河南省驻马店市新蔡县2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题（含答案）

新蔡县高三2024年11月份月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．定义在R上的偶函数，满足，在区间上单调递减，设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ）
A．13 B．16 C． D．28
6．已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（ ）
A．-1 B．1 C．64 D．
7．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ）
A． B．8
C． D．
8．已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．设数列的前项和为，若，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．设数列的前项积为，则有最大值，无最小值
C．数列中没有最大项
D．若对任意，成立，则或
10．在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A．若点在线段上，则的最小值为
B．三棱锥的体积为
C．异面直线、所成的角为
D．三棱锥外接球的表面积为
11．以下不等式成立的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若的展开式中，项的系数为，则的最大值为 .
13．已知定义域为的函数同时满足：
①对于任意的，总有；
②若，，，则有；③；
以下命题中正确的命题的序号为 .（请写出所有正确的命题的序号）
（1）；
（2）函数的最大值为；
（3）函数对一切实数，都有.
14．曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值.对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算.其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数.已知曲线，则曲线在点处的曲率为 ；C上任一点处曲率的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且.
(1)若，求；
(2)若，求的面积的最大值.
16．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，二面角的大小为．
(1)证明：平面平面．
(2)求四棱锥的体积．
(3)若点在线段上，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
17．如图，，分别为椭圆的左、右顶点，为第一象限上一点，且，过点的直线与有唯一的公共点.
(1)求的方程；
(2)过原点作直线的平行线与椭圆C交于M，N两点，证明：P，M，，N四点共圆，并求该圆的标准方程.
18．已知函数（其中）．
(1)当时，证明：是增函数；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)已知，设函数，若对任意的恒成立，求的最小值．
19．已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列．
(1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由；
(2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列；
(3)若为有界数列，证明：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B B C D AD AC
题号 11
答案 ABC
12．
13．（1）（2）（3）
14．
15．（1）因为，所以由正弦定理得，
又，所以，，
从而.
（2）由余弦定理可知，则，
又，故，
即，故，即，
从而，
当时取等号，即的面积的最大值为3.
16．（1）设的中点分别为，连接．
在中，由，所以．
由，所以，
因为，所以二面角的平面角为，
则．
因为，平面，所以平面，
由平面，所以，则，
所以．
又，所以．
又因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面．
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，即四棱锥的高为，
所以四棱锥的体积为．
（3）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，．
记，则．连接．
设，
则，
．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以，
则，解得，
则．又，
所以，．
设平面的法向量为，
则由得取，得．
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．（1）法一：，由，得，解得，
代入椭圆方程得，所以，设直线，
联立椭圆方程，得，
即.
由，
整理得，解得，
因此直线的方程为：.
法二：，则，，
令，则，
故直线的方程为：，
（2）依题意，直线MN的方程为，联立椭圆可得，
即，即，，，.
设圆的方程为，代入，P，M，可得：
，解得，
此时圆方程为，
将点代入上述方程，得，
所以点也在此圆上，故P，M，，N四点共圆，
其标准方程为.
18．（1）函数的定义域为R，当时，，
求导得，所以是增函数．
（2）依题意，
，
所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.
（3）依题意，，其定义域为，求导得，
当时，在上单调递增，
当时，，的取值集合为，
因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；
当时，由，得在上单调递增；
由，得在上单调递减，
函数在处取得最小值，且，
由对任意的恒成立，得，即成立，
因此，设，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19．（1），，
，
所以为有界数列．
不存在，使得，
所以不是有界数列．
（2）因为为6—有界数列，
所以的值最少有6种情况．
因为共有4项，从中任取2项，共种取法，
所以的值只有6种情况，分别为，
即从中任取2项的差值的绝对值分别对应．
若，则，与从中任取2项的差值的绝对值分别对应矛盾；
若，则，从中任取2项的差值的绝对值取不到6，
所以．
①当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意；
若，不符合题意．
②当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意．
③当或5时，经检验，都不符合题意．
经验证，数列和数列均为6—有界数列．
综上，的值为或．
（3）证明：因为为10-有界数列，所以，的值最少有10种情况， 所以，解得舍去．
当时，，要使得为有界数列，
则从中任取2项的差值的绝对值分别对应．
因为为整数数列，且有界数列研究的是连续项中最大值与最小值的差值，
所以不妨设，且为单调递增数列．
因为，所以．
要使得中有2项的差值为9，不妨取．
要使得中有2项的差值为8，可取，即．
（若取或4，会使得，若取，会使得，均不满足题意）
剩下无论取何值，都无法满足从中任取2项的差值的绝对值分别对应1，，
所以当时，不可能为有界数列，
当时，存在为10—有界数列，如．
易得，当时，存在，使得为有界数列．
综上，若为有界数列，则．