(共29张PPT)
（湘教版）九年级
上
4.3解直角三角形
锐角三角函数
第四章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。
2.探索发现解直角三角形所需的最简条件，积极参与探索，善于倾听，敢于发表观点。
3.经历对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，体验运用数学知识解决一些简单的实际问题，培养良好的学习习惯。
新知导入
回顾
在直角三角形中，
把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα;
把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα；
把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα.
新知导入
30° 45° 60°
sin
cos
tan
1
新知讲解
说一说
如图， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a,b,c．
(1)直角三角形的三边之间有什么关系？
(2)直角三角形的锐角之间有什么关系？
(3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
∠A+∠B=90°
新知讲解
说一说
sinA==, sinB==;
cosA==, cosB==;
tanA==, tanB==.
新知讲解
合作交流：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？
议一议
已知两直角边(如a,b)：
由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=;
斜边，一直角边(如c,a):
由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=;
新知讲解
已知锐角，邻边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=btanA,c=;
已知锐角，对边(如∠A,a):
∠B=90°-∠A,a=,c=;
已知锐角，斜边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA.
新知讲解
在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道
其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素.
典例精析
例1
如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,求∠B,b,c．
解: ∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.
又∵tanB=，
∴b=a·tanB=5·tan 60°=5.
∵sinA=，
∴ c=== =10.
新知讲解
把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形．
典例精析
例2
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=， BC=5，试求AB 的长．
解： ∵∠C=90°，cosA=，
∴=.
设AB=x，则AC=x.
又AB2=AC2+BC2，
∴x2=(x)2+52.
解得x1=，x2=(舍去).
∴ AB 的长为.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( )
A．2
B．8
C．2
D．4
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则AB＝________，∠A＝______°，∠B＝________°.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A和c，则a＝________，b＝________；
(2)已知∠B和b，则a＝________，c＝________．
2
30
60
c sinA
c cosA
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( )
A.
B.
C.
D.
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A.
B．4
C．8
D．4
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
6.在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，则BC的长为( )
A．4
B．4＋4
C．4－4
D．4
B
【综合拓展类作业】
课堂练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)∠A＝30°，b＝2；
(2)a＝2，c＝4.
解: (1)∵∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
又∵tanA==，
∴a=b·tanA= 2·=2.
∵sinA==，
∴ c=== =4.
【综合拓展类作业】
课堂练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形：
(1)∠A＝30°，b＝2；
(2)a＝2，c＝4.
解: (2)∵sinA===,
∴A=45°
∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°，
∴b=a=2.
课堂总结
已知两直角边(如a,b)：
由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=;
斜边，一直角边(如c,a):
由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=;
解直角三角形的常见类型
课堂总结
已知锐角，邻边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=btanA,c=;
已知锐角，对边(如∠A,a):
∠B=90°-∠A,a=,c=;
已知锐角，斜边(如∠A,b)：
∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA.
板书设计
三边的关系：
锐角之间的关系：
边和锐角之间的关系：
解直角三角形的常见类型：
4.3解直角三角形
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( )
A．30 cm
B．20 cm
C．10 cm
D．5 cm
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
B
2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( )
A．m·sinα米
B．m·tanα米
C．m·cosα米
D.米
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则tan∠EAF＝________．
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20，求∠A的度数．
解：∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10，
∴BC＝BD·sin∠BDC＝10×＝10.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，
∴sinA=＝＝，
∴∠A＝30°.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第四章
课标要求 1.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值。 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。 3.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第四章《锐角三角函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“图形的变化”.在中学数学教育中，三角学内容被分为两部分：一部分在义务教育第三学段（主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容），另一部分在高中阶段（包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程）。锐角三角函数作为三角学的初步内容，为后续学习三角函数和解斜三角形提供了重要的基础。 本章主要内容包括：锐角三角函数（正弦、余弦和正切）以及解直角三角形。锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了定义域的三角函数。解直角三角形在实际应用中有着广泛的应用，而锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知识和勾股定理也是学习锐角三角函数的重要基础。并且研究图形中各个元素之间的关系，并把这种关系进行量化，是分析和解决问题中常用的一种数形结合的方法，这种方法是一种重要的数学思想.因此本章还包含了数形结合的思想.
