答案和评分标准
1.【答案】 2.【答案】 3.【答案】 4.【答案】 5.【答案】
6.【答案】 7.【答案】 8.【答案】 9.【答案】
10.【答案】
【解析】解：∵在矩形 中，点 ，点 分别是 ， 的中点，
∴ = 12 ， / / ， = =
1 1
2 = 2 ，
取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，如图，
则 是△ 的中位线，
∴ = 12 ， // ，
∴ = 12 ， / / ，
∴△ ∽△ ，
∴ 1 = = 2，
∴ = 12 =
1
4 ，
∴ = 14 ，
∵ // ，
∴△ ∽△ ，△ ∽△ ，
∴ 1 1 = = 2， = = 4，
∴ = 12 =
1
， 4 ，
∴ = 13 =
1
， 5 ，
∴ = = 13
1
5 =
2
15 ，
第 1页，共 8页
2
15 ∴ 2 = 1 = 3，
5
故选： ．
11.【答案】 2 12.【答案】90 13.【答案】124 14. 11【答案】是 15.【答案】24
16.【答案】解：3 + 2 2
当 4 ≤ ≤ 时， = 2 6 + 3 = ( 3)2 6，
①当 4 ≤ ≤ ≤ 3时，即 ≤ 3，
仅当 = ， 取得最小值，此时 = 2 6 + 3；仅当 = 4， 取得最大值，此时 = ( 4)2 6( 4) + 3；
( 4)2 6( 4) + 3 ( 2 6 + 3) = 8，解得： = 4，
∵ < 3，
∴ = 4不符合题意；
②当 4 ≤ 3且 ≥ 3时，即 3 ≤ ≤ 7，此时最小值为 = 6，
当 = 4取得最大值时， = ( 4)2 6( 4) + 3，
( 4)2 6( 4) + 3 ( 6) = 8，解得： = 7 ± 3 2，
∵ 3 ≤ ≤ 7，7 + 3 2 > 7，7 3 2 < 3，
∴ = 7 ± 3 2不符合题意；
当 = 取得最大值时， = 2 6 + 3，
2 6 + 3 ( 6) = 8，解得： = 3 ± 2 2，
∵ 3 ≤ ≤ 7，3 < 3 + 2 2 < 7，3 2 2 < 3，
∴ = 3 + 2 2符合题意， = 3 2 2不符合题意，
∴ = 3 + 2 2；
③当 3 ≤ 4 ≤ ≤ 时，即 ≥ 7，
仅当 = 4， 取得最小值，此时 = ( 4)2 6( 4) + 3；仅当 = ， 取得最大值，此时 = 2 6 + 3；
2 6 + 3 [( 4)2 6( 4) + 3] = 8，解得： = 6，
∵ ≥ 7，
∴ = 6不符合题意；
综上所述，当 4 ≤ ≤ 时，若 的最大值与最小值之差为 8， 的值为 3 + 2 2．
取得最小值，此时 = (3 3)2 6 = 6；
17.【答案】【小题 1】
3
设箱子里白色小球有 个．由题意，得 +3 = 0.75，解得 = 1.经检验， = 1是原方程的解，且符合题意．所
第 2页，共 8页
以估计箱子里白色小球的个数为 1．.........................................4 分
【小题 2】
画树状图如图：
由树状图，得共有 16种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色不同的结果有 6种，所以两次摸出的小球
6 3
颜色恰好不同的概率为16 = 8． ........................................8 分
18.【答案】(1)(2,0)； .........................................3 分（包括标出位置 1分）
(2)解： = 2 + 2 = 2 5．
作 ⊥ 轴，垂足为 ，
∵△ ≌△ ，
∴ ∠ = ∠ ，
又∵ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴扇形 的圆心角为 90°，
∴ 的长为
90· ·2 5
= 5 ． ........................................6 分180
(3)解：点 到圆心 的距离为 4 < 2 5，
∴点 在⊙ 内部． ................................. .......8 分
19.【答案】(1)证明；由题意可得：∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
第 3页，共 8页
∴△ ∽△ ； .................. .......................4 分
(2) = 解： ， = 5， = 3，
2
∴ = 25 = 3，
∴ = = 25 3 = 163 3． ........................................8 分
20.【答案】【小题 1】
9 3 + 3 = 0, = 1,
由题意得 4 + 2 + 3 = 5,解得 = 2,
∴二次函数的表达式为 = 2 2 + 3． ........................................3 分
【小题 2】
∵ = 2 2 + 3 = ( + 1)2 + 4，∴顶点坐标为( 1,4)，对称轴为直线 = 1． ....6 分
【小题 3】
点 ( 2,3)在这个二次函数的图像上．理由：∵当 = 2时， = ( 2)2 2 × ( 2) + 3 = 3，∴点 ( 2,3)
在这个二次函数的图像上． ........................................8 分
21.【答案】【小题 1】
如图，连接 . ∵ 1是 的中点，∴ ⊥ ， = 2 = 6. ∴ =
2 2 = 3.
