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《分解因式及乘方》专项练习
一．选择题（共30小题）
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．3a2﹣12ab+12b2＝3（a﹣2b）2
B．9x2﹣y2＝（9x+y）（9x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝（﹣x﹣1）2
D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
2．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
3．下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．2m2n﹣8n3＝2n（m2﹣4n2）
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．
D．9a2﹣9b2＝（3a+3b）（3a﹣3b）
4．若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
5．已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
6．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则的值（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
8．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B．2ab+a2+b2 C．﹣a2+25 D．﹣4﹣b2
9．如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
10．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如表所示：
密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
11．下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．72＝2×2×2×3×3
C．
D．
12．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1
13．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
14．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy D．2x﹣2y＝2（x﹣y）
15．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．2ab（a﹣b）＝2a2b﹣2ab2 B．x2+1＝x（x）
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
16．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1
C．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
D．a3+2a2﹣3a＝a（a+3）（a﹣1）
17．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．2x+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+1＝x（2） D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
18．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2
D．a2﹣4+3a＝（a+2）（a﹣2）+3a
19．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x 12xy
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
20．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
21．如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，若AB＝4，B'C'＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B'的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
22．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
23．在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣2）关于x轴对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）
24．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
25．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
26．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°
28．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABC的周长为26，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．21
29．若等腰三角形一个底角的平分线将它分割成两个等腰三角形，则原等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
30．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．长方形 D．正五边形
二．填空题（共12小题）
31．因式分解：2a3﹣8a＝ ．
32．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
33．因式分解：3x2﹣3＝ ．
34．因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ ．
35．在实数范围内因式分解：3x2+x﹣1＝ ．
36．因式分解2a2﹣a＝ ．
37．分解因式：2a2﹣8＝ ．
38．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ ．
39．把多项式8a2b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是 ．
40．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 ．
41．因式分解：2mx2﹣2my2＝ ．
42．因式分解：a2﹣3a＝ ．
三．解答题（共14小题）
43．（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
44．（1）已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．
（2）若2×8x×16x＝222，求x的值．
（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535．
45．计算．
（1）；
（2）（6x3y2）2÷3x2y．
46．（1）若2m＝8，则m＝ ；若2n 3n＝36，则n＝ ；
（2）若2a 3a 6a＝364﹣a，求a的值．
47．先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．
48．计算：
（1）x2 x3+x4 x；
（2）（3x2y）2÷（﹣9x4y）．
