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第5章 平面直角坐标系 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 丰县校级月考）根据下列表述，能确定一个点位置的是
A．北偏东 B．某地江滨路
C．光明电影院6排 D．东经，北纬
2．（2023秋 姜堰区期末）在平面直角坐标系中，点，一定在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024秋 崇川区校级月考）已知点和关于轴对称，则的值为
A．2 B． C．3 D．
4．（2023秋 无锡期末）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
5．（2024春 新市区校级期末）已知两点，且直线轴，则
A．可取任意实数， B．，可取任意实数
C．， D．，
6．（2023秋 海安市期中）在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
7．（2023秋 灌云县月考）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．若点的坐标为，点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为
A． B． C． D．
8．（2023秋 灌云县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作等腰直角，则满足条件的点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共10小题）
9．（2022秋 江宁区校级月考）点到原点的距离是 ．
10．（2023秋 高新区校级月考）若电影院中的3排4号记作，则6排2号可以记作 ．
11．（2023秋 兴化市期末）已知点在一、三象限的角平分线上，则的值为 ．
12．（2022秋 宿城区校级期末）若点与点关于原点成中心对称，则 ．
13．（2024秋 射阳县校级月考）在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，则的坐标是 ．
14．（2023秋 邗江区校级月考）五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线（横、竖、斜均可）就获得胜利．如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是 ．
15．（2023秋 工业园区校级月考）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为 ．
16．（2022秋 海陵区校级月考）对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下定义：点到图形上的各点的最小距离为，点到图形上各点的最小距离为，当时，称点为图形与图形的“等长点”．如：点，，中，点就是点与点的“等长点”，已知点，，，连接，若点既是点与点的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点的坐标为 ．
17．（2023秋 淮安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 ．
18．（2023秋 姑苏区期末）如图，三个顶点坐标分别为，，，是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋 兴化市校级期末）已知点．
（1）若点位于第四象限，它到轴的距离是4，试求出的值：
（2）若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点的坐标．
20．（2022秋 泗阳县期末）如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为，实验楼的坐标为．
（1）请在图中画出平面直角坐标系．
（2） ， ．
（3）若食堂的坐标为，请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出食堂的位置．
21．（2023秋 武进区校级月考）平面直角坐标系中，为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形的面积为 ；
（2）如图②，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．求的面积．
22．（2023秋 阜宁县期末）已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
23．（2023秋 工业园区校级期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为 ；
（2）若点的“短距”为4，求的值；
（3）若，两点为“等距点”，求的值．
24．（2023秋 灌云县校级月考）如图①，将射线按逆时针方向旋转角，得到射线．如果为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点在平面内的位置，并记为．例如，在图②中，如果，，那么点在平面内的位置记为．根据图形，解答下列问题：
（1）如图③，若点在平面内的位置记为，则 ；
（2）如果，两点在平面内的位置分别记为，，试求，两点间的距离．
25．（2023秋 灌云县月考）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知平面内两个点分别为，，，其两点间距离公式为．例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或．
（1）已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为2，则、两点的距离为 ；
（2）线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 ；
（3）已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由．
26．（2023秋 姜堰区校级月考）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．
例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
（2）①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．
（3）已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是 时，的最小值保持不变．
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第5章 平面直角坐标系 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 丰县校级月考）根据下列表述，能确定一个点位置的是
A．北偏东 B．某地江滨路
