山东济南天桥区2024—2025学年九年级数学第一学期期中考试试题（含答案）

2024~2025学年度第一学期九年级期中数学考试试题
（满分150分 时间120分钟）
一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.中国空间站犹如一颗美丽的流星，飞过有着4500多年历史的金字塔上空，使中国现代文明和埃及古代文明完成了一次跨时空的对话．宇航员在空间站利用对地望远镜看到的金字塔的图形为( )
A. B. C. D.
2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB=8，BC=12，EF=9，则DE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
（第2题图） （第3题图）
3.如图，△ABC∽△DAC，∠B=35°，∠D=115°，则∠BAD的度数为（ ）
A.115° B.125° C.150° D.155°
4.已知x=1是一元二次方程x2+ax+2=0的一个解，则a的值是（ ）
A.-3 B.-1 C.0 D.3
5.下列说法中，正确的是（ ）
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.菱形的对角线相等且互相平分 D.菱形的对角线互相垂直且平分
6.雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2023年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2025年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为( )
A.36(1+x)2=25 B.36(1-x)2=25 C.25(1+x)2=36 D.36(1-2x)=25
7."敬老爱老"是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A、B、C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( )
A. B. C. D.
8.验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A.150 B.200 C.250 D.300
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A.∠BCE=36° B.BC=AE C.= D.=
10.如图，已知点A在反比例函数y=(x<0）上，点B、C在x轴上，使得∠ABC=90°,点D在线段AC上，也在反比例函数的图象上，且满足2CD=3AD,，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k的值为（ ）
A.-5 B.-6 C.-7 D.-8
二.填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11.设=，那么= .
12.如果方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 .
13.为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为 件。
14.如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA=30m．水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即OM=70m．当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为1:2，则此刻风力发电机的影长为 m.
（第14题图） （第15题图）
15.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，下列结论：①AE=FC；②∠PDE=15°；③=；④DE2= PF·FC．以上结论正确的有 （只填序号）.
三.解答题（解答应写出义子说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分7分）用适当的方法解方程：(1)x(x-3)=x (2)x2-4x+2=0.
17.（本小题满分7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.
(1)求证：△ABD∽△CBA.
(2)若AB=8,BD=4，求CD的长．
18.（本小题满分7分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE=BF.
19.（本小题满分8分）如图，已知O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，-1）、(2，1).
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA'B';
(2)A点的对应点A'的坐标是 ；△OA'B'的面积是 。
(3)在AB上有一点P(x，y)，按（1）的方式得到的对应点P'坐标是 。
20.（本小题满分8分）已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P、Q同时从A、B出发，当P或有一个Q到达终点时，另一个也运动停止．几秒后，以Q、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？
21.（本小题满分9分）如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m .
(1)则AB的长为 m，BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
(2)若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；
(3)花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．
22.（本小题满分10分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）.
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
(3)为贯彻"品质课堂"的教育理念，以立德树人为根本任务，以"减负增效提质"为目标，立足打造"教有品、学有质、评有效"的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即"整体感知，明确目标——探究思考，归纳新知﹣﹣辨别应用，巩固新知"，其中重点环节"探究思考，归纳新知"这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．
23.（本小题满分10分）每年的11月9日是"119消防宣传日"．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
(1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中"优"部分所对应扇形的圆心角为 ,并补全条形统计图；
(2)若该区共有学生3200人，估计该校区学生对消防安全知识达到"良"及"良"级以上程度的人数有
人；
(3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
24.（本小题满分12分）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=(x<0)的图象交于A(a，6),B两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
(3)M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
25.（本小题满分12分）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究，如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，且∠C=∠AED=90°.
(1)观察猜想
小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，如图2，当BD的延长线恰好经过点E时：
①的值为 .②∠BEC的度数为 度．
(2)类比探究
如图3，小芳在小华的基础上继续旋转△ADE，连接BD、CE，设BD的延长线交CE于点F.(1)中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若AE=DE=,AC=BC=，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
答案
一.选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.中国空间站犹如一颗美丽的流星，飞过有着4500多年历史的金字塔上空，使中国现代文明和埃及古代文明完成了一次跨时空的对话．宇航员在空间站利用对地望远镜看到的金字塔的图形为( A )
A. B. C. D.
2.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB=8，BC=12，EF=9，则DE的长为（ B ）
A.5 B.6 C.7 D.8
（第2题图） （第3题图）
3.如图，△ABC∽△DAC，∠B=35°，∠D=115°，则∠BAD的度数为（ C ）
A.115° B.125° C.150° D.155°
4.已知x=1是一元二次方程x2+ax+2=0的一个解，则a的值是（ A ）
A.-3 B.-1 C.0 D.3
5.下列说法中，正确的是（ D ）
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.菱形的对角线相等且互相平分 D.菱形的对角线互相垂直且平分
6.雾霾天气越来越破坏环境和危害人民的身体健康，某市2023年全年雾霾天气是36天，为了改善环境，减少雾霾天气，该市计划到2025年全年雾霾天气降到25天，这两年雾霾天气的平均下降率相同，若设每年的下降率为x，根据题意，所列方程为( B )
A.36(1+x)2=25 B.36(1-x)2=25 C.25(1+x)2=36 D.36(1-2x)=25
7."敬老爱老"是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从A、B、C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是( C )
A. B. C. D.
8.验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ B ）度．
A.150 B.200 C.250 D.300
（第8题图） （第9题图） （第10题图）
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ C ）
A.∠BCE=36° B.BC=AE C.= D.=
10.如图，已知点A在反比例函数y=(x<0）上，点B、C在x轴上，使得∠ABC=90°,点D在线段AC上，也在反比例函数的图象上，且满足2CD=3AD,，连接DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k的值为（ D ）
A.-5 B.-6 C.-7 D.-8
二.填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11.设=，那么= .