学情分析 《锐角三角函数》通常安排在初中数学课程的后期，学生在此之前已经学习了直角三角形、相似三角形以及勾股定理等相关知识。这些知识为学习锐角三角函数提供了必要的基础。且经过之前的学习，学生已经具备了初步的逻辑思维能力和简单的抽象概括能力，掌握了一些科学的学习方法，学会了独立思考和与人合作交流的能力。大部分学生对数学学习有着浓厚的兴趣，乐于参与到学习活动中去，特别是对一些动手操作、合作学习、实践活动等学习内容尤为感兴趣。 然而，也有部分学生基础较差，上课听到的知识课后不会运用，作业的正确率低，个别学生有拖拉作业的习惯。因此，在本章的数学课上，需要培养学生对数学的学习兴趣，让学生善于思考、乐于思考，不怕错误，具有问题意识，并养成良好的学习习惯。
单元目标 （一）教学目标 1.认识锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.知道30°，45°，60°角的三角函数值。 3.会使用计算器求已知锐角的三角函数值，及由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。 （二）教学重点、难点 教学重点： 1.正弦、余弦、正切的概念。 2.解直角三角形的方法。 教学难点： 1.用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示正弦、余弦、正切。 2.锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系是学生过去没有接触过的，因此有一定的难度。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1正弦和余弦34.2正切14.3解直角三角形14.4解直角三角形的应用2小结与复习单元复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1正弦和余弦（1）1.初步了解锐角三角函数的意义，理解在直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比值就是这个锐角的正弦的定义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 2.经历探索直角三角形中边与角的关系的过程会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值任务一：通过问题要求求锐角的对边与斜边的比值。 任务二：经历探索直角三角形中边与角的关系的过程。 任务三：例题精讲，经历求正弦值的过程。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（2）1.理解并掌握锐角正弦的定义，能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。 3.学会利用正弦函数解决直角三角形中的相关问题。1.能够根据定义求出特殊锐角的正弦值。 2.会用计算器求锐角的正弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：动手计算，求出特殊锐角的正弦值。 任务三：用计算器求锐角的正弦值。 任务四：习题检测。4.1正弦和余弦（3）1.理解锐角余弦的概念，掌握余弦函数的定义和计算方法，能够运用余弦函数解决相关问题。 2.用计算器求锐角的余弦值。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的余弦值。 2.用计算器求锐角的余弦值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角余弦的概念。 任务三：掌握求余弦值计算方法。 任务四：习题检测。4.2正切1.经历锐角正切的探索过程，理解并掌握锐角正切的概念及其计算方法。 2.掌握正切的符号，会用符号表示一个锐角的正切函数 3.能够运用正切函数解决相关的数学问题。1.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正切值。 2.用计算器求锐角的正切值。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：理解锐角正切的概念。 任务三：掌握求正切值计算方法。 任务四：习题检测。4.3解直角三角形1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件。 1.会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.运用数学知识解决一些简单的实际问题任务一：回顾正弦、余弦和正切。 任务二：经历解直角三角形的过程。 任务三：探索发现解直角三角形所需的最简条件。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（1）1.学生能够理解仰角和俯角的概念。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法。3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。1.会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.利用三角函数求解边长和角度等。 3.会将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。任务一：回顾解直角三角形。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。4.4解直角三角形的应用（2）运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，使学生能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。能够运用解直角三角形的知识解决有关方向角、坡度等实际问题。任务一：新知导入，问题驱动。 任务二：探究解直角三角形的应用。 任务三：将实际问题转化为解直角三角形的问题并解决。 任务四：习题检测。小结与复习1.回顾锐角三角函数（sinA,cosB,tanA）。 2.巩固30°，45°，60°角的三角函数值。 3.巩固由已知锐角的三角函数值求锐角。 4.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。1.会求锐角三角函数。 2.能由已知锐角的三角函数值求锐角 3.能用锐角三角函数解决一些简单的实际问题。任务一：回顾旧知，进行单元复习。 任务二：习题检测，查漏补缺。
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分课时教学设计
《4.3解直角三角形》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《解直角三角形》是在学习了余弦、正弦和正切的基础上进行学习的，解直角三角形的内容在初中数学中占据重要地位，它不仅是锐角三角函数的应用和深化，也是后续学习斜三角形和任意角三角函数的基础。教材通常从锐角三角函数的概念出发，探讨直角三角形中边角之间的关系，并通过实际问题的应用，使学生理解和掌握解直角三角形的方法。
学习者分析 学生已经理解和掌握了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，掌握了直角三角形的边角关系，会选用勾股定理。但学生的抽象思维还不够成熟，因此在教学时要以实际情境引出问题，使学生初步经历在具体情境中提出问题和解决问题的过程，从而获取学数学、用数学的乐趣。
