4 四边形（含答案）2025年中考数学总复习专题练（河北）

4 四边形
题号 一 二 三 总分 累分人
得分
说明:共有三个大题,26个小题,满分120分,作答时间120分钟.
中考对接点 　　平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质及判定,多边形的相关概念,多边形的内角与外角,平行线间的距离,中位线定理
一、选择题(本大题共16个小题,共38分.1~6小题各3分,7~16小题各2分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=4,则OA的长是 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.过多边形的一个顶点可以作4条对角线,则这个多边形的边数为 (　　)
A.五 B.六 C.七 D.八
3.如图,矩形ABCD的两条对角线AC,BD交于点O,若∠AOB=60°,AC=8,则AB= (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.菠萝是夏季的一种时令水果,外披坚硬晶亮的“铠甲”,“铠甲”由多个六边形组成,体现无坚不摧的几何之美.如图,若∠A+∠F=240°,则∠B+∠C+∠D+∠E= (　　)
A.240°
B.360°
C.480°
D.540°
5.下列命题是真命题的是 (　　)
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D.有一组邻边相等的菱形是正方形
6.正多边形的一个外角不可能是 (　　)
A.50° B.40° C.30° D.20°
7.如图,两个全等的矩形纸片重叠在一起,矩形的长和宽分别是8和4,则四边形ABCD的周长是 (　　)
A.12
B.16
C.20
D.24
8.用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具,学具为图1所示的菱形时,测得∠A=120°,对角线AC=20 cm,接着活动学具成为图2所示的正方形,则图2中对角线AC的长为 (　　)
　　　图1　　　　　　　　　图2
A.20 cm
B.20 cm
C.30 cm
D.40 cm
9.如图,线段AB是正八边形的一边,在正八边形的外部以AB为边作正六边形,AC,AD分别平分正八边形与正六边形的内角,则∠CAD的度数为 (　　)
A.120°
B.125°
C.130°
D.127.5°
10.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(2,3),则点C的坐标为 (　　)
A.(0,-2) B.(0,-1.5)
C.(0,-1) D.(-2,0)
11.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两个全等的直角三角形,得到一个恒等式,这种分割图形的方法是我国传统数学的一种重要方法.如图1,BD是矩形ABCD的对角线,将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形,然后按图2所示的方式重新摆放,观察两图,若a=6,b=4,则矩形ABCD的面积是 (　　)
A.24 B.36 C.48 D.64
12.两个矩形的位置如图所示,若∠1=α,则∠2= (　　)
A.α-90° B.180°-α C.α-45° D.270°-α
13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ABD=30°,AB=6,则BD的长为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
14.如图,在△ABC 中,E,F分别为AC,BC的中点,D为CF上一点,连接AD交EF于点G,已知AD平分∠BAC,DG=DF,若∠C=87°,则∠B的度数为 (　　)
A.30° B.31° C.32° D.33°
15.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,D,E分别是AC,BC的中点,以点A为圆心,AD的长为半径作圆弧交AB于点F.若DE=2,BC=3,则BF的长为 (　　)
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
16.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点E,∠ABC的平分线BO与边AD交于点O,若OB=OA=OD,则下列结论正确的个数为 (　　)
①△ABO为等边三角形;②OE∥AB;③S ABCD=AB·BD;④OE⊥DB.
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共3个小题,共10分.17小题2分,18~19小题各4分,每空2分)
17.在 ABCD中,∠A=60°,则∠B的度数为　　　　.
18.如图,潇潇沿一个六边形广场按顺时针方向跑步,她每从一条小路转到下一条小路时,跑步的方向改变一定的角度.该六边形广场ABCDEF的内角和的度数为　　　　,她跑完一圈,跑步方向改变的角度和为　　　　.
19.如图,在菱形ABCD中,DE,BF分别垂直AB,AD于点E,F,DE,BF相交于点G,连接BD,CG.解决下列问题:
(1)若∠A=66°,则∠BGD=　　　　°.
(2)若BD=BC,则CG∶FG=　　　　.
三、解答题(本大题共7个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(本小题满分9分)如图,在矩形ABCD中,延长AB,CD,使得BF=DE,连接AE,CF.求证:四边形AECF为平行四边形.
