红球和摸到黑球的可能性相同 。
∴甲，乙的说法都正确。
故答案为：C。
【分析】根据概率计算公式，分别求得摸到红球，摸到白球，摸到黑球的概率，即可得出答案。
6．（2021九上·佛山期中）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
所以，口袋里有白球约20个，
故答案为：C．
【分析】设口袋中大约有x个白球，则，求出x的值即可。
7．（2019九上·杭州月考）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
【答案】D
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是 ，D不符合题意，
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
8．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设有x个黄色乒乓球
，解得x=6
所以， 该盒子中装有黄色乒乓球6个
故答案为：B.
【分析】本题考查的是随机事件的概率，根据概率公式：，列出方程即可.
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·重庆市月考）现从，，0，3中，任取一个数作为二次函数中a的值，则所得抛物线与x轴有公共点的概率 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
10．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150 次，其中有50次摸到黑球．已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
【答案】20
【知识点】分式方程的实际应用；概率公式
【解析】【解答】解：摸了次，其中有次摸到黑球，
∴摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故答案为：20．
【分析】先根据简单事件的概率结合题意得到摸到黑球的频率是，进而设口袋中大约有个白球，根据摸到黑球的概率结合题意即可列出分式方程，进而即可求解。
11．（2024九上·定州期末）已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为 .
【答案】
【知识点】概率公式；一次函数的性质
【解析】【解答】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，概率的计算.根据“随增加而减小”，利用一次函数的增减性可列出不等式，解不等式可求出k的取值范围，再利用概率公式进行计算可求出答案.
12．（2019九上·北京月考）在－1，0，1这三个数中任取两个数 ， ，则二次函数 图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】由题意顶点坐标m，n共有(-1，0)(-1，1)(0，-1)(0，1)(1，-1)(1，0)6种情况，其中在坐标轴的由4种，
概率为： .
故答案为： .
【分析】将所有的可能的情况枚举出来，再根据频率计算概率即可.
13．（2023九上·大洼月考）如果k是投掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，则关于x的一元二次方程有两个实数根的概率是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2023九上·萧山期中）一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
【答案】（1）随机；不可能
（2）解：，
故摸到黑球的概率是；
（3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是x个，依题意有：
，
解得x＝18．
答：后来放入袋中的黑球的个数为18个.
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：（1）在一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同，
∴任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件.
故答案为：随机，不可能；
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；袋子里没有黄球，所以摸到黄球是不可能事件；
（2）不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，共有10个球，故摸到黑球的概率为；
（3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，故袋中黑球的个数为3+x，球的总数为10+x，再根据从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为列出方程，解得x值即可.
15．（2022九上·潞城月考）综合与实践
（1）【问题再现】
课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
（2）【类比设计】
在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
（3）【拓展运用】
在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】（1）解：根据几何概率的意义可知，
P（蓝色区域），
P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成6份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；
如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：
转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【知识点】几何概率；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用几何概率公式求解即可；
（2）利用概率公式求解即可；
（3）利用加权平均数的计算方法求解即可。
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试25.1随机事件与概率（二阶）
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2024九上·西湖月考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．在一个装着白球和黑球的袋中摸出红球
B．若是实数，则
C．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
D．三角形三个内角的和小于
2．（2023九上·温州期中）从下列标志图中任选一张，选中既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024九上·进贤期末）下列说法错误的是（ ）.
A．在“双减”政策下，南昌外国语学校为了解九年级学生的睡眠时间，随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100.
B．“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件.
C．调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，应采用全面调查.
D．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
4．（2024九上·嘉兴期末）如图，我国古代数学家赵爽使用的弦图是由四个全等的直角三角形构成的正方形，若，，在弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·平山期中） 在不透明的袋子里装有2个红球、3个白球、2个黑球，它们除颜色外都相同，从袋子中任意摸出1个球.下列判断正确的是（ ）
甲：摸到红球比摸到白球的可能性小；乙：摸到红球和摸到黑球的可能性相同
A．只有甲对 B．只有乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
6．（2021九上·佛山期中）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中白球的个数约为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
7．（2019九上·杭州月考）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
8．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
阅卷人 二、填空题
得分
9．（2024九上·重庆市月考）现从，，0，3中，任取一个数作为二次函数中a的值，则所得抛物线与x轴有公共点的概率 ．
10．从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150 次，其中有50次摸到黑球．已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
11．（2024九上·定州期末）已知函数（为常数），若从中任取值，则得到的函数是具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为 .
12．（2019九上·北京月考）在－1，0，1这三个数中任取两个数 ， ，则二次函数 图象的顶点在坐标轴上的概率为 .