49．观察下列算式：
31﹣30＝2×30，
32﹣31＝2×31，
33﹣32＝2×32，
34﹣33＝2×33，
…
（1）写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（2）计算：30+31+32+ +31000．
50．如图，某市有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求出绿化的面积是多少平方米？
（2）当a＝3，b＝2时，求出绿化面积．
51．如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
（1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）
（2）若a＝10，b＝5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
52．计算：（5x+2y）（3x﹣2y）
53．如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
（1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
（2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积．
54．计算：
（1）3a（5a﹣2b）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
55．在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若4x＝26，求x的值；
（2）若5x+2﹣5x+1＝100，求x的值．
56．计算：a3 a5+（a2）4+（﹣3a4）2．中小学教育资源及组卷应用平台
《分解因式及乘方》专项练习
一．选择题（共30小题）
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．3a2﹣12ab+12b2＝3（a﹣2b）2
B．9x2﹣y2＝（9x+y）（9x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝（﹣x﹣1）2
D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
【思路点拔】根据因式分解﹣十字相乘法，提公因式法与公式法进行分解，即可判断．
【解答】解：A．3a2﹣12ab+12b2＝3（a﹣2b）2，故A正确，符合题意；
B.9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y），故B错误，不符合题意；
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，故C错误，不符合题意；
D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1），故D错误，不符合题意．
故选：A．
2．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2﹣（b﹣c）2的结果（ ）
A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．不确定
【思路点拔】由三角形三边关系可得a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，原式再因式分解化为（a+b﹣c）（a﹣b+c），即可得解．
【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边长，根据三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：
∴a+b﹣c＞0，a+c﹣b＞0，
∴a2﹣（b﹣c）2＝（a+b﹣c）[a﹣（b﹣c）]＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）＞0．
故选：A．
3．下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．2m2n﹣8n3＝2n（m2﹣4n2）
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．
D．9a2﹣9b2＝（3a+3b）（3a﹣3b）
【思路点拔】根据提公因式法，平方差公式、完全平方公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、2m2n﹣8n3＝2n（m2﹣4n2）＝2n（m+2n）（m﹣2n），故本选项错误；
B、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确；
C、x2﹣x（x）2，故本选项错误；
D、9a2﹣9b2＝9（a2﹣b2）＝9（a+b）（a﹣b），故本选项错误．
故选：B．
4．若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（ ）
A．9 B．16 C．20 D．25
【思路点拔】将a2b+ab2提取公因式ab，进而将已知代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20，
故选：C．
5．已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣5 D．﹣1
【思路点拔】利用因式分解把代数式变形，再代入数值计算即可．
【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣y＝2，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝﹣3×（﹣2）
＝6．
故选：B．
6．多项式x2﹣4x+m分解因式的结果是（x+3）（x﹣n），则的值（ ）
A． B．3 C．﹣3 D．
【思路点拔】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x+3）（x﹣n）展开，可得x2+（3﹣n）x﹣3n，则有x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于m、n的方程组，解出m，n的值，再把m，n值代入中计算即可．
【解答】解：∵（x+3）（x﹣n）＝x2+（3﹣n）x﹣3n，
∴x2﹣4x+m＝x2+（3﹣n）x﹣3n；
∴
解得：
∴，
故选：C．
7．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1
C．x+2＝x（1） D．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
【思路点拔】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，依据分解因式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．等式的右边不是几个整式的积的形式，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
8．下列多项式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A． B．2ab+a2+b2 C．﹣a2+25 D．﹣4﹣b2
【思路点拔】根据完全平方公式和平方差公式逐项进行分析判断即可．
【解答】解：A．，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
B．2ab+a2+b2＝（a+b）2，能用完全平方公式进行因式分解，不符合题意；
C．﹣a2+25＝（5+a）（5﹣a），能用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
D．﹣4﹣b2＝﹣（4+b2），不能用公式法分解，符合题意；
故选：D．
9．如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【思路点拔】把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．
