2024-2025学年青海省西宁市西宁十四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年青海省西宁十四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知直线：，直线：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.已知点为坐标原点，且，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆：交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在三棱锥中，，，，点，，满足，，，则直线与所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知圆，圆，则下列说法正确的是( )
A. 若点在圆的内部，则
B. 若，则圆，的公共弦所在的直线方程是
C. 若圆，外切，则
D. 过点作圆的切线，则的方程是或
11.设，分别是直线，的方向向量，，分别是平面，的一个法向量，则( )
A. 若，则
B. 若，，且，则与的夹角为
C. 若，则直线与平面所成的角为
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，那么与夹角的余弦值为______．
13.已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则 ______．
14.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量，求；
已知，若，求实数的值
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线与圆相交于，两点．
求圆的方程；
当时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点．
证明：平面；
求平面和平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知一组动直线方程为．
求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
若直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，两点，求面积的最小值．
19.本小题分
在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，，，，是棱的中点．
求证：；
求二面角的正切值．
参考答案
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15.解：空间向量，
可得，，
所以，
所以；
因为，
所以，
又因为，
所以，
即，
解得．
16.解：由题意得，
所以圆方程为；
由题意圆心到直线的距离为，
显然直线满足题意，
在直线斜率存在时，设方程为，
即，，解得，
所以直线方程为，即，
所以直线方程为或．
17.解：证明：取中点，连接，，
在中，，分别为，的中点，则，，
因为，，则，，
可知四边形为平行四边形，则，
且平面，平面，
所以平面．
因为平面，，平面，
则，，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
取的中点，连接，
因为，，则，，
又因为，所以四边形为矩形，
且，可知四边形是以边长为的正方形，
则，，，，，，
可得，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
易知为平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
18.证明：一组动直线方程为，化为：．
联立，解得，．
直线恒过定点．
解：与轴正半轴，轴正半轴分别交于点，两点，
其中，或，或．
．
则时，面积取得最小值．
19.解：证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为是等边三角形，是的中点，所以，
因为是的中点，是棱的中点，所以，
又四边形是矩形，所以，所以，
又，所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
过作的垂线，垂足为，连接，如图所示，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以二面角的大小为，
在中，易得，
在中，易得，
所以．
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