2024-2025学年北京市东城区景山学校高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市东城区景山学校高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若实数，满足，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C. D.
5.已知集合，集合，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数若，则实数( )
A. B. C. D.
7.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知定义在上的函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于对称 B. 的图象关于对称
C. 在单调递增 D. 有最小值
9.已知函数的定义域为，满足，且当时，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
10.已知若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域是______．
12.已知集合有且仅有个子集，则实数的值为______．
13.已知，且，则的最小值为 ．
14.已知奇函数定义域为，当时，，则 ______若，则实数的取值范围是______．
15.已知函数给出下列四个结论：
当时，；
若存在最小值，则的取值范围为；
若存在零点，则的取值范围为；
若是减函数，则的取值范围为．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知集合．
Ⅰ求，；
Ⅱ记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
已知，且在上恒成立，求的取值范围；
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；
Ⅱ设，若，，使得，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知定义在上的函数满足：
对任意实数，，都有；对任意，．
Ⅰ求；
Ⅱ判断并证明函数的奇偶性；
Ⅲ若，直接写出的所有零点不需要证明．
20.本小题分
已知关于的函数．
当时，求在上的最小值；
如果函数同时满足：
函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为
则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．
若关于的函数是“闭函数”，求实数的取值范围；
判断中是否为“闭函数”？若是，求出，的值或关系式；若不是，请说明理由．
21.本小题分
设为不小于的正整数，集合，，，，，，对于集合中的任意元素，
记
Ⅰ当时，若，请写出满足的所有元素
Ⅱ设，且，求的最大值和最小值；
Ⅲ设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素，，有成立，求集合中元素个数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ，解得或，
或，
又，
或，
，
；
Ⅱ由，得，
，
，或，
，
，
解得或，
实数的取值范围是或．
17.解：当时，，
所以，即，解得或，
所以不等式的解集为：或；
因为，
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递增，则，
又在上恒成立，转化为，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
18.解：Ⅰ在区间上的单调递增．
证明如下：，，且，
则，
，
在区间上单调递增．
Ⅱ，由Ⅰ可得在区间上单调递增，
，，可得．
函数在上单调递减，．
若，，使得，
则，
，
解得，
实数的取值范围是．
19.解：Ⅰ令，，则，
可得，因为对任意，，
所以．
Ⅱ是偶函数，证明如下：
令，为任意实数，则，
即，所以是偶函数．
Ⅲ若，令，则，
即，
则，，
所以是以为周期的周期函数，
又，
所以的所有零点为，．
20.解：函数，其对称轴方程为，
当时，在上单调递增，其最小值为；
当时，在上的最小值为；
函数在上的最小值．
在递增，
由闭函数的定义知，该函数在定义域内，
存在区间，使得该函数在区间上的值域为，所以，，
，为方程的二实根，
即方程在上存在两个不等的实根且恒成立，
令，
解得
实数的取值范围为．
对于，易知在上为减函数，
若，递减，若为“闭函数”，
则，
两式相减得，这与矛盾．
时，若为“闭函数”，则
此时，满足条件的，存在，
时，使得为“闭函数”的，存在，
时，若为“闭函数”，则，
消去得，即，
解得，此时，，且，
时，使得为“闭函数”的，存在，
综上所述，当，满足时，为“闭函数”
21.解：Ⅰ，，且
的元素为，，，．
Ⅱ记，，
注意到，所以，
所以，
因为，所以．
所以，，，，，，，中有个量的值为，个量的值为．
显然，
当，时，，满足，所以的最大值为．
又
注意到只有时，，否则．
而，，，，，，，中个量的值为，个量的值为．
所以满足这样的元素至多有个，
当为偶数时，．
当时，满足，且．
所以的最小值为．
当为奇数时，且，这样的元素至多有个，
所以 ．
当，时，满足，．
所以的最小值为．
综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，．
Ⅲ设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个．
记，，，．
显然，．
集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个，，则．
则，，，中至少存在两个元素 ，，．
因为 ，所以 ，不能同时为．
所以对中的一组数，而言，
在集合中至多有一个元素满足，同时为．
所以集合中元素个数不超过个．
所以集合中的元素个数为至多为．
记，，则中共个元素，
对于任意的，，．
对，记，其中，，，．
记，
显然，，，均有．
记，中的元素个数为，且满足，，，均有．
综上所述，中的元素个数最大值为．
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