C．光明电影院6排 D．东经，北纬
【答案】
【解析】根据题意可得，
北偏东无法确定位置，故选项错误；
某地江滨路无法确定位置，故选项错误；
光明电影院6排无法确定位置，故选项错误；
东经，北纬可以确定一点的位置，故选项正确，
故选．
2．（2023秋 姜堰区期末）在平面直角坐标系中，点，一定在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】
【解析】，
，
在平面直角坐标系中，点，一定在第四象限．
故选．
3．（2024秋 崇川区校级月考）已知点和关于轴对称，则的值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【解析】关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，
点和关于轴对称，
，
故选．
4．（2023秋 无锡期末）如图，将一片枫叶固定在正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，
点的坐标为．
故选．
5．（2024春 新市区校级期末）已知两点，且直线轴，则
A．可取任意实数， B．，可取任意实数
C．， D．，
【答案】
【解析】轴，
，，
故选．
6．（2023秋 海安市期中）在平面直角坐标系中，把点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标是，
故选．
7．（2023秋 灌云县月考）在平面直角坐标系中，对于，两点给出如下定义：若点到、轴的距离中的最大值等于点到、轴的距离中的最大值，则称，两点为“等距点”．如图中的，两点即为“等距点”．若点的坐标为，点的坐标为，且，两点为“等距点”，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点的坐标为，到、轴的距离中的最大值等于3，
点坐标中到、轴的距离中，至少有一个为3的点，
如果时，点坐标为；
如果时，点坐标为；
如果时，点坐标为；
如果时，点坐标为，
这些点中与符合“等距点”的是：，
故选．
8．（2023秋 灌云县月考）如图，在平面直角坐标系中，点，，以为边在第一象限作等腰直角，则满足条件的点的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】分三种情况讨论：
①如图所示：过点作，使，过点作轴于点，
，
，
，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
点；
②如图所示：过点作，使，过点作轴于点，
，
，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点；
③如图所示：过点作，过点作，，
，，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中点，
，，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的坐标为，
综上可知：满足条件的点的个数为3，
故选．
二．填空题（共10小题）
9．（2023秋 滨湖区期中）的相反数是 ．
【答案】．
【解析】的相反数是：，
故答案为：．
10．（2023秋 栖霞区校级月考）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】无理数为，
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2024春 银州区校级期末）若，则与的关系是 互为相反数 ．
【答案】互为相反数．
【解析】，
，
，
即与的关系是互为相反数．
故答案为：互为相反数．
12．（2023秋 苏州期末）已知的平方根是，的立方根为2，则代数式的值为 ．
【答案】．
【解析】的平方根是，的立方根为2，
，，
解得：，，
则，
故答案为：．
13．（2023秋 姑苏区月考）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，，都有．例如，那么 29 ．
【答案】29
【解析】根据题中的新定义得：．
故答案为：29
14．（2023秋 天宁区校级期中）有一个数值转换机，原理如下：
当输入的时，输出的 ．
【答案】．
【解析】当时，算术平方根为9，
再输入9，9的算术平方根为3，
再输入3，3的算术平方根为，为无理数，
所以．
故答案为：．
15．（2023秋 高港区期末）如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为 ．
【答案】．
【解析】在中，
，，
，
以为圆心，为半径画弧交数轴于点，
，
点表示的数为，
故答案为：．
16．（2024春 崇川区校级月考）设的小数部分是，的整数部分是，则的值是 2 ．
【答案】2．
【解析】，，
，，
的小数部分是，的整数部分是，
，，
，
故答案为：2．
17．（2023秋 宿城区月考）已知，则 249.3 ．
【答案】249.3．
【解析】被开方数62130可由6.213的小数点向右移动4位得到，
可由的算术平方根2.493的小数点向右移动2位得到，
即 249.3．
故答案为：249.3．
18．（2023秋 镇江期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为厘米，则的取值范围是 ．（要求：精确到十分位）
【答案】
【解析】一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为厘米，
，
，
，
．
故答案为：．
9．（2022秋 江宁区校级月考）点到原点的距离是 ．
【答案】．
【解析】点到原点的距离．
故答案为：．
10．（2023秋 高新区校级月考）若电影院中的3排4号记作，则6排2号可以记作 ．
【答案】．
【解析】由题知，
因为电影院中的3排4号记作，
所以括号内数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数，
故6排2号可以记作．
故答案为．
11．（2023秋 兴化市期末）已知点在一、三象限的角平分线上，则的值为 1 ．
【答案】1．
【解析】由题意知，
解得，
故答案为：1．
12．（2022秋 宿城区校级期末）若点与点关于原点成中心对称，则 9 ．
【答案】9．
【解析】点与点关于原点成中心对称，
则，，，
故答案为：9．
13．（2024秋 射阳县校级月考）在平面直角坐标系中，把点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，则的坐标是 ．
【答案】．
【解析】左减右加、上加下减，
点先向左平移2个单位，再向上平移4个单位得点，
的坐标是，即，
故答案为：．
14．（2023秋 邗江区校级月考）五子棋的比赛规则是一人执黑子，一人执白子，两人轮流出棋，每次放一个棋子在棋盘的格点处，只要有同色的五个棋子先连成一条线（横、竖、斜均可）就获得胜利．如图是两人正在玩的一盘棋，若白棋所在点的坐标是，黑棋所在点的坐标是，现在轮到黑棋走，黑棋放到点的位置就获得胜利，点的坐标是 ．
【答案】．
【解析】如图所示：点的坐标是．
故答案为：．