【解答】解：a2﹣2ab﹣c2+b2
＝a2﹣2ab+b2﹣c2
＝（a﹣b）2﹣c2
＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]，
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0，
∴a2﹣2ab﹣c2+b2＜0，即a2﹣2ab﹣c2+b2的值是负数，
故选：B．
10．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如表所示：
密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x …
明文 … 我 爱 中 华 大 地 …
把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（ ）
A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大
【思路点拔】提取公因式后，再用平方差公式分解即可．
【解答】解：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2），
原式＝8（x﹣y）（m2﹣n2），
＝8（x﹣y）（m+n）（m﹣n），
∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；
故选：D．
11．下列各等式中，从左到右是因式分解的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．72＝2×2×2×3×3
C．
D．
【思路点拔】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项是整式乘法，故该选项不符合题意；
B选项，左边不是一个多项式，故该选项不符合题意；
C选项，等式的右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
D选项属于因式分解，故该选项符合题意；
故选：D．
12．若x2+mx﹣10＝（x﹣5）（x+n），则m+n的值为（ ）
A．5 B．﹣1 C．﹣5 D．1
【思路点拔】利用乘法公式把（x﹣5）（x+n）展开得到x2+（n﹣5）x﹣5n，所以﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，从而可求出m、n的值，然后计算m+n的值．
【解答】解：∵（x﹣5）（x+n）＝x2+（n﹣5）x﹣5n，
∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，
解得n＝2，m＝﹣3，
∴m+n＝﹣3+2＝﹣1．
故选：B．
13．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】因式分解可套用公式分别是公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）和公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，所给出的6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
②﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以②⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
14．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3＝（x+1）2+2 B．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2
C．x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy D．2x﹣2y＝2（x﹣y）
【思路点拔】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、x2+2x+3＝（x+1）2+2，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
B、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，是整式的乘法，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy，右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意；
D、3x2+2x＝x（3x+2），右边是几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
15．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．2ab（a﹣b）＝2a2b﹣2ab2 B．x2+1＝x（x）
C．x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【思路点拔】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C、不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
16．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1
C．a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2
D．a3+2a2﹣3a＝a（a+3）（a﹣1）
【思路点拔】根据因式分解的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+1，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2﹣a﹣2＝a（a﹣1）﹣2，等式的右边不是几个整式的积，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、a3+2a2﹣3a＝a（a2+2a﹣3）＝a（a+3）（a﹣1），等式的右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
17．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．2x+2x+1＝x（x+2）+1
C．2x+1＝x（2） D．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【思路点拔】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．
【解答】解：A、是整式的乘法，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；
故选：D．
18．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（ ）
A．x2﹣y2＝（x﹣y）2
B．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
C．（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2
D．a2﹣4+3a＝（a+2）（a﹣2）+3a
【思路点拔】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、x2﹣y2≠（x﹣y）2，故本选项不符合题意；
B、x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，故本选项符合题意；
C、（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2，是整式乘法，故本选项不符合题意；
