2024-2025学年江苏省苏州市常熟市高一第一学期期中考试数学试题 （含答案）

2024-2025学年江苏省常熟市高一第一学期期中考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题“，”，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.若函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称。双十一购物节来临，某店铺制作了只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是元，则均可被卖出若每只“叫花鸡”在定价元的基础上提高元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
6.已知是奇函数，对于任意，，均有成立，且，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.通过研究发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心为( ) 参考公式：
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，则代数式的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于的不等式的解集可以是( )
A. B.
C. D. 或
10.若非零实数，，满足，则下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数
B. 在上单调递增
C. 关于的方程有个解
D. 若关于的不等式恰有个整数解，则正实数的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则集合的真子集个数为 ．
13.已知函数则不等式的解集为 ．
14.已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
当时，求，
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，是否存在，使命题“，”与命题“，”均为真命题，若存在，求的取值范围若不存在，说明理由
若，且在区间上的最小值为，求的值．
17.本小题分
已知为定义在上的偶函数，当时，且．
求实数的值及在上的解析式
判断并证明在上的单调性：
解关于的不等式：．
18.本小题分
某市为了改善交通，缓解交通压力，完善交通道路网，在该市交通部门的配合下，对该市某个重要路口的交通情况做了一个调查统计，发现一天中，该路口的交通拥堵指数与时刻时有如下关系：常数，我们把的最大值记作，用作为当天的拥堵指数．
当时，求当天拥堵指数的值
求当天拥堵指数的表达式．
19.本小题分
已知函数定义域为，若存在，，实数大于，对，有成立，则称为定义在上的函数．
已知为定义在上的函数，求最大的区间
已知为定义在上的函数，求实数的取值范围
已知为定义在上的函数，求的最小值及此时，的值．
参考答案
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14.
15.解：，
当时，，
所以，
因为或，
所以．
因为，
当时，，解得，
当时，，解得，
所以实数的取值范围为或．
16.解：若，则的对称轴为，
所以， ，
当命题真时，，，所以，
当命题真时，，，所以，
综上：
若，则，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上：或．
17.解：因为为定义在上的偶函数，
当时，且，
所以，解得．
设，则，即，
所以，，
在上的单调递减，
下证：任取，则
，
因为，所以，，，
所以，即，所以在上的单调递减．
当时，所以，
因为，且为偶函数，所以，
因为在上的单调递减，所以
即，解得或，
所以不等式的解集为
18.解：当时，，
当时，，
当时，，
因为，当且仅当即时取等号，
所以，
所以的最大值为，
当时，时取得最大值，
因为，
所以．
当，，
令，则，
所以
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，解，得，
所以当时，
又当时，，
若，由，所以，
若，由，得，
所以当天的拥堵指数
19.在上恒成立，
解得，所以最大的区间为．
因为为定义在上的函数，
所以对，恒成立，
即，，
令，，
当时，的最大值为，的最小值为，
所以．
因为为定义在上的函数，
所以对，恒成立，
分别取，，，得
则．
所以．
当时，或，解得，．
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