21.(本小题满分9分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别在边BC,CD上,且AE=AF,连接EF,求证:△EFC为等腰直角三角形.
22.(本小题满分9分)如图,AB与直线a,b分别相交于点A,B,过点A作AC⊥AB于点A,AC交直线b于点C,且∠1+∠2=90°.
(1)求证:a∥b.
(2)若AC=6,AB=8,求直线a与b的距离.
23.(本小题满分10分)在矩形纸片ABCD中,P是AD边上一点,连接BP,将△ABP沿着直线BP折叠得到△EBP,点E落在BC边上.
(1)如图1,若AB=3,AD=5,求DP的长.
图1
(2)如图2,先将纸片展开铺平,连接PC,再将△PCD沿着直线PC折叠,点D的对应点F恰好落在BP上,若AB=a,AD=b,求的值.
图2
24.(本小题满分10分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且BD=6,AC=8,点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达点B即停止运动,M,N分别是BF,OF的中点,连接MN.
(1)判断MN与BD的位置关系和数量关系,并说明理由.
(2)求点F由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积.
25.(本小题满分12分)课本再现
思考
我们知道,矩形的对角线相等.反过来,对角线相等的平行四边形是矩形吗
可以发现并证明矩形的一个判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
定理证明
(1)如图1,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=BD.
求证: ABCD是矩形.
图1
知识应用
(2)如图2,在 ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,点E,F在对角线BD上,其中MF∥EN,EF=AB,连接ME,NF.
①求证:四边形ENFM是矩形.
②若∠DMF=∠ABD,且AD=6,DF=2,直接写出ME的长.
图2
26.(本小题满分13分)在矩形ABCD中,E是边BC的中点,连接AE,过点E作AE⊥EF,与矩形的外角平分线CF交于点F,其中=a(a≥1).
特例证明
(1)如图1,当a=1时,求证:AB=BC.
类比迁移
(2)如图2,求的值(用含a的式子表示).
综合应用
(3)如图3,当a=2时,P为边CD上一点,连接AP,PE,PF,且AP⊥PE,AP=PE,PF=5,求AB的长.
　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　图3
参考答案
1.B　2.C　3.D　4.C　5.C　6.A　7.C　8.A　9.D　10.C　11.C　12.B　13.D　14.B　15.B
16.D　提示:∵BO平分∠ABC,
∴∠ABO=∠OBC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠AOB=∠OBC,
∴∠ABO=∠AOB,
∴AB=OA=OB,
∴△ABO为等边三角形,故①正确;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BE=ED.
∵OA=OD,
∴OE是△ABD的中位线,
∴OE∥AB,故②正确;
∵OB=OA=OD,
易得∠ABD=90°,∴AB⊥BD,
∴S ABCD=AB·BD,故③正确;
∵OE∥AB,AB⊥BD,
∴OE⊥BD,故④正确.
17.120°　18.720°;360°　19.(1)114;(2)4∶1
20.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥DC,AB=DC.
∵BF=DE,
∴AB+BF=DC+DE,即AF=EC,
∴四边形AECF为平行四边形. 9分
21.证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠C=∠D=90°. 3分
在Rt△ABE和Rt△ADF中,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL), 6分
∴BE=DF,
∴BC-BE=CD-DF,即EC=FC,
∴△EFC为等腰直角三角形. 9分
22.解:(1)证明:(证法不唯一)∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,∠2+∠3=90°.
∵∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3,
∴a∥b. 4分
(2)如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
∴线段AD的长度等于a与b之间的距离.
∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
∴BC===10.
∵S△ABC=AB·AC=BC·AD,
∴AD===,
∴直线a与b的距离为. 9分
23.解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ABC=90°.
由折叠的性质可得AB=BE,∠BEP=∠A=90°,
∴四边形ABEP是正方形,
∴AP=AB=3,
∴DP=AD-AP=2. 4分
(2)由(1)可知四边形ABEP是正方形,且四边形ABCD是矩形,
∴AP=AB=CD=a,∠A=∠BEP=90°,AD=BC=b,
由折叠的性质可得CF=CD=a,∠CFP=∠D=90°.
在Rt△ABP中,∠A=90°,BP===a.