D、a2﹣4+3a＝（a+2）（a﹣2）+3a，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：B．
19．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x 12xy
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16
【思路点拔】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【解答】解：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A．x2+4x+4＝（x+2）2，符合因式分解的形式，符合题意；
B．36x2y＝3x 12xy，不符合因式分解的定义，不符合题意；
C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4，右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
D． （x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意
故选：A．
20．如果三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3
【思路点拔】根据题意，逐个判断出所给n的值，是否满足三个连续整数n、n+1、n+2的和等于它们的积，进而判断出哪个n的值不满足“和谐数组”条件即可．
【解答】解：∵n＝﹣1时，﹣1+（﹣1+1）+（﹣1+2）＝0，﹣1×（﹣1+1）×（﹣1+2）＝0，0＝0，
∴n＝﹣1满足“和谐数组”条件，
∴选项A不符合题意；
∵n＝﹣3时，﹣3+（﹣3+1）+（﹣3+2）＝﹣6，﹣3×（﹣3+1）×（﹣3+2）＝﹣6，﹣6＝﹣6，
∴n＝﹣3满足“和谐数组”条件，
∴选项B不符合题意；
∵n＝1时，1+（1+1）+（1+2）＝6，1×（1+1）×（1+2）＝6，6＝6，
∴n＝1满足“和谐数组”条件，
∴选项C不符合题意；
∵n＝3时，3+（3+1）+（3+2）＝12，3×（3+1）×（3+2）＝60，12≠60，
∴n＝3不满足“和谐数组”条件，
∴选项D符合题意．
故选：D．
21．如图，△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，若AB＝4，B'C'＝2，CD＝0.5，则五边形ABCC′B'的周长为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【思路点拔】直接利用轴对称的性质得出AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′，再用周长公式即可得出答案．
【解答】解：∵△ABC和△AB'C'关于直线l对称，l交CC'于点D，
∴AB＝AB′，BC＝B′C′，DC＝DC′，
∵AB＝4，B'C'＝2，CD＝0.5，
∴AB′＝4，BC＝2，DC′＝0.5，
∴五边形ABCC′B'的周长为：4+2+0.5+0.5+2+4＝13．
故选：B．
22．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】结合轴对称图形的定义可得答案．
【解答】解：由各选项图形可知，是轴对称图形的是D选项，
故选：D．
23．在平面直角坐标系中，点（﹣3，﹣2）关于x轴对称的点是（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣2，﹣3）
【思路点拔】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点（﹣3，﹣2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故选：A．
24．如图，在△ABC中，∠A为钝角，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以3cm/s的速度向点A运动，点Q同时从点A出发以2cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（ ）
A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
【思路点拔】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可．
【解答】解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故选：D．
25．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
26．下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：A．
27．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，D，E分别是线段BC、AC上的一点，根据下列条件之一，不能确定△ADE是等腰三角形的是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝72°
C．∠1+2∠2＝90° D．2∠1＝∠2+72°
【思路点拔】首先求出∠BAC＝108°，则∠DAE＝108°﹣∠1，再求出∠AED＝36°+∠2，∠ADE＝36°+∠1﹣∠2，分别根据四个选项中的条件求出∠DAE，∠AED，∠ADE的大小，然后再进行比较即可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝108°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠1＝108°﹣∠1，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED＝∠C+∠2＝36°+∠2，
∴∠ADC＝∠B+∠1＝36°+∠1，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠2＝36°+∠1﹣∠2，
对于选项A，当∠1＝2∠2时，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝180°﹣2∠2
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+2∠2﹣∠2＝36°+∠2，
∴∠AED＝∠ADE，
故选项A能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项B，当∠1+∠2＝72°时，
则∠1＝72°﹣∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（72°﹣∠2）＝36°+∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+72°﹣∠2﹣∠2＝108°﹣2∠2，
∴∠DAE＝∠AED，
故选项B能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项C，当∠1+2∠2＝90°时，
则∠1＝90°﹣2∠2，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（90°﹣2∠2）＝18°+2∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+90°﹣2∠2﹣∠2＝126°﹣3∠2，
∴∠DAE≠∠AED≠∠ADE，
故选项C不能确定△△ADE是等腰三角形；
对于选项D，当2∠1＝∠2+72°时，
则∠1∠2+36°，
∴∠DAE＝108°﹣∠1＝108°﹣（∠2+36°）＝72°∠2，
∠AED＝36°+∠2，
∠ADE＝36°+∠1﹣∠2＝36°+（∠2+36°）﹣∠2＝72°∠2，
∴∠DAE＝∠ADE，
故选项D能确定△ADE是等腰三角形．
综上所述：选项C不能确定△△ADE是等腰三角形．
故选：C．
28．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABC的周长为26，则△ABD的周长为（ ）
