2024～2025学年第一学期高二期中检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则的值为（）
A. B. 9 C. －7 D. 7
2. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D. 不存在
3. 与直线垂直，且在轴上的截距为-2的直线方程为（ ）．
A B. C. D.
4. 如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（）
A. B.
C. D.
5. 已知向量，，向量在向量上的投影向量为 （ ）．
A. B.
C. D.
6. 若圆和圆相切，则等于
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7. 在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（）
A. B. C. D.
8. 已知直线l：x－my＋4m－3＝0（m∈R），点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线与交于点，则（）
A.
B.
C. 点到直线的距离为
D. 点到直线的距离为
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数的值可能是（）
A. 4 B. 5 C. 3 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________.
13. 过点作圆的切线，则切线方程为___________．
14. 在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足，则r值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知直线过点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程
（2）若直线在两坐标轴截距互为相反数，求直线的方程．
16. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）求的最小值.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面ABCD，Q为线段PD上点，，，．
（1）证明：平面ACQ；
（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．
18. 如图，在正方体中，分别是棱的中点，为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.
（1）证明：为的中点；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 已知圆过点且与直线相切于点，直线与圆交于不同的两点，．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴交于点，直线，的斜率分别为，，求证：是定值．2024～2025学年第一学期高二期中检测
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】A
5.
【答案】A
6.
【答案】C
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】ABD
10.
【答案】BCD
11.
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.
【答案】
13.【答案】或
14.
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15.
【解】
【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；
（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.
【小问1详解】
因为直线与直线垂直，
所以可设直线的方程为，
因为直线过点，所以，解得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
当直线过原点时，直线的方程是，即．
当直线不过原点时，设直线的方程为，
把点代入方程得，所以直线的方程是．
综上，所求直线的方程为或
16.
【析】
【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；
（2）计算出，利用模长公式得到，求出最小值.
【小问1详解】
因为，所以，
即，
解得；
【小问2详解】
所以，.
所以当时，取得最小值为.
17.
【解析】
【分析】（1）利用三角形相似得，结合，则有，利用线面平行的判定即可证明；
（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.
【小问1详解】
如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，
∵，，则，
∴，，
∵，∴，
平面ACQ，平面ACQ，∴平面ACQ；
【小问2详解】
平面，平面,，
因为底面,则AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
各点坐标如下：，，，．
设平面ACQ的法向量为，
由，，有，令，，，可得，
由，有，，
则．
故直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．
18.
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得；
（2）分别求得平面与平面的法向量，利用求解即可.
【小问1详解】
证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨令正方体的棱长为2，
则，，，，，
设，则，，
所以，
所以，解得（舍去），即为的中点.
【小问2详解】
由（1）可得，，
设是平面的法向量，
则.令，得.
易得平面的一个法向量为，
所以.
所以所求锐二面角的余弦值为.
19.
【解析】
【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆的方程.
（2）把直线方程与圆方程联立，得到，，再表示出，运算整理即可.
【小问1详解】
过点且与直线垂直的直线为：
即.
又线段，其中的垂直平分线为：即.
由，得圆心，
又.
故圆的方程为：.
【小问2详解】
将代入得：
，整理得：.
由.
设，，
则，.
又，所以，同理：.
所以
.
所以为定值.
