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第4章 实数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 兴宁市校级月考）的平方根是
A． B．2024 C． D．
【答案】
【解析】，
的平方根为．
故选．
2．（2024秋 正定县期中）在，，，3.1415926，，中，无理数的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】，3.1415926是分数，属于有理数；
，，是整数，属于有理数；
在，，，3.1415926，，中，无理数有，，共2个．
故选．
3．（2024秋 福田区校级月考）下列说法正确的是
①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0
A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】
【解析】①负数没有平方根，正确；
②一个实数的立方根是正数，0或负数，错误；
③负数没有平方根，故原说法错误；
④任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，错误；
⑤平方根等于它本身的数是0，正确．
综上，正确的说法是①⑤．
故选．
4．（2023秋 沛县校级月考）下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选．
5．（2023 扬州）已知，，，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
即，
则，
故选．
6．（2023秋 碑林区校级月考）若，则的算术平方根是
A． B．3 C． D．9
【答案】
【解析】，
，，
，，
的算术平方根是：．
故选．
7．（2024秋 苏州期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到 D．0.0502（精确到
【答案】
【解析】、（精确到十分位），所以此选项正确，故不符合题意；
、（精确到百分位），所以此选项正确，故不符合题意；
、（精确到，所以此选项不正确，故符合题意；
、（精确到，所以此选项正确，故不符合题意；
故选．
8．（2024秋 栾城区期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由，，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：，，，
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为
A．15 B．16 C．17 D．19
【答案】
【解析】根据题意可知为两位数，且个位上的数是9，
根据提示：，，
可知，十位上的数是7，
可以断定，
的每位数上的数字之和为16．
故选．
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋 泗洪县月考）把下列各数分别填入相应的集合中
0，，，3.1415926，，，，，，
（1）整数集合： 0，，
（2）分数集合：
（3）有理数集合：
（4）无理数集合：
【解析】，，
（1）整数集合：，，，；
（2）分数集合：，3.1415926，，；
（3）有理数集合：，，，3.1415926，，，；
（4）无理数集合：，，，，．
故答案为：0，，；，3.1415926，；0，，，3.1415926，，；，，，．
20．（2024秋 姑苏区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
21．（2024秋 吴中区校级月考）求下列各式中的的值：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
22．（2024秋 苏州期中）已知：和是的两个不同的平方根
（1）求，的值．
（2）求的平方根．
【解析】（1），
解得：，
；
（2），
，
的平方根为，
的平方根为．
23．（2023秋 泗洪县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”．
（1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．
【解析】（1）、、三个数都是负数，且，，，
、、这三个数是“完美组合数”；
（2）由于三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，
所以当、这两个数乘积的算术平方根为15时，则，
解得；
当、这两个数乘积的算术平方根为15，则，
解得（不是整数，舍去），
综上所述，．
24．（2023秋 沛县校级月考）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：
（1）的整数部分是 3 ；小数部分是 ．
（2）若是的小数部分，是的小数部分，且，求的值．
【解析】（1），即，
的整数部分为3，小数部分为．
故答案为：3；．
（2）（2）小数部分是，小数部分是，
，，
，
，
．
解得或．
25．（2023秋 滨海县月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【解析】（1）点在点右侧2个单位处，
点所表示的数为：，即，
故答案为：；
，则，，
；
答：的值为2．
（3）与互为相反数，
，
，且，
解得：，，
，
的平方根为．
答：的平方根为．
26．（2022秋 苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ；
（3）已知，且与互为相反数，求，的值．
【解析】（1），，
是两位数．
，，，，，，，，；的个位数字是9．
将117649往前移动3位小数点后约为117，因为，，，所以的十位数字应为4，
的立方根是49，．
两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，
．
故答案为：；
（2），
，解得；
（3），
，
，或，解得，1或3；
与互为相反数，
，即
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
故答案为：3；时，；时，；时，．
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第4章 实数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 兴宁市校级月考）的平方根是
A． B．2024 C． D．
2．（2024秋 正定县期中）在，，，3.1415926，，中，无理数的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024秋 福田区校级月考）下列说法正确的是
①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0
A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤
4．（2023秋 沛县校级月考）下列计算正确的是
A． B． C． D．
5．（2023 扬州）已知，，，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
6．（2023秋 碑林区校级月考）若，则的算术平方根是
A． B．3 C． D．9
7．（2024秋 苏州期中）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是
A．0.1（精确到十分位） B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到 D．0.0502（精确到
8．（2024秋 栾城区期中）课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法：
①由，，能确定是两位数；
②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2；
③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4．
（提示：，，，
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为
A．15 B．16 C．17 D．19
二．填空题（共10小题）
9．（2023秋 滨湖区期中）的相反数是 ．
10．（2023秋 栖霞区校级月考）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 ．
11．（2024春 银州区校级期末）若，则与的关系是 ．
12．（2023秋 苏州期末）已知的平方根是，的立方根为2，则代数式的值为 ．
13．（2023秋 姑苏区月考）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，，都有．例如，那么 ．
14．（2023秋 天宁区校级期中）有一个数值转换机，原理如下：
当输入的时，输出的 ．
15．（2023秋 高港区期末）如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和1，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为 ．
16．（2024春 崇川区校级月考）设的小数部分是，的整数部分是，则的值是 ．
17．（2023秋 宿城区月考）已知，则 ．
18．（2023秋 镇江期末）七上数学课本中曾经采取“逼近法”对的大小进行了探究：即先判断出是大于1，且小于2的数，再进一步得到：（精确到十分位）．一张面积为6平方厘米的正方形纸片，它的边长为厘米，则的取值范围是 ．（要求：精确到十分位）
三．解答题（共8小题）
19．（2022秋 泗洪县月考）把下列各数分别填入相应的集合中
0，，，3.1415926，，，，，，
（1）整数集合：
（2）分数集合：
（3）有理数集合：
（4）无理数集合：
20．（2024秋 姑苏区校级月考）计算：
（1）；
（2）．
21．（2024秋 吴中区校级月考）求下列各式中的的值：
（1）；
（2）．
22．（2024秋 苏州期中）已知：和是的两个不同的平方根
（1）求，的值．
（2）求的平方根．
23．（2023秋 泗洪县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：、、这三个数，，，，其结果6、3、2都是整数，所以、、这三个数称为“完美组合数”．
（1）、、这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数、、是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为15，求的值．
24．（2023秋 沛县校级月考）因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为．类比以上推理解答下列问题：
（1）的整数部分是 ；小数部分是 ．
（2）若是的小数部分，是的小数部分，且，求的值．
25．（2023秋 滨海县月考）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）实数的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
26．（2022秋 苏州期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7；
③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ；
（3）已知，且与互为相反数，求，的值．
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