人教版九年级上学期数学课时进阶测试25.2用列举法求概率（二阶）
一、选择题
1．（2023九上·温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·广水期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·泰山期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2016九上·上城期中）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·宁波期末）“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，
爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ）
A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断
7．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·长春期末）如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023九上·九龙坡月考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
10．（2024九上·重庆市开学考）某次车展活动设计了一种有奖竞猜游戏，游戏规则如下：在5个相同商标牌中，有3个商标牌的背面贴有一个笑脸，其余2张商标牌的背面贴一张哭脸，每个人每次翻两张牌，只有两张都是笑脸才得奖，则观众每次获奖的概率是 ．
11．（2024九上·浦东模拟）从“等腰直角三角形”，“等腰梯形”，“平行四边形”，“菱形”中随机抽取一个，是中心对称图形的概率为
12．（2020九上·双台子期末）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
13．（2024九上·上海市月考）“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 ．
三、解答题
14．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．
（1）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（2）若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．
15．（2020九上·邯郸月考）嘉嘉给琪琪展示她做的一个小程序，如图，运行程序后屏幕显示一个平面直角坐标系，当她在键盘上输入数字“2”时，屏幕上显示一个点，坐标为 ，输入数字“3”时，屏幕上显示另一个点，坐标为 ，嘉嘉告诉琪琪：这些点都在抛物线 上．
（1）求抛物线的解析式，并求出输入“4”得到的点的坐标；
（2）嘉嘉和琪琪从2、3、4中各选一个数字输入，得到两个不同的点，求两个点都在 轴下方的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过E门的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，从而根据概率公式即可算出答案.
2．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下．
开关一 开关二 S1 S2 S3
S1 S2，S1 S3，S1
S2 S1，S2 S3，S2
S3 S1，S3 S2，S3
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如下：
∵共有16种等可能情况，两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，
∴两次摸出的小球的标号之和等于6的概率为，
故答案为：D．
【分析】利用树状图列举出共有16种等可能情况，其中两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，然后利用概率公式计算即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2.3.4，2.3.7，3.4.7，2.4.7四种情况，
而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是 ．
故选D．
【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】解：树状图如下，
爸爸赢的概率为：
小亮赢的概率为：
∴游戏公平，
故答案为：A.
【分析】利用树状图画出所有可能情况，分别计算出爸爸赢的概率和小亮赢的概率，进而即可求解.
7．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表可得：
∴一共有25种等可能的情况数，其中两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的情况数有6种，
∴P（两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上）=，
故答案为：B.
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设笑脸为A，哭脸为B，画树状图，如图所示：
∵有20种等可能的情况，其中两张都是笑脸的有6种，
∴观众每次获奖的概率是：．
故答案为：．
【分析】此题是抽取不放回类型，用树状图列举出所有可能出现的结果总数，由图可知有20种等可能的情况，其中两张都是笑脸的有6种，从而利用概率公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）= ；故答案为 ．
【分析】由题意可知一共有4种结果，可得到所作的三角形是等腰三角形的情况数，然后利用概率公式，可求解。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
14．【答案】（1）解：树状图如下：
共有种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有，，，共种情况，
两个球上的数字之和为偶数的概率为：；
故答案为：.
（2）解：两个球上的数字之差的绝对值为的有，，，，，共种情况 ，
，，
，
这个游戏方案公平．
故答案为：公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（2）利用概率公式分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可.
15．【答案】（1）解：将（2，0），（3，－3）分别代入 得：
解得
∴ ，
当x＝4时，y＝－16＋8＝－8，
∴输入“4”得到的点的坐标为（4，－8）；
（2）解：由题意可知三个点的坐标分别为（2，0），（3，－3），（4，－8），
一共有9种等可能性的结果，其中两个点都在x轴下方的可能性有4种，
∴两个点都在 轴下方的概率为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）将点（2，0）（3，-3）代入抛物线求出解析式，再将x=4代入计算即可；（2）利用树状图求解即可。
1 / 1人教版九年级上学期数学课时进阶测试25.2用列举法求概率（二阶）
一、选择题
1．（2023九上·温州期末）如图，一只松鼠先经过第一道门(A，B或C)，再经过第二道门(D或E)出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过E门的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，由图可知：共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过E门只有1种结果，从而根据概率公式即可算出答案.
2．（2024九上·广水期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下．
开关一 开关二 S1 S2 S3
S1 S2，S1 S3，S1
S2 S1，S2 S3，S2
S3 S1，S3 S2，S3
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
3．（2021九上·山东月考）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】根据题意，设三个宣传队分别为 列表如下：
小华\小丽
总共由9种等可能情况，她们恰好选择同一个宣传队的情况有3种，
则她们恰好选到同一个宣传队的概率是 ．
故答案为：C
【分析】根据题意列出表格求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
4．（2021九上·泰山期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和等于6的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如下：
∵共有16种等可能情况，两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，
∴两次摸出的小球的标号之和等于6的概率为，
故答案为：D．
【分析】利用树状图列举出共有16种等可能情况，其中两次摸出的小球的标号之和等于6的情况有3种，然后利用概率公式计算即可.