∵S△PBC=BC·PE=BP·CF,
∴b·a=×a·a,
∴b=a,
∴==. 10分
24.解:(1)MN∥BD,MN=BD. 2分
理由如下:
∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=BD.
∵M,N分别是BF,OF的中点,
∴MN是△BOF的中位线,
∴MN∥BD,MN=BO=BD. 4分
(2)如图,分别取AB,AO,BO的中点P,Q,H,连接PQ,QH,
则线段MN所扫过的区域是 PQHB.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=AC=×8=4.
∵H,Q分别是BO,AO的中点,
∴BH=BO=,OQ=AO=×4=2,
∴S PQHB=BH·OQ=×2=3,
∴线段MN所扫过区域的面积为3. 10分
25.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,∴∠BAD+∠ABC=180°.
在△ABD和△BAC中,
∴△ABD≌△BAC(SSS),∴∠BAD=∠ABC.
∵∠BAD+∠ABC=180°,∴∠BAD=∠ABC=90°,
∴ ABCD是矩形. 4分
(2)①证明:如图,连接MN.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠MDF=∠NBE.
∵M,N分别是AD,BC的中点,
∴AM=DM=AD,BN=BC,∴AM=DM=BN.
∵MF∥EN,∴∠EFM=∠FEN.
∵∠EFM+∠DFM=180°,∠FEN+∠BEN=180°,∴∠DFM=∠BEN.
在△DMF和△BNE中,
∴△DMF≌△BNE(AAS),∴MF=EN.
∵MF∥EN,∴四边形ENFM是平行四边形.
∵AM=BN,AD∥BC,∴四边形ABNM是平行四边形,∴AB=MN.
∵EF=AB,∴EF=MN,
∴四边形ENFM是矩形. 8分
②ME的长为. 12分
提示:设EF=AB=x.
∵△DMF≌△BNE(AAS),∴BE=DF=2,∴BD=EF+BE+DF=x+4.
∵M是AD的中点,
∴DM=AD=×6=3.
∵∠DMF=∠ABD,∠MDF=∠BDA,
∴△MFD∽△BAD,
∴==,即==,∴x=5,
∴EF=AB=5,MF=.
∵四边形ENFM是矩形,∴∠EMF=90°,
∴在Rt△EFM中,ME===.
26.解:(1)证明:如图1,过点F 作FM⊥BC,交BC的延长线于点M,
图1
∴∠EMF=90°.
∵a=1,∴=1,
∴AE=EF.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠BCD=90°.
∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∴∠B=∠AEF=∠EMF.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠BAE+∠B,∴∠MEF=∠BAE.
在△ABE和△EMF中,
∴△ABE≌△EMF(AAS),∴AB=EM,BE=MF.
∵CF平分∠DCM,且∠DCM=180°-∠BCD=90°,
∴∠FCM=∠DCM=45°,∴∠CFM=180°-∠FCM-∠CMF=45°,
∴CM=FM=BE,∴EM=EC+CM=EC+BE=BC,即AB=BC. 4分
(2)如图2,过点F 作FM⊥BC,交BC的延长线于点M,
图2
由(1)同理可得∠B=∠AEF=∠EMF=90°,∠FEM=∠BAE,CM=FM,
∴△ABE∽△EMF,
∴===a,∴BE=aMF=aCM.
∵E是边BC的中点,∴EC=BE=aCM,BC=2EC=2aCM,
∴AB=aEM=a(EC+CM)=a(aCM+CM)=a(a+1)CM,
∴==. 8分
(3)如图3,延长AP,EF交于点Q,过点Q作QM⊥BC,交BC的延长线于点M.
图3
∵AP⊥PE,AP=PE,∴∠PAE=45°.
∵AE⊥EF,∴△AEQ是等腰直角三角形,
∴AE=EQ.
又∵AP⊥PE,∴AP=PQ,
由(1)同理可得△ABE≌△EMQ(AAS),∴QM=EB.
∵a=2,∴=2,∴AE=2EF,∴EQ=2EF,
∴PF为△AEQ的中位线,∴AE=2PF=10,
由(2)可知==.
设BE=CE=x,则BC=2CE=2x,AB=BC=3x,
∴在Rt△ABE中,∠B=90°,AB2+BE2=AE2,
∴(3x)2+x2=102,∴x=,
∴AB=3. 13分