2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 55.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-11-13 15:01:15 | ||
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文档简介
2024-2025学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆：，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为( )
A. B. C. D.
3.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.若方程表示圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
6.已知直线：，直线：，若，则与的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.年月日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径卫星与地球的连线在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是( )
A. 卫星向径的取值范围是
B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
C. 卫星向径的最大值与最小值的比值越大，椭圆轨道越扁
D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 直线斜率可以不存在
C. 时直线的倾斜角为 D. 时直线在轴上的截距为
10.已知圆：与圆：相交于，两点，则下列判断正确的是( )
A. 两圆的相交弦所在直线方程为
B. 两圆的公共弦长为
C. 经过，两点，且过原点的圆的方程为
D. 为上任意一点，为上任意一点，则的最大值为
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则实数的值为______．
13.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线的一般方程是______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一、第三象限分别交于点，，若，则的离心率的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且；
焦点在坐标轴上，且经过两个点．
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切．
求圆的方程；
过点的动直线与圆相交于、两点，当时，求直线方程．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．
求圆的标准方程；
若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
18.本小题分
如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，．
求证：平面平面；
求直线和平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得点到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，的面积为，为坐标原点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ点、为椭圆上不同的两点，，求证：的面积为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且；
设椭圆方程为：，
所以，即，
将点代入方程，可得，
所以椭圆方程为．
设椭圆的一般方程为，
将点，代入椭圆的方程，
得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
16.解：由题意知到直线：的距离为圆半径，且
所以圆的方程为分
记中点为，则由垂径定理可知且，
在中由勾股定理易知，，
设动直线方程为：或，显然合题意．
由到距离为知，解得
或 为所求方程．
17.解：设圆的方程为，
由题意可得，
解得，，，满足，
圆的方程为：，化成标准方程为：；
设的坐标是，点的坐标是，
已知点的坐标是，且，
，即，
可得，，
点在圆上运动，点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
即点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
18.证明：由于，，所以，
根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面．
解：设是的中点，连接，则，，，，两两相互垂直．
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设直线和平面所成角为，则；
解：设，则，
过作，则，
，
，
，或舍，
．
19.解：Ⅰ椭圆：的离心率为，
过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，的面积为，为坐标原点，
，解得，，，
椭圆的方程为．
证明：Ⅱ当轴时，设，，
则，由，得，
联立解得：，，．
当与轴不垂直时，设直线的方程为：，，，
联立，化为：，
，可得．
，，
则
．
由，得，
化为，即，
，化为：．
把代入，得，
原点到直线的距离．
．
综上得为定值．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知圆：，直线，则圆上到直线的距离为的点的个数为( )
A. B. C. D.
3.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.若方程表示圆，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.曲线与曲线的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
6.已知直线：，直线：，若，则与的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.年月日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径卫星与地球的连线在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论错误的是( )
A. 卫星向径的取值范围是
B. 卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间
C. 卫星向径的最大值与最小值的比值越大，椭圆轨道越扁
D. 卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线：，下列说法正确的是( )
A. 直线恒过定点 B. 直线斜率可以不存在
C. 时直线的倾斜角为 D. 时直线在轴上的截距为
10.已知圆：与圆：相交于，两点，则下列判断正确的是( )
A. 两圆的相交弦所在直线方程为
B. 两圆的公共弦长为
C. 经过，两点，且过原点的圆的方程为
D. 为上任意一点，为上任意一点，则的最大值为
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有( )
A. 曲线围成的图形有条对称轴
B. 曲线围成的图形的周长是
C. 曲线上的任意两点间的距离最大值是
D. 若是曲线上任意一点，的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则实数的值为______．
13.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线的一般方程是______．
14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一、第三象限分别交于点，，若，则的离心率的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且；
焦点在坐标轴上，且经过两个点．
16.本小题分
已知以点为圆心的圆与直线：相切．
求圆的方程；
过点的动直线与圆相交于、两点，当时，求直线方程．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，圆为过点，，的圆．
求圆的标准方程；
若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
18.本小题分
如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，．
求证：平面平面；
求直线和平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得点到直线的距离是，若存在求的长，不存在说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，的面积为，为坐标原点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ点、为椭圆上不同的两点，，求证：的面积为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且；
设椭圆方程为：，
所以，即，
将点代入方程，可得，
所以椭圆方程为．
设椭圆的一般方程为，
将点，代入椭圆的方程，
得，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
16.解：由题意知到直线：的距离为圆半径，且
所以圆的方程为分
记中点为，则由垂径定理可知且，
在中由勾股定理易知，，
设动直线方程为：或，显然合题意．
由到距离为知，解得
或 为所求方程．
17.解：设圆的方程为，
由题意可得，
解得，，，满足，
圆的方程为：，化成标准方程为：；
设的坐标是，点的坐标是，
已知点的坐标是，且，
，即，
可得，，
点在圆上运动，点的坐标满足圆的方程，即，
代入得，整理得，
即点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆．
18.证明：由于，，所以，
根据直三棱柱的性质可知，由于，所以平面，
由于平面，所以平面平面．
解：设是的中点，连接，则，，，，两两相互垂直．
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
设直线和平面所成角为，则；
解：设，则，
过作，则，
，
，
，或舍，
．
19.解：Ⅰ椭圆：的离心率为，
过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，的面积为，为坐标原点，
，解得，，，
椭圆的方程为．
证明：Ⅱ当轴时，设，，
则，由，得，
联立解得：，，．
当与轴不垂直时，设直线的方程为：，，，
联立，化为：，
，可得．
，，
则
．
由，得，
化为，即，
，化为：．
把代入，得，
原点到直线的距离．
．
综上得为定值．
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