2024-2025学年四川省成都市天府新区实外高级中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市天府新区实外高级中学高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.已知集合，，则等于( )
A. B. C. D.
3.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.函数，的值域为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为( )
A.
B.
C. ，
D. ，
6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，，满足，则下列结论正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
8.定义一种新的运算符号“”：，已知，，且的最小值是则的所有取值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的为( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若且，则 D. 若且，则
10.已知集合，，若，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的有( )
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 函数的最小值为
D. 若正数，满足，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为 ．
13.设，，记，则函数的最小值为______．
14.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.设为全集，集合，集合．
，求集合和集合；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.已知函数．
判断函数的奇偶性，并证明．
判断函数在上的单调性，并用定义加以证明．
17.已知函数是上的偶函数，当时，．
求函数的解析式，并画出具体函数图象；
若，求实数的取值范围．
18.某公司注重技术创新，今年加大了对产品研发的投入通过市场分析，该公司生产的一款产品全年需投入固定成本万元，每生产千件该产品，需另投入成本万元，且满足：，由市场调研知，每件产品售价万元，且全年内该产品能全部销售完．
求出今年该产品的利润万元关于年产量千件的函数关系式利润销售额成本；
今年产量为多少千件时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
19.“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”若函数的图像关于点对称，且当时，．
求的值；
设函数．
(ⅰ)证明：函数的图像关于点对称；
(ⅱ)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：当时，，
又，所以或，
所以，；
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以，
又，，，
所以，所以，
故的范围为．
16.解：因为．
，所以为奇函数；
函数 在上单调递增，
证明如下：
设，
则，
又，
所以，，
即，
即，
故函数在上为增函数，
即命题得证
17.解：因为函数是上的偶函数，所以，
当时，则，
由题意可得：，
所以，
所以函数的解析式为，
结合二次函数知识易画出图象如图所示：
结合该函数的图象可知：在上单调递减，在上单调递增．
又因为函数是上的偶函数，且，
所以，
整理可得：，解得：．
故实数的取值范围为．
18.解：，
当时，
，
当时，
，
所以；
当时，
，
当时，，
当时，
，
当且仅当时等号成立，
所以当时，，
所以该公司今年该产品的产量为千件时，获得的利润最大，最大利润为万元．
19.解：因为函数的图像关于点对称，
所以，
令，则．
证明：由，
得，
所以函数的图像关于对称．
，
易知函数在上单调递增，所以，
不妨设在上的值域为，
对任意，总存在，使得成立，则，
当时，，且，
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，
所以，，
所以当时，成立．
当，即，函数在上单调递增，
由对称可知，在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，所以，
所以，由，可得，解得．
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，由，
可得，解得．
综上，实数的取值范围为．
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