2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高二上期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年湖南省“天壹大联考”高二上期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则等于
A. B. C. D.
2.直线是双曲线的一条渐近线，则
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.已知，，向量，，，且， ，则的值为
A. B. C. D.
5.已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，点满足过点总可以向以点为圆心、为半径的圆作两条切线，则半径的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在三棱锥中，，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
8.已知的顶点均在抛物线上，且，过、、分别作抛物线的切线、、，则三条切线、、围成的三角形的面积为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线的方程为，，则下列说法正确的是
A. 当时，曲线为直线
B. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 曲线不可能是圆
10.下列说法正确的是
A. 在长方体中，可以构成空间的一个基底
B. 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足，则在平面内
C. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为
D. 已知、、是从点出发的三条线段，每两条线段夹角均为，，若满足，则，
11.已知椭圆：和双曲线：有公共焦点，左，右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为，为的角平分线，，点，均在轴上，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是
A.
B. 以椭圆和双曲线四个交点为顶点的四边形的面积的最大值为
C. 若，则的取值范围为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若，则______．
13.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中，为正数，若，则的最小值为______．
14.已知长方体中，，点为平面内任一点，且点到点的距离与到面的距离相等，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知双曲线：的左右焦点与点构成等边三角形．
求双曲线的标准方程；
若直线过定点且与双曲线交于，两点，当时，求直线的方程．
16.本小题分
一个小岛点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．
若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由；
若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，求三角形内切圆半径的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，，为棱上的动点．
若为棱中点，证明：面；
在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
，，分别在棱，，上，，求三棱锥的体积的最大值．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为且过点，过点作椭圆两条切线，切点分别为、．
求椭圆的标准方程；
求直线的方程；
过点作直线交椭圆于，两点，其中点在轴上方，直线交直线于点试证明：恒成立．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意可知双曲线焦距为，
所以有，所以，
双曲线的标准方程为：．
设直线的方程为，
联立方程组，得，
，解得，
由韦达定理可知，
，
即，
解得或，
所以直线的方程为，或．
16.解：由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：．
轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，
直线方程为，即．
原点到轮船航线所在直线的距离为，
所以，轮船没有触礁风险．
记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
则，，
直线的方程为：，其一般式方程为：．
易知原点到直线的距离为，
直线与圆相离，圆上动点到直线的距离的最小值为：．
17.解：因为，
由正弦定理得：，
即，亦即，
所以，
又，故A．
由余弦定理，
可知，即．
设三角形内切圆半径为，
则，
即，
由正弦定理可知．
，
又，所以，
所以，
则
18.解：连接交于，
易知，
又因为面上，面
所以面
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
由为棱上一点，设，，
，．
设平面的法向量为，
由可得
令，则，则
平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：，
化简得：，解得：或舍去，
故存在满足条件的点，此时
因为，
可知三棱锥体积最大时，即最大，
在中，由余弦定理有：，
可得，
设，则，
由题可知：该方程有实根，则，解得，
同理可得．
设点到平面的距离为，
则由等体积法得到：，
即，解得：．
当最大时三棱锥体积最大，即三棱锥体积最大，
最大体积为：．
19.解：由题意可得
所以，椭圆的方程为．
设，，
下证：切线的方程为
直线的斜率存在，，设直线的方程为：，
与联立整理得：，
由已知得：，
化简得：．
因为，则，即，所以，
所以直线的方程为：，即，
则，故直线的方程为．
同理可得直线的方程为，
由点的坐标为，则，，
则，两点都在直线上，
由于两点确定一条直线，故直线的方程为
设，，
由题意易得直线的斜率存在，故可设为，
联立得
由韦达定理可得，，
联立得
要证，即证，
等价于证明，所以只需证明，
化简可得，
将韦达定理及，
代入可得：，
化简得，
即，
上式显然可以判断出是恒成立的．
故恒成立．
第1页，共1页