教学目标 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 2.探索发现解直角三角形所需的最简条件，积极参与探索，善于倾听，敢于发表观点。 3.经历对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，体验运用数学知识解决一些简单的实际问题，培养良好的学习习惯。
教学重点 直角三角形的解法。
教学难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾： 在直角三角形中， 把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα; 把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作cosα； 把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα. 30°45°60°sincostan1
学生活动1： 跟随教师的讲授回顾什么是正弦、余弦、正切 跟随教师的讲授回顾特殊角的正弦值、余弦值、正切值 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 说一说 如图， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a,b,c． (1)直角三角形的三边之间有什么关系？ (2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 教师讲授：a2+b2=c2(勾股定理) ∠A+∠B=90° sinA==, sinB==; cosA==, cosB==; tanA==, tanB==. 议一议 合作交流：在一个直角三角形中，除直角外有5个元素(3条边、2个锐角)，只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？ 教师讲授： 已知两直角边(如a,b)： 由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=; 斜边，一直角边(如c,a): 由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=; 已知锐角，邻边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=btanA,c=; 已知锐角，对边(如∠A,a): ∠B=90°-∠A,a=,c=; 已知锐角，斜边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA. 教师讲授：在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边)，就可以求出其余的3个未知元素.学生活动2： 认真思考，举手回答问题 认真听讲，理解直角三角形中五个元素的关系 认真思考，合作交流 认真听讲，了解解直角三角形的常见类型活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精析教师活动3： 例1如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,求∠B,b,c． 解: ∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 又∵tanB=， ∴b=a·tanB=5·tan 60°=5. ∵sinA=， ∴ c=== =10. 教师讲授：把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形． 例2如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA=， BC=5，试求AB 的长． 解：∵∠C=90°，cosA=， ∴=. 设AB=x，则AC=x. 又AB2=AC2+BC2， ∴x2=(x)2+52. 解得x1=，x2=(舍去). ∴ AB 的长为.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 了解解直角三角形的概念 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 解直角三角形的常见类型 教师讲授： 已知两直角边(如a,b)： 由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=; 斜边，一直角边(如c,a): 由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=; 已知锐角，邻边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=btanA,c=; 已知锐角，对边(如∠A,a): ∠B=90°-∠A,a=,c=; 已知锐角，斜边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( ) A．2 B．8 C．2 D．4 2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则AB＝________，∠A＝______°，∠B＝________°. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)已知∠A和c，则a＝________，b＝________； (2)已知∠B和b，则a＝________，c＝________． 选做题 4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为( ) A. B. C. D. 5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( ) A. B．4 C．8 D．4 6.在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，则BC的长为( ) A．4 B．4＋4 C．4－4 D．4 【综合拓展类作业】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形： (1)∠A＝30°，b＝2； (2)a＝2，c＝4.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图是教学用直角三角板，边AC＝30 cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝，则边BC的长为( ) A．30 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm 2.如图，小明为了测量其所在位置A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( ) A．m·sinα米 B．m·tanα米 C．m·cosα米 D.米 3.如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则tan∠EAF＝________． 【综合拓展类作业】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20，求∠A的度数．
教学反思 本节课从复习锐角三角函数的基础知识，到引导学生掌握解直角三角形的方法，再到通过实际问题的应用巩固知识，整个教学内容连贯，层层递进，有助于学生对知识的深入理解和全面掌握。但是对于部分基础较弱的学生来说，解直角三角形的知识仍然存在一定的难度，需要教师在今后的教学中加强辅导和关注。同时，教师还可以进一步丰富教学资源，引入更多的实际案例和数学问题，以帮助学生更好地理解和应用解直角三角形的知识。
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