12.如果方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是 .
13.为了鼓励学生培养创新思维，某校为1000名学生各准备了一件创新作品盲盒，小星为了估计汽车模型盲盒的个数，对30位同学的盲盒统计，发现有9位同学抽中小汽车模型，由此可估计小汽车模型的总数为 300 件。
14.如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA=30m．水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即OM=70m．当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为1:2，则此刻风力发电机的影长为 200 m.
（第14题图） （第15题图）
15.如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点EF，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，下列结论：①AE=FC；②∠PDE=15°；③=；④DE2= PF·FC．以上结论正确的有 ①②④ （只填序号）.
三.解答题（解答应写出义子说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分7分）用适当的方法解方程：(1)x(x-3)=x (2)x2-4x+2=0.
x（x﹣4）=0 x=
x1=0，x2=4 x1=2+，x2=2﹣
17.（本小题满分7分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.
(1)求证：△ABD∽△CBA.
(2)若AB=8,BD=4，求CD的长．
证明：∠BAD=∠C ∠B=∠B
∴△ABD∽△CBA
设DC=x
∵△ABD∽△CBA
∴=
∴=
解得x=12
即CD=12
18.（本小题满分7分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F．求证：AE=BF.
证明：四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
∵AE⊥BD于点E，BF⊥AC于点F
∴∠AEO=∠BFO=90°
∵∠AOE=∠BOF
在△AEO与△BFO中
∴△AEO≌△BFO(AAS)
∴AE=BF
19.（本小题满分8分）如图，已知O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为（3，-1）、(2，1).
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA'B';
(2)A点的对应点A'的坐标是 ；△OA'B'的面积是 。
(3)在AB上有一点P(x，y)，按（1）的方式得到的对应点P'坐标是 。
（1）
（2）（﹣6，2） 10
（3）（﹣2x，﹣2y）
20.（本小题满分8分）已知，如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P、Q同时从A、B出发，当P或有一个Q到达终点时，另一个也运动停止．几秒后，以Q、B、P为顶点的三角形与△ABC相似？
设t秒后，以Q、B、P为顶点的三角形与△ABC相似
则PB=(6-t)cm，BQ=2t cm
∵∠B=90°
分两种情况：
①当=时
即=
解得：t=2.4
②当=时
即=
解得t=
综上所述：2.4秒或秒时，以Q、B、P为顶点的三角形与△ABC相似．
21.（本小题满分9分）如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃ABCD，其中墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m．设CD的长为x m .
(1)则AB的长为 m，BC的长为 m.（用含x的代数式表示）
(2)若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长；
(3)花圃的面积能达到130m2吗？说明理由．
AB的长为x米，BC的长为（32-2x）米
(2)∵0<32-2x≤18
∴7≤x<16
由题意知x(32-2x)=120
解得x1=6（舍去）,x2=10
∴花圃一边AB的长为10m.
（3）x(32-2x)=130
x2-16x+65=0
∵△=b2﹣4ac=162-4x1x65=-4<0
∴花圃的面积不能达到130m2，不能围成．
22.（本小题满分10分）心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）.
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
(2)开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
(3)为贯彻"品质课堂"的教育理念，以立德树人为根本任务，以"减负增效提质"为目标，立足打造"教有品、学有质、评有效"的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即"整体感知，明确目标——探究思考，归纳新知﹣﹣辨别应用，巩固新知"，其中重点环节"探究思考，归纳新知"这一过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．
(1)设yAB=k1x+b，把（0，20)、(10，50）代入函数解析式解得yAB=3x+20(0≤x≤10)
由图象直接得到yBC=50(10≤x≤30)
设yCD=，把（30，50）代入函数解析式解得yCD=(30≤x≤45)
(2)把x=5代入yAB=3x+20，得yAB=35
把x=35代入yCD=得yCD＝
因为yAB≤yCD
所以第35分钟时学生的注意力更集中.
(3)合理
23.（本小题满分10分）每年的11月9日是"119消防宣传日"．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：
(1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中"优"部分所对应扇形的圆心角为 ,并补全条形统计图；
(2)若该区共有学生3200人，估计该校区学生对消防安全知识达到"良"及"良"级以上程度的人数有
人；
(3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率．
（1）160 135°
（2）2200
（3）
24.（本小题满分12分）如图，一次函数y=x+8的图象与反比例函数y=(x<0)的图象交于A(a，6),B两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值．
(3)M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
将A(a，6)代入y=x+8得：6=a+8
解得：a=-2
∴A(-2，6)
将A(-2，6)代入y=得：k=-12
即反比例函数的表达式为：y=﹣
联立
解得：或
∴B(-6，2)
(2)作点A关于y轴的对称点A'(2，6)
连接A'B交y轴于点P，此时AP+BP的周长最小，则AP+BP的最小值=A'B=4
（3）（﹣4，3）或（﹣8，）
25.（本小题满分12分）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究，如图1，已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段AB、AC上，且∠C=∠AED=90°.
(1)观察猜想
小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD、CE，如图2，当BD的延长线恰好经过点E时：
①的值为 .②∠BEC的度数为 度．
(2)类比探究
如图3，小芳在小华的基础上继续旋转△ADE，连接BD、CE，设BD的延长线交CE于点F.(1)中的两个结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)拓展延伸
若AE=DE=,AC=BC=，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
（1） 45°
（2）如图（3）中，设AC交BF于点O
∵△AED、△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠CAB=45°,AD=AE,AB=AC
∴△DAB∽△EAC
∴BD=AD ，∠ABD=∠ACE
∵∠AOB=∠FOC
∴∠BAO=∠CFO=45°
∴∠BFC=45°
（3）4或2