2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京理工大学附中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.正方体的棱长为，则棱到面的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图所示，在平行六面体中，( )
A.
B.
C.
D.
4.已知直线：，：，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
5.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
6.如图，将半径为的球与棱长为的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知直线：，：，则“”是“直线与相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知直线：和点，，若与线段相交，则数的取值范围是( )
A. B. 或 C. D. 或
9.当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种．
设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中为坐标原点若点，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.两平行直线：与：之间的距离是______．
12.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和的夹角的余弦值为______
13.已知圆：，过点作圆的切线，则切线方程为______．
14.已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，当三角形面积取最小值时直线的斜率为______．
15.如图，在正方体中，为的中点，，，则下列说法正确的______请把正确的序号写在横线上
；
当时，平面；
当时，与所成角的余弦值为；
当时，平面．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知的顶点，，．
求边上的高所在直线的方程；
求边上的中线所在直线的方程；
求的面积．
17.本小题分
已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥．
求证：平面平面；
棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为棱的中点．
求证：平面；
若，再从条件、条件、条件中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求：
直线与平面所成角的正弦值；
点到平面的距离．
条件：二面角的大小为；
条件：；
条件：．
19.本小题分
设二次函数的图象与两坐标轴的交点分别记为，，，曲线是经过这三点的圆．
求圆的方程；
过作直线与圆相交于，两点．
是否是定值？如果是，请求出这个定值；
设，求的最大值．
参考答案
1.
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14.
15.
16.解：因为，，，
所以，
由点法式方程可得边上的高的方程为：，
即；
由的坐标，可得是的中点，所以，
从而边上的中线所在直线的斜率，
所以所在的直线方程为，
即；
由题意知，边所在直线的斜率，
所以直线的方程为，即，
所以点到直线的距离，
，
所以．
17.证明：因为四边形为正方形，
所以，，，
所以折起后，，，
由于折起前有，且折起后，
所以折起后有，即，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：由知，，，
故以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系：
设，则，，，，
则，，，
假设存在满足题意的点，设，，
则，
设平面的法向量为，
则，令，得，，
，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，解得，
所以在棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
且为棱的中点，故．
18.解：证明：在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为棱的中点，
连接，交于，连接，
底面是正方形，是的中点，
为棱的中点，，
面，面，平面．
选：
四边形是正方形，，，，，，
二面角的大小为，平面平面，，，，
，，，
，，，、平面，平面；
选：
四边形是正方形，，，，
，，
二面角的大小为，平面平面，，，，
，，，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
平面，，
为中点，，，，，
，平面，平面；
选：
四边形是正方形，，，
，，，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
平面，，为中点，，
，，
，平面，平面；
选，四边形是正方形，，，
，，，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面．
平面，，为中点，，
，，
，平面，平面，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
设为面的一个法向量，
则，令，得，
，
直线与平面所成角的正弦值为，
点到平面的距离为．
19.解：设二次函数与轴分别交于，，与轴交于点，令，则，
即，令，则，则，
设圆的方程为，
将点、、的坐标代入可得，
解得，
可得圆的方程：；
是定值，
法当直线的斜率不存在时，则方程为，
联立，
可得或，即，则，，
则；
当直线的斜率存在时，设方程为，设，，
联立直线与圆的方程，
整理可得：，由韦达定理可得，
且，
，
则
；
综上所述，是定值．
法由可知，当直线的斜率不存在时，，
且，则，，
则；
当直线的斜率存在时，设方程为，
则
；
令，则，
，
令，
当，即时，；
当，即时，；
，
当，即，时，
取最大值．
所以．
法，当直线的斜率为时，则直线的方程为，代入圆的方程可得，即，
设，，这时是定值；
当斜率不为时，设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
可得，，
则，为定值，
综上所述：是定值，且定值为；
法，由可得
，
因为，
所以，
令，，
当时，可得，
当时，可得，
当时，，当且仅当，即时取等号，
此时，
当时，，所以，所以，没有最大值，舍．
综上所述：的最大值为．
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