5．（2016九上·上城期中）有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵长度为2cm、3cm、4cm、7cm的四条线段，从中任取三条线段共有2.3.4，2.3.7，3.4.7，2.4.7四种情况，
而能组成三角形的有2、3、4；共有1种情况，
所以能组成三角形的概率是 ．
故选D．
【分析】根据三角形的三边关系求出共有几种情况，根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
6．（2024九上·宁波期末）“石头、剪刀、布”是我国古老的民间游戏，游戏规定：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，若两人的手势相同，不分胜负．在学校组织的“共情陪伴，健康同行”亲子运动会上，
爸爸和小亮用这种方式决定“打乒乓球”的发球权．从概率的角度思考这个游戏是否公平（ ）
A．公平 B．对爸爸有利 C．对小亮有利 D．不能判断
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【解答】解：树状图如下，
爸爸赢的概率为：
小亮赢的概率为：
∴游戏公平，
故答案为：A.
【分析】利用树状图画出所有可能情况，分别计算出爸爸赢的概率和小亮赢的概率，进而即可求解.
7．（2023九上·花溪月考）一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数字-1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数字记为p，再随机摸出另一个小球，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由题意，画树状图，
通过树状图可以得出共有6种情况，其中能使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有3种情况，
所以，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是.
故答案为：A.
【分析】通过画树状图求出p、q的所有可能，再由根的判别式就可以求出满足条件的概率.
8．（2024九上·长春期末）如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数字所在的扇形区域上的机会是相等的，那么两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】列表可得：
∴一共有25种等可能的情况数，其中两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上的情况数有6种，
∴P（两个指针同时落在偶数所在的扇形区域上）=，
故答案为：B.
【分析】先利用列表法求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
二、填空题
9．（2023九上·九龙坡月考）从四个数中随机取两个数求和记为，则使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵使得一次函数y=ax的图像经过一、三象限，
∴a>0，即四个数中随机取两个数求和的结果为正数，
画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的有6种，
∴从四个数中随机取两个数求和记为，使得一次函数的图象经过一、三象限的概率为，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数的图象性质：当k>0时，函数图象经过一、三象限；当k<0时，函数图象经过二、四象限，得a>0，然后画出树状图得所有的等可能结果数为12，其中四个数中随机取两个数求和的结果为正数的结果数为6，最后利用概率公式进行解答即可.
10．（2024九上·重庆市开学考）某次车展活动设计了一种有奖竞猜游戏，游戏规则如下：在5个相同商标牌中，有3个商标牌的背面贴有一个笑脸，其余2张商标牌的背面贴一张哭脸，每个人每次翻两张牌，只有两张都是笑脸才得奖，则观众每次获奖的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设笑脸为A，哭脸为B，画树状图，如图所示：
∵有20种等可能的情况，其中两张都是笑脸的有6种，
∴观众每次获奖的概率是：．
故答案为：．
【分析】此题是抽取不放回类型，用树状图列举出所有可能出现的结果总数，由图可知有20种等可能的情况，其中两张都是笑脸的有6种，从而利用概率公式计算即可.
11．（2024九上·浦东模拟）从“等腰直角三角形”，“等腰梯形”，“平行四边形”，“菱形”中随机抽取一个，是中心对称图形的概率为
【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
12．（2020九上·双台子期末）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）= ；故答案为 ．
【分析】由题意可知一共有4种结果，可得到所作的三角形是等腰三角形的情况数，然后利用概率公式，可求解。
13．（2024九上·上海市月考）“二十大”报告中对新时代好青年提出了四个要求：“有理想”“敢担当”“能吃苦”“肯奋斗”，现有四张卡片，正面分别写有这四个词语，它们除此之外完全相同，现反面朝上洗匀，从中随机抽取一张，记下词语后放回洗匀；再随机抽取一张，则这两次抽取的卡片正面的词语恰好是“有理想”和“肯奋斗”的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
三、解答题
14．（2024九上·石鼓期末）在一个不透明的口袋里装有分别标有，，，的四个小球．除所标数字不同外，小球没有任何区别．
（1）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（2）若设计一个游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为的为甲胜，否则为乙胜．请问这个游戏方案对甲、乙公平吗？试说明理由．
【答案】（1）解：树状图如下：
共有种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有，，，共种情况，
两个球上的数字之和为偶数的概率为：；
故答案为：.
（2）解：两个球上的数字之差的绝对值为的有，，，，，共种情况 ，
，，
，
这个游戏方案公平．
故答案为：公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（2）利用概率公式分别求出甲、乙获胜的概率，再比较大小即可.
15．（2020九上·邯郸月考）嘉嘉给琪琪展示她做的一个小程序，如图，运行程序后屏幕显示一个平面直角坐标系，当她在键盘上输入数字“2”时，屏幕上显示一个点，坐标为 ，输入数字“3”时，屏幕上显示另一个点，坐标为 ，嘉嘉告诉琪琪：这些点都在抛物线 上．
（1）求抛物线的解析式，并求出输入“4”得到的点的坐标；
（2）嘉嘉和琪琪从2、3、4中各选一个数字输入，得到两个不同的点，求两个点都在 轴下方的概率．
【答案】（1）解：将（2，0），（3，－3）分别代入 得：
解得
∴ ，
当x＝4时，y＝－16＋8＝－8，
∴输入“4”得到的点的坐标为（4，－8）；
（2）解：由题意可知三个点的坐标分别为（2，0），（3，－3），（4，－8），
一共有9种等可能性的结果，其中两个点都在x轴下方的可能性有4种，
∴两个点都在 轴下方的概率为 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）将点（2，0）（3，-3）代入抛物线求出解析式，再将x=4代入计算即可；（2）利用树状图求解即可。
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