A．10 B．16 C．18 D．21
【思路点拔】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC的周长为26，
∴AB+BC+AC＝26，
∵DE是AC的垂直平分线，AE＝5，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∴AB+BC＝16，
∴△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16，
故选：B．
29．若等腰三角形一个底角的平分线将它分割成两个等腰三角形，则原等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．36° B．72° C．90° D．108°
【思路点拔】依题意画出图形，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求出原等腰三角形顶角的度数．
【解答】解：如图所示：
∵在△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠CBD，
∵△ABD和△BCD都是等腰三角形，
∴AD＝BD，BD＝BC，
∴∠ABD＝∠A，∠BDC＝∠C，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A，∠ABD＝∠CBD＝∠A，
在△BCD中，∠CBD+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠A+2∠A+2∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
即原等腰三角形顶角的度数为36°．
故选：A．
30．下列图形中，对称轴最多的图形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．长方形 D．正五边形
【思路点拔】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，长方形用两条对称轴，正五边形有五条对称轴，
所以对称轴最多的图形是正五边形．
故选：D．
二．填空题（共12小题）
31．因式分解：2a3﹣8a＝ 2a（a+2）（a﹣2） ．
【思路点拔】观察原式，找到公因式2a，提出公因式后发现a2﹣4符合平方差公式的形式，利用平方差公式继续分解即可得求得答案．
【解答】解：2a3﹣8a，
＝2a（a2﹣4），
＝2a（a+2）（a﹣2）．
32．因式分解：ab2﹣4a＝ a（b+2）（b﹣2） ．
【思路点拔】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
33．因式分解：3x2﹣3＝ 3（x﹣1）（x+1） ．
【思路点拔】首先提公因式3，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝3（x2﹣1）＝3（x﹣1）（x+1），
故答案为：3（x﹣1）（x+1）．
34．因式分解：ax2﹣4ax+4a＝ a（x﹣2）2 ．
【思路点拔】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
35．在实数范围内因式分解：3x2+x﹣1＝ 3（x）（x） ．
【思路点拔】根据“当x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根时，ax2+bx+c可以分解为a（x﹣x1）（x﹣x2）”，求出方程3x2+x﹣1＝0的两个根即可．
【解答】解：根据ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，
∵3x2+x﹣1＝0的两个根为x1，x2，
∴3x2+x﹣1＝3（x）（x），
故答案为：3（x）（x）．
36．因式分解2a2﹣a＝ a（2a﹣1） ．
【思路点拔】先确定公因式为a，然后利用提取公因式法进行因式分解即可．
【解答】解：2a2﹣a
＝a（2a﹣1）．
故答案为：a（2a﹣1）．
37．分解因式：2a2﹣8＝ 2（a+2）（a﹣2） ．
【思路点拔】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4）
＝2（a+2）（a﹣2），
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
38．分解因式：x3﹣6x2+9x＝ x（x﹣3）2 ．
【思路点拔】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：x3﹣6x2+9x
＝x（x2﹣6x+9）
＝x（x﹣3）2，
故答案为：x（x﹣3）2．
39．把多项式8a2b2+12ab3c因式分解时，应提取的公因式是 4ab2 ．
【思路点拔】利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：8a2b2+12ab3c
＝4ab2 2a+4ab2 3bc
＝4ab2（2a+3bc），
故答案为：4ab2．
40．已知正整数a，b，c满足a+b2﹣2c﹣2＝0，3a2﹣8b+c＝0，则abc的最大值为 2013 ．
【思路点拔】本题的关键是利用完全平方公式．
【解答】解：∵3a2﹣8b+c＝0，
∴c＝8b﹣3a2，
代入a+b2﹣2c﹣2＝0可得：（b﹣8）2＝66﹣6a2﹣a，
∴66﹣6a2﹣a为完全平方数，则a＝3，
可得：b＝5或11，c＝13或61，
∴abc的最大值为3×11×61＝2013；
故答案为：2013．
41．因式分解：2mx2﹣2my2＝ 2m（x+y）（x﹣y） ．
【思路点拔】先提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2mx2﹣2my2
＝2m（x2﹣y2）
＝2m（x+y）（x﹣y）．
42．因式分解：a2﹣3a＝ a（a﹣3） ．
【思路点拔】直接把公因式a提出来即可．
【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）．
故答案为：a（a﹣3）．
三．解答题（共14小题）
43．（1）已知a2﹣a﹣5＝0，求（4﹣a）（3+a）的值．
（2）已知a2+a﹣5＝0，求（a2﹣5）（a+1）的值．
【思路点拔】（1）根据已知得a﹣a2＝﹣5，再将（4﹣a）（3+a）化简，再整体代入即可；
（2）根据已知得a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，然后整体代入即可．
【解答】解：（1）∵a2﹣a﹣5＝0，
∴a﹣a2＝﹣5，
∴（4﹣a）（3+a）
＝12+4a﹣3a﹣a2
＝12+（a+a2）
＝12+（﹣5）
＝7；
（2）∵a2+a﹣5＝0，
∴a2﹣5＝﹣a，﹣a2﹣a＝﹣5，
∴（a2﹣5）（a+1）
＝﹣a（a+1）
＝﹣a2﹣a
＝﹣5．
44．（1）已知2a＝5，2b＝1，求2a+b+3的值．
（2）若2×8x×16x＝222，求x的值．
（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535．
【思路点拔】（1）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（2）根据幂的乘方运算法则将8和16分别化为以2为底的幂，再根据同底数幂的乘法运算法则计算即可；
（3）将3535中的底35写成5×7，再根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．
【解答】解：（1）∵2a＝5，2b＝1，
∴2a+b+3
＝2a 2b 23
＝5×1×8
＝40．
（2）∵2×8x×16x
＝2×23x×24x
＝21+3x+4x
＝27x+1
＝222，
∴7x+1＝22，
∴x＝3．
（3）∵p＝57，q＝75，
∴3535
＝（5×7）35
＝535×735
＝（57）5×（75）7
＝p5q7．
45．计算．
（1）；
（2）（6x3y2）2÷3x2y．