........................................4 分
【小题 2】
如图，连接 延长 交 于点 . ∵ = ， ⊥ ，∴ = . ∴ ∠ = ∠ .由圆周角定理，得
∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ + ∠ = 90°，∴ ∠ + ∠ = 90°. ∴ ⊥ ．
........................................8 分
22.【答案】解：(1) ∵四边形 是矩形，
∴ // ，
∴△ ∽△ ，
∵ ： = 2：3，
第 4页，共 8页
∴ ： = 2：5，
∴ △ =
4
，
△ 25
∵ △ = 1，
∴ 4△ = 25； ........................................3 分
(2)由(1)得：△ ∽△ ，
∵ = ， = 2，
∴ △ = ( )2 ，△ 2
∵ △ = 1，
2∴ △ = 4，
2
同理 △ = (
2 )2 = 4 4 + 2 4 ，
2
∴ = 1 4 4 +
2
= 1 24 4 2 + ，
∴ 1即 与 的函数关系式为 = 2
2 + ； ...................................7 分
(3) ∵ = 1 22 + =
1
2 ( 1)
2 + 12，
∴ = 1 1当 时， 有最大值，最大值为2． .......................................10 分
23.【答案】解：(1)如图所示：
∵在 △ 中，∠ = 90°， = 4 ， = 3 ．
∴根据勾股定理，得 = 2 + 2 = 5 ．
= 4 ， = 2
当 = 时，则 4 = 2 ，
= 4解得： 3，
∴当 = 4时， = 3； ........................................3 分
(2)过点 作 ⊥ 于点 ，则 / / ，
∴ =
，
2
即 3 = 5，
第 5页，共 8页
∴ = 65 ，
= 1△ 2 (4 ) ×
6
5 =
3
5
2 + 125 ，
∴ = 1△ △ = 2 × 3 × 4 (
3 2 12 3 2 12
5 + 5 ) = 5 5 + 6，
即 = 3 2 125 5 + 6； .......................................6 分
(3)存在以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似，分两种情况：
△ △ = ①当 ∽ 时， ，
2
即 4 =
4
5 ，
= 8解得： 7；
②当△ △ = ∽ 时， ，
4 = 2 即 4 5，
20
解得： = 13．
= 8 = 20综上所述，当 7或 13时，以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似． .....................10 分
24.【答案】(1)证明：∵四边形 内接于⊙ ，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ 平分∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴△ 是等腰三角形； .....................................4 分
(2)①证明：∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
第 6页，共 8页
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 2 = ，
∵ = ，
∴ 2 = ； .......................................8 分
②解：连接 交 于 ，
∵ = ， = ，
∴ 、 都在中垂线上，即 、 、 共线，
∴ ⊥ 且 = = 3，
∵ = 5，
∴在 △ 中， = 4，
∴ = 4 + = 9，
∴在 △ 中， = 92 + 32 = 3 10，
∵△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 6 =
6
3 10，
6
解得： = 5 10，
∴ = 3 10 6 95 10 = 5 10，
∴ = = 95 10，
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
第 7页，共 8页
∴△ ∽△ ，
∴ =
6 = 109 10 3 ，
5
∴ △ = (
2 10
△
) = 9． ........................................12 分
第 8页，共 8页2024学年第一学期九年级数学学科期中试卷
考生须知：
全卷分试题卷和答题卷，试题卷共4页，有三个大题，24个小题，满分为120分，考试时长为120分钟。
请将姓名、班级、考场、座位号和准考证号填写到答题卷规定位置上。
答题时，选择题用2B铅笔涂黑、涂满，其余文字题用黑色字迹钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷各题目规定区域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效。
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分。请选出每小题中一个符合题意的选项，不选、多选、错选均不给分）
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
(
（
第
4
题图
）
)A. 在一个只装有白球和黑球的袋中摸出红球
B. 一个三角形三个内角的和小于
C. 若是实数，则
D. 在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交
3.抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，在直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形若点的坐标为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知圆的内接正六边形的边长为，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
(
（
第
5
题图
）
)6.半径为，圆心角为的扇形面积为( )
A. B. C. D.
7.若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系正确的为( )
A. B. C. D.
8.二次函数的图象如图所示，下列结论正确的是 ( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
9.如图，，都是的弦，，，垂足分别为点，，，那么等于( )
A. B. C. D.
10.如图，矩形中，点，点分别是，的中点，交对角线于点，交于点则的值是( )
A. B. C. D.
第8题图 第9题图 第10题图
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若二次函数的图象过点，则的值是______________．
12.若扇形的弧长为，半径为，则该扇形圆心角的度数为
13.如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______度．
(
（
第
14
题图
）
) (
（
第
13
题图
）
)
14.如图，点，点是线段的两个黄金分割点，点 填是或不是线段的一个黄金分割点．
15.三角形三边长为，，，则这个三角形的外心和重心的距离为______．
16.已知函数，当时，若的最大值与最小值之差为，则 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分一个不透明的箱子里装有个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后，从中任意摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定在左右．
请你估计箱子里白色小球的个数；
现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率用画树状图或列表的方法．
18.本小题分如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格中进行下列操作：
在图中标出该圆弧所在圆的圆心点的位置，并写出点点坐标___________．
连接、，求的半径及的长结果保留；
有一点，判断点与的位置关系．
19.本小题分如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，
求证：∽；
若，，求线段长．
20.本小题分已知二次函数的图像经过点、．
试确定此二次函数的表达式；
求顶点坐标及对称轴；
判断点是否在这个二次函数的图像上，并说明理由．
21.本小题分如图，中两条互相垂直的弦，交于点．
若是的中点，的半径为，，
求的长；
点在上，且，求证：．
22.本小题分为了在校园内有效开展劳动教育，学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位的（）的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在中，点是边上任意一点点与点，不重合，矩形的顶点，分别在，上七年级为矩形部分，八九年级为和两部分．
若：：，求；
已知，设，矩形的面积为，求与的函数关系式．
在的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大求出七年级所分矩形部分的面积在为多少时取得最大值，并求出最大值是多少．
23.本小题分如图，在中，，，动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为．
当时，求的值．
设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；
是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值；若不存在，说明理由．
24.本小题分如图，内接于，，的外角的平分线交于点，连接，，交于点．
求证：是等腰三角形．
若．
求证：．
若的半径为，，直接写出的值．
第4页，共4页
