江苏省南京市2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四组数据中，方差最小的是( )
A. ，，，，，，， B. ，，，，，，，
C. ，，，，，，， D. ，，，，，，，
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.两条渐近线互相垂直的双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.底面直径与高相等的圆柱的体积为，则该圆柱的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，若圆上任意一点都满足，则实数( )
A. B. C. D.
8.抛物线：的准线为，为上的动点，则点到与到直线的距离之和的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则( )
A. B. C. 和是互斥事件 D. 和是相互独立事件
10.在矩形中，，若，则( )
A. B.
C. 以为直径的圆与直线相切 D. 直线与的交点在矩形的外接圆上
11.已知椭圆，直线与交于，两点，点为上异于，的动点，则( )
A. 当时， B.
C. 存在点，使得 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与：垂直，则实数 ______．
13.已知，则 ______．
14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点已知图中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且则当反射光线经过点时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
已知点在抛物线：上，直线经过点，且在轴上的截距为．
求的值和直线的方程；
记与的另一个交点为，求经过，，三点的圆的方程．
17.本小题分
在四面体中，，分别为，的中点．
证明：平面；
若平面，，，四面体的体积为，且，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知圆：，圆：，过点作圆的切线，切线的长为．
求圆的方程；
直线经过点，且与圆交于，两点，，
求的方程和的值；
若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心到点距离的最小值．
19.本小题分
已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，，离心率为．
求的方程；
直线平行于直线，且与交于，两点，
，是直线上的两点，满足四边形为矩形，且该矩形的面积等于，求的方程；
当直线，斜率存在时，分别将其记为，，证明：为定值．
参考答案
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15.解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
又因为，所以，
又因为，所以；
由，，结合余弦定理，得，
所以，即，所以，
所以的面积．
16.解：因为点在抛物线：上，
所以，解得：，
所以抛物线的方程为：，
因为直线在轴上的截距为，
所以设：，又因为直线经过点，
所以，解得：，
所以直线的方程为；
设，，
联立，消去可得：，
解得：，，
则，所以，
设经过，，三点的圆的方程为，
则有，解得：，
所以圆方程为．
17.解：证明：因为，是，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
设点到平面的距离为，
又因为，
所以，
因为，所以与平面所成角，即为与平面所成角，设为，
所以，
因为，
所以，
即，
所以，
即，因此．
18.解：过点作圆的切线，设切点为，连接，，
因为，所以，
所以圆：；
显然直线的斜率存在，设直线的方程为，
设圆心到直线的距离为，
所以，解得，
又因为，整理得，解得或，
所以的方程为或；
在中，由余弦定理可得：，
所以，
设动圆的半径为，则由题意可得，，，所以，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右半支，
有，，，
所以双曲线方程为，设动点，则有，
所以，所以，
由二次函数的性质可知，当时，有最小值，且最小值为，
所以，此时．
19.解：由题意得，，解得，，
所以椭圆的方程为：；
由知，，
所以，又，是直线上的两点，四边形为矩形，
所以，
设直线的方程：，，，
联立，消去整理得：，
则，解得：，
所以，
因为，所以矩形中即为两平行线间的距离，
因为直线，即，直线，
所以，
又，
所以，即，
而，
所以，
解得：或，
所以直线的方程为：或；
证明：因为，所以，
因为在直线上，所以，
又点在椭圆上，则，
所以，
所以，
进而，
此时有，，，
所以，．
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