【思路点拔】（1）先根据算术平方根、立方根的定义进行计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先根据积的乘方法则计算，再根据单项式除以单项式的法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝12+2﹣13
＝14﹣13
＝1；
（2）（6x3y2）2÷3x2y
＝36x6y4÷3x2y
＝12x4y3．
46．（1）若2m＝8，则m＝ 3 ；若2n 3n＝36，则n＝ 2 ；
（2）若2a 3a 6a＝364﹣a，求a的值．
【思路点拔】（1）根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答；
（2）根据幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵2m＝8，
∴2m＝23，
∴m＝3，
∵2n 3n＝36，
∴（2×3）n＝62，
∴6n＝62，
∴n＝2，
故答案为：3，2；
（2）∵2a 3a 6a＝364﹣a，
∴（2×3×6）a＝364﹣a，
∴36a＝364﹣a，
∴a＝4﹣a，
∴a+a＝4，
∴2a＝4，
∴a＝2，
∴a的值为2．
47．先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．
【思路点拔】先利用多项式除以单项式的法则进行计算，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a
＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1，
当a＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．
48．计算：
（1）x2 x3+x4 x；
（2）（3x2y）2÷（﹣9x4y）．
【思路点拔】（1）先算乘法，再算加法．
（2）先乘方，再算除法．
【解答】解：（1）原式＝x5+x5＝2x5．
（2）原式＝9x4y2÷（﹣9x4y）＝[9÷（﹣9）]×（x4÷x4）×（y2÷y）＝﹣y．
49．观察下列算式：
31﹣30＝2×30，
32﹣31＝2×31，
33﹣32＝2×32，
34﹣33＝2×33，
…
（1）写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（2）计算：30+31+32+ +31000．
【思路点拔】（1）根据算式规律写出第n个等式，并利用同底数幂的乘方运算法则证明即可；
（2）写出当n＝1001时的算式，将各算式左边与左边、右边与右边分别相加，得2×（30+31+32+ +31000）＝31001﹣1，从而求出30+31+32+ +31000的值．
【解答】解：（1）根据算式规律，第n个等式为3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1．理由如下：
3n﹣3n﹣1
＝3 3n﹣1﹣3n﹣1
＝（3﹣1） 3n﹣1
＝2×3n﹣1．
（2）31﹣30＝2×30，
32﹣31＝2×31，
33﹣32＝2×32，
34﹣33＝2×33，
…
31001﹣31000＝2×31000，
将以上算式左边与左边、右边与右边分别相加，
得2×（30+31+32+ +31000）＝31001﹣1，
∴30+31+32+ +31000（31001﹣1）．
50．如图，某市有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求出绿化的面积是多少平方米？
（2）当a＝3，b＝2时，求出绿化面积．
【思路点拔】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解；
（2）将a＝3，b＝2代入（1）中化简结果进行计算即可求解．
【解答】解：（1）
＝（6a2+3ab﹣2ab﹣b2）﹣（a2+2ab+b2）
＝6a2+ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2﹣ab﹣2b2（平方米）；
答：绿化的面积是（5a2﹣ab﹣2b2）平方米；
（2）当a＝3，b＝2时，
5a2﹣ab﹣2b2
＝5×32﹣3×2﹣2×22
＝5×9﹣6﹣2×4
＝45﹣6﹣8
＝31，
∴绿化面积为31平方米．
51．如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（2a﹣b）米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
（1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）
（2）若a＝10，b＝5，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
【思路点拔】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入a＝10，b＝5求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【解答】解：（1）（2a+3b）（2a﹣b）﹣4b2
＝4a2+6ab﹣2ab﹣3b2﹣4b2
＝（4a2+4ab﹣7b2）平方米，
∴铺设的草坪的面积为（4a2+4ab﹣7b2）平方米；
（2）当a＝10，b＝5时，4a2+4ab﹣7b2＝4×102+4×10×5﹣7×52＝425平方米，
∴铺设草坪所需要的费用为425×30＝12750元．
52．计算：（5x+2y）（3x﹣2y）
【思路点拔】原式利用多项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2＝15x2﹣4xy﹣4y2．
53．如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
（1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
（2）当x＝2，y＝3时，求文化广场的面积．
【思路点拔】（1）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可作出答案；
（2）将x＝2，y＝3代入即可．
【解答】解：（1）（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2
＝2x2+5xy；
（2）当x＝2，y＝3时，
2x2+5xy
＝2×22+5×2×3
＝8+30
＝38（平方米），
答：文化广场的面积为38平方米．
54．计算：
（1）3a（5a﹣2b）；
（2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a．
【思路点拔】（1）直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出答案；
（2）利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）原式＝3a 5a﹣3a 2b
＝15a2﹣6ab；
（2）原式＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a
＝4a2﹣2a+1．
55．在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y．
利用上面的结论解答下列问题：
（1）若4x＝26，求x的值；
（2）若5x+2﹣5x+1＝100，求x的值．
【思路点拔】（1）利用幂的乘方的法则变形，得到2x＝6，再进行运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到x+1＝2，再进行运算即可．
【解答】解：（1）∵4x＝26，
∴22x＝26，
∴2x＝6，
解得x＝3；
（2）∵5x+2﹣5x+1＝100，
∴5x+1×5﹣5x+1＝100．
4×5x+1＝4×52，
∴x+1＝2，
解得x＝1．
56．计算：a3 a5+（a2）4+（﹣3a4）2．
【思路点拔】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：a3 a5+（a2）4+（﹣3a4）2
＝a8+a8+9a8
＝11a8．
