黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高三上学期期中考试（11月）数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省牡丹江市2024-2025学年高三上学期期中考试（11月）数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 888.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-13 14:40:06 | ||
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文档简介
牡丹江2024-2025学年度第一学期高三学年期中考试
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本试卷主要命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何．
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数．则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．复数（为虚数单位）为纯虚数，则它的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．若函数在（）上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．[1，oo） B．（1，∞） C．（0，1） D．（0，1]
6．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
7．中和殿是故宫外朝三大殿之一．位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为m，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°．若取30°，则下列结论不正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为m
C．正四棱锥的体积为m3 D．正四棱锥的侧面积为m2
8．△的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．或3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥ B．若，则∥
C．若∥,，则∥ D．若，则
10．如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
11．已知数列满足设，记数列的前项和为，
数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在△中，是直线上一点，若，则实数的值为_______．
13．已知正实数满足，则的最小值是________．
14．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求的单调递增区间和最值
（2）若函数在，有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
16．（15分）
已知数列满足．等比数列的公比为3，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列，求数列的前项和．
17.（15分）
在△中，角所对的边分别是，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面积.
18．（17分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求，并证明数列是等差数列；
（2）若，求正整数的所有取值．
19．（17分）已知函数．
（1）若函数的图象与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
牡丹江2024—2025学年度第一学期高三学年期中考试·数学
参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．BD 10．CD 11．ACD
12． 13．16 14．45°
15．解：（1）函数
；
令，整理得：；
故函数的单调递增区间为
当，整理得：时，函数取值为；
当，整理得：时，函数取得值为．
（2）由于，整理得．
所以函数在上，函数的图象与的图象有两个交点，即函数有两个零点；故．故实数的取值范围为．
16．解：（1）数列满足，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴，
∴．
∵等比数列的公比为3，且，∴，
∴，∴．
（2）∵，
∴
．
17．解：（1）可得：，
∴，∴，∴．
则．
（2）由（1）可得，在△中，由正弦定理，得：，则．
18．（1）证明：由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得，所以，
，
两式相减得，
所以，则，
由，得，即．
令，因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数．
由，
，
则当时，，所以若，正整数的所有取值为1，2，3．
19．解：（1）设直线与函数的图象相切于点，
因为，所以，由②③可得，易知．
由①得，代入④可得，
即，即，解得．
故．
（2）令，可得，
由题意可得只有一个根．
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得．
设，则与的图象只有一个交点．
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以．所以．
又时，时，时，．
画出函数的图象如图所示：
由图可知，若与的图象只有一个交点，则．
所以实数的取值范围是．
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将密封线内项目填写清楚。考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本试卷主要命题范围：集合与逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量与复数、数列、立体几何．
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数．则（ ）
A． B． C．2 D．3
3．复数（为虚数单位）为纯虚数，则它的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
4．设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．若函数在（）上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A．[1，oo） B．（1，∞） C．（0，1） D．（0，1]
6．已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
7．中和殿是故宫外朝三大殿之一．位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为m，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°．若取30°，则下列结论不正确的是（ ）
A．正四棱锥的底面边长为24m B．正四棱锥的高为m
C．正四棱锥的体积为m3 D．正四棱锥的侧面积为m2
8．△的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（ ）
A． B． C．3 D．或3
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设为不同的直线，为不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若∥，∥，则∥ B．若，则∥
C．若∥,，则∥ D．若，则
10．如图所示的曲线为函数的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．函数在上单调递减 B．点为图象的一个对称中心
C．直线为图象的一条对称轴 D．函数在上单调递增
11．已知数列满足设，记数列的前项和为，
数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在△中，是直线上一点，若，则实数的值为_______．
13．已知正实数满足，则的最小值是________．
14．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）
已知函数．
（1）求的单调递增区间和最值
（2）若函数在，有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
16．（15分）
已知数列满足．等比数列的公比为3，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列，求数列的前项和．
17.（15分）
在△中，角所对的边分别是，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面积.
18．（17分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求，并证明数列是等差数列；
（2）若，求正整数的所有取值．
19．（17分）已知函数．
（1）若函数的图象与直线相切，求实数的值；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
牡丹江2024—2025学年度第一学期高三学年期中考试·数学
参考答案
1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．BD 10．CD 11．ACD
12． 13．16 14．45°
15．解：（1）函数
；
令，整理得：；
故函数的单调递增区间为
当，整理得：时，函数取值为；
当，整理得：时，函数取得值为．
（2）由于，整理得．
所以函数在上，函数的图象与的图象有两个交点，即函数有两个零点；故．故实数的取值范围为．
16．解：（1）数列满足，
∴是以为首项，以为公差的等差数列，∴，
∴．
∵等比数列的公比为3，且，∴，
∴，∴．
（2）∵，
∴
．
17．解：（1）可得：，
∴，∴，∴．
则．
（2）由（1）可得，在△中，由正弦定理，得：，则．
18．（1）证明：由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）解：由（1）得，所以，
，
两式相减得，
所以，则，
由，得，即．
令，因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数．
由，
，
则当时，，所以若，正整数的所有取值为1，2，3．
19．解：（1）设直线与函数的图象相切于点，
因为，所以，由②③可得，易知．
由①得，代入④可得，
即，即，解得．
故．
（2）令，可得，
由题意可得只有一个根．
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得．
设，则与的图象只有一个交点．
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以．所以．
又时，时，时，．
画出函数的图象如图所示：
由图可知，若与的图象只有一个交点，则．
所以实数的取值范围是．