2024-2025学年吉林省长春外国语学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春外国语学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，则( )
A. B.
C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知是定义在上的偶函数，那么的值是( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.定义为，，中的最大值，设，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.无字证明即无需语言的证明，本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字如图，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线交半圆于连结，，过点作的垂线，垂足为则下面可由进行无字证明的不等式为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若，则
10.已知函数，下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 函数在定义域内是减函数
C. 若时，则的值域是
D. 若，则函数有最小值也有最大值
11.已知函数，则下列关于的方程的命题正确的有( )
A. 存在实数，使得方程恰有个实根
B. 不存在实数，使得方程恰有个不等的实根
C. 存在实数，使得方程恰有个不等的实根
D. 不存在实数，使得方程恰有个不等的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.函数，的最大值是______．
14.定义域为的函数满足条件：，，恒有；；，则不等式的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值．
；
．
16.本小题分
已知函数．
求，；
若，求实数的值；
作出函数在区间内的图象．
17.本小题分
长春外国语学校计划在田径场建造一间地面为矩形、背面靠墙的器材室，占地面积为，器材室正面每平方米的造价为元，侧面每平方米的造价为元，屋顶的造价为元，墙高为，且不计器材室背面和地面的费用．
列出总造价与器材室正面长度的关系式；
器材室正面长度为多少时能使总造价最低？并求出最低总造价．
18.本小题分
已知函数，关于的不等式的解集为．
求不等式的解集；
当在上单调时，求的取值范围．
19.本小题分
已知定义域为的函数是奇函数．
求实数的值；
判断函数的单调性，并用定义加以证明；
若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：原式
．
．
16.解：由题可知，
；
若，则，解之得，舍去；
若，则，解之得；
综上或；

17.解：由题意可知正面长度为，由占地面积为，则侧面长度为，
可得
，
则总造价与器材室正面长度的关系式为；
因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，
所以器材室正面长度米时能使总造价最低，最低总造价为元．
18.解：已知函数，关于的不等式的解集为，
则，为的两根，
故，，故，，
，解得，
则不等式的解集为；
，
当在上单调时，
或，解得或，
故的取值范围为．
19.解函数是奇函数，定义域为，
，
解得．
当时，满足，是奇函数，
故．
，
设，，，
，
在上是增函数，且，
，
又，
，即，
故在上单调递增；
任意的，不等式，即，
，即，
，
，当且仅当成立，
．
实数的取值范围为．
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