13．（2023九上·大洼月考）如果k是投掷一枚质地均匀的骰子所得的点数，则关于x的一元二次方程有两个实数根的概率是 ．
阅卷人 三、解答题
得分
14．（2023九上·萧山期中）一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同．
（1）从中任意摸出一个球，摸到红球是 事件；摸到黄球是 事件；（填“不可能”或“必然”或“随机”）
（2）从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率；
（3）现在再将若干个同样的黑球放入袋中、与原来10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为，请求出后来放入袋中的黑球个数．
15．（2022九上·潞城月考）综合与实践
（1）【问题再现】
课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
（2）【类比设计】
在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
（3）【拓展运用】
在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：图一不是轴对称图形，是中心对称图形；图二是轴对称图形，也是中心对称图形；图三是轴对称图形，不是中心对称图形；图四既不是轴对称，也不是中心对称图形，故4个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形是1个，则既是轴对称图形又是中心对称图形的概率.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各个图形进行判断，最后根据概率公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；频数与频率；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：
A：随机选择了该年级100名学生进行调查，则样本容量是100，说法正确，不符合题意
B：“画一个正六边形，它的外角和是360°”属于必然事件，说法正确，不符合题意
C：调查江西卫视大型综艺节目《金牌调解》节目的收视率，不宜采用全面调查，应采用抽样调查，故说法错误，符合题意
D：在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同。小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数可能是5个.
故答案为：C
【分析】了解统计的基本概念，样本容量、事件的可能性、全面调查和抽样调查、频率等。
4．【答案】D
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意4个小三角形都是全等的直角三角形，AF=4，BF=3，
∴AB=5，EF=1.
∴正方形ABCD的面积是25，正方形EFGH的面积是1，
故弦图区域内随机取点，则该点落在正方形区域内的概率为.
故答案为：D.
【分析】根据题意，4个全等的直角三角形面积相等，据此可求出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，再求概率即可.
5．【答案】C
【知识点】可能性的大小；概率公式
【解析】【解答】解：P(摸到红球）=，P(摸到白球）=，P(摸到黑球）=，
∴摸到红球比摸到白球的可能性小；摸到红球和摸到黑球的可能性相同 。
∴甲，乙的说法都正确。
故答案为：C。
【分析】根据概率计算公式，分别求得摸到红球，摸到白球，摸到黑球的概率，即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：摸了150次，其中有50次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有x个白球，则，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
所以，口袋里有白球约20个，
故答案为：C．
【分析】设口袋中大约有x个白球，则，求出x的值即可。
7．【答案】D
【知识点】概率的意义；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能性是 ，D不符合题意，
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设有x个黄色乒乓球
，解得x=6
所以， 该盒子中装有黄色乒乓球6个
故答案为：B.
【分析】本题考查的是随机事件的概率，根据概率公式：，列出方程即可.
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式
10．【答案】20
【知识点】分式方程的实际应用；概率公式
【解析】【解答】解：摸了次，其中有次摸到黑球，
∴摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
故答案为：20．
【分析】先根据简单事件的概率结合题意得到摸到黑球的频率是，进而设口袋中大约有个白球，根据摸到黑球的概率结合题意即可列出分式方程，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】概率公式；一次函数的性质
【解析】【解答】由“随增加而减小”得，
解得，
∴具有性质“随增加而减小”的一次函数的概率为
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，概率的计算.根据“随增加而减小”，利用一次函数的增减性可列出不等式，解不等式可求出k的取值范围，再利用概率公式进行计算可求出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；概率公式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】由题意顶点坐标m，n共有(-1，0)(-1，1)(0，-1)(0，1)(1，-1)(1，0)6种情况，其中在坐标轴的由4种，
概率为： .
故答案为： .
【分析】将所有的可能的情况枚举出来，再根据频率计算概率即可.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
14．【答案】（1）随机；不可能
（2）解：，
故摸到黑球的概率是；
（3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是x个，依题意有：
，
解得x＝18．
答：后来放入袋中的黑球的个数为18个.
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【解答】解：（1）在一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同，
∴任意摸出一球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件.
故答案为：随机，不可能；
【分析】（1）从袋中任意摸出一个球，摸到红球是随机事件；袋子里没有黄球，所以摸到黄球是不可能事件；
（2）不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，共有10个球，故摸到黑球的概率为；
（3）设后来放入袋中的黑球的个数是x个，故袋中黑球的个数为3+x，球的总数为10+x，再根据从袋中任意摸出一个球为黑球的概率为列出方程，解得x值即可.
15．【答案】（1）解：根据几何概率的意义可知，
P（蓝色区域），
P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成6份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；
如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：
转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【知识点】几何概率；加权平均数及其计算
【解析】【分析】（1）利用几何概率公式求解即可；
（2）利用概率公式求解即可；
（3）利用加权平均数的计算方法求解即可。
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