15．（2023秋 工业园区校级月考）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标，则的值为 1 ．
【答案】1．
【解析】，关于轴对称，
，
解得，，
．
故答案为：1．
16．（2022秋 海陵区校级月考）对于平面直角坐标系中的点与图形，给出如下定义：点到图形上的各点的最小距离为，点到图形上各点的最小距离为，当时，称点为图形与图形的“等长点”．如：点，，中，点就是点与点的“等长点”，已知点，，，连接，若点既是点与点的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点的坐标为 或 ．
【答案】或．
【解析】如图：
根据题意：或符合题意，
故答案为：或．
17．（2023秋 淮安区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，，，连接，过点作．若，轴上的一点，连接，当点在轴上移动时，的最小值为 6 ．
【答案】6．
【解析】过点作轴于点，
，
，
，，
，
，
，
，
点在平行于轴与轴距离为6的直线上运动，如图：当垂直于这条直线时，最短，此时，
故答案为：6．
18．（2023秋 姑苏区期末）如图，三个顶点坐标分别为，，，是线段上的一点，连接并延长交于点．若平分，则点的坐标是 ．
【答案】．
【解析】过点作的垂线，垂足为，
，，且平分，
．
，，
，．
在中，
．
令，
，
，
则，
点的坐标为．
令直线的函数表达式为，
则，
解得，
所以．
同理可得，，
则，
解得，
所以点的坐标为．
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋 兴化市校级期末）已知点．
（1）若点位于第四象限，它到轴的距离是4，试求出的值：
（2）若点位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点的坐标．
【解析】（1）由点位于第四象限，
，
解得，
点到轴的距离是4，
得，
或，
解得（不合题意，舍去）或6；
（2）点位于第三象限，
，
解得：．因为点的横、纵坐标都是整数，所以或4，
当时，点，
当时，点．
综上所述，点的坐标为或．
20．（2022秋 泗阳县期末）如图是某学校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若艺术楼的坐标为，实验楼的坐标为．
（1）请在图中画出平面直角坐标系．
（2） 1 ， ．
（3）若食堂的坐标为，请在（1）中所画的平面直角坐标系中标出食堂的位置．
【解析】（1）坐标系如图；
（2）艺术楼的坐标为，实验楼的坐标为．
故答案为：1，；
（3）食堂的位置如图所示．
21．（2023秋 武进区校级月考）平面直角坐标系中，为原点，点，，．
（1）如图①，则三角形的面积为 6 ；
（2）如图②，将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．求的面积．
【解析】（1）为原点，点，，．
，，，
，
．
故答案为：6；
（2）将点向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，，
．
22．（2023秋 阜宁县期末）已知：，，
（1）在坐标系中描出各点，画出．
（2）求的面积；
（3）设点在坐标轴上，且与的面积相等，求点的坐标．
【解析】（1）如图所示：
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
．
（3）当点在轴上时，的面积，即：，解得：，
所以点的坐标为或；
当点在轴上时，的面积，即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或或或．
23．（2023秋 工业园区校级期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，当点的“短距”等于点的“短距”时，称，两点为“等距点”．
（1）点的“短距”为 8 ；
（2）若点的“短距”为4，求的值；
（3）若，两点为“等距点”，求的值．
【解析】（1）点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，
点的“短距”为：8；
故答案为：8．
（2）点的“短距”为4，
，
，
或．
（3），两点为“等距点”，
当时，短距为3时，即，解得或（不符合题意）；
当时，，即，解得（舍去）或
故或．
24．（2023秋 灌云县校级月考）如图①，将射线按逆时针方向旋转角，得到射线．如果为射线上的一点，且，那么我们规定用表示点在平面内的位置，并记为．例如，在图②中，如果，，那么点在平面内的位置记为．根据图形，解答下列问题：
（1）如图③，若点在平面内的位置记为，则 6 ；
（2）如果，两点在平面内的位置分别记为，，试求，两点间的距离．
【解析】（1）根据点在平面内的位置极为可知，
；
（2），，
，
，
△是等边三角形，
．
25．（2023秋 灌云县月考）先阅读一段文字，再回答下列问题：
已知平面内两个点分别为，，，其两点间距离公式为．例如：点和的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或．
（1）已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为5，点的纵坐标为2，则、两点的距离为 3 ；
（2）线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 ；
（3）已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由．
【解析】（1）设，，
则；
故答案为：3；
（2）设，
，，
，
解得：或，
则或；
故答案为：或；
（3），，，
，，，
，且，
则为等腰直角三角形．
26．（2023秋 姜堰区校级月考）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”．
例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
（2）①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 ．
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 ．
（3）已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是 时，的最小值保持不变．
【解析】（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，
故答案为；
（2）①如图1中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，
在线段上的点是；
故答案为：；
②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是或；
故答案为：或；
（3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时．
故答案为：．
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