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第5章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 通州区期中）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A．1，2，1 B．1，2， C．0，2， D．0，，
2．（2024秋 高新区校级月考）函数的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
3．（2023秋 玄武区校级月考）已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是
A． B．
C． D．
4．（2024秋 徐州期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
5．（2023秋 江苏月考）某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨1元，每天销量减少5瓶．设每瓶上涨元，每天利润为元，则下列表达式正确的是
A． B．
C． D．
6．（2023秋 如皋市期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表：
0 1
1 1
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是
A． B． C． D．
7．（2024秋 泉山区校级期中）如图，已知该抛物线的解析式为，点是轴上的一点，将点向右平移5个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是
A． B．或 C． D．或
8．（2024秋 射阳县校级月考）如图，已知二次函数，，是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④为任意实数）；⑤．其中正确的是
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
二．填空题（共10小题）
9．（2023秋 东台市期末）请写出一个开口向上且过点的抛物线表达式为 ．
10．（2024 越秀区校级三模）若抛物线的对称轴是轴，则的值是 ．
11．（2023秋 兴化市期中）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
12．（2024 兴化市二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
13．（2024 镇江一模）二次函数的图象经过点，则的最大值等于 ．
14．（2023秋 雨花台区校级月考）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
15．（2024 宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 米．
16．（2024秋 海门区校级月考）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上，当四边形是菱形时，则的值为 ．
17．（2024春 亭湖区校级月考）如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形，图形分别与轴、轴正半轴交于点、，连接，则的面积为 ．
18．（2024秋 工业园区校级月考）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则点的坐标是 ．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 姑苏区校级月考）（1）已知函数，若这个函数是二次函数，求的取值范围；
（2）已知函数是二次函数，求的值．
20．（2023秋 邗江区校级月考）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
21．（2024秋 海安市校级月考）已知抛物线．
（1）求证：无论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式．
22．（2022秋 邗江区月考）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求出、的值；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且的面积为15，求点的坐标．
23．（2023秋 天宁区校级月考）已知二次函数．
（1）在方格纸中画该函数的图象；
（2）根据图象，完成下列填空：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围 ．
（3）将二次函数沿着轴翻折所得的函数表达式为 ．
24．（2024春 赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．
（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式．
25．（2024秋 崇川区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．
26．（2024秋 梁溪区校级月考）某公司销售一种商品，成本为4元件，公司规定售价不能低于5元件，物价局核定该商品的售价不能高于15元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表：
销售单价（元 6 7 8 9
日销售量（件 90 85 80 75
（1）求出与之间的函数关系式并写出的取值范围；
（2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？
（3）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？
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第5章 二次函数 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 通州区期中）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是
A．1，2，1 B．1，2， C．0，2， D．0，，
【答案】
【解析】函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，2，．
故选．
2．（2024秋 高新区校级月考）函数的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】函数图象的顶点坐标是；
故选．
3．（2023秋 玄武区校级月考）已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，
抛物线与轴的交点在轴负半轴上，
、排除；
中抛物线开口向上，
，
当，时，对称轴在轴左侧，
排除；
中抛物线开口向下，
，
当，时，对称轴在轴右侧，
符合题意，该函数的图象可能是．
故选．
4．（2024秋 徐州期中）若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由抛物线解析式可知，图象开口向上，对称轴为，
离对称轴越远，值越大，
距离对称轴3个单位长度，
距离对称轴0个单位长度，
距离对称轴1个单位长度，
，
故选．
5．（2023秋 江苏月考）某超市销售一种饮料，每瓶进价为3元，当售价为5元时，每天可卖出100瓶，据调查若每瓶售价每涨1元，每天销量减少5瓶．设每瓶上涨元，每天利润为元，则下列表达式正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设每瓶定价为元，则每天可卖出瓶，
根据题意得：
，
故选．
6．（2023秋 如皋市期中）已知二次函数的变量，的部分对应值如表：
0 1
1 1
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当时，；当时，，
方程的一个近似根的范围是，
故选．
7．（2024秋 泉山区校级期中）如图，已知该抛物线的解析式为，点是轴上的一点，将点向右平移5个单位长度得到点，若线段与只有一个公共点，那么的取值范围是
A． B．或 C． D．或
【答案】
【解析】因为点坐标为，且点由点向右平移5个单位长度得到，
所以点的坐标为．
当时，
将代入抛物线的函数解析式，
，
所以线段与只有一个公共点时，，
故此时的取值范围是：．
当时，
令，
则，
解得或4，
即抛物线与轴的交点坐标为和，
则此时线段与抛物线只有一个交点，此点只能是抛物线的顶点．
因为抛物线的顶点坐标为，
所以，
故此时的取值为．
综上所述，的取值范围是：或．
故选．
8．（2024秋 射阳县校级月考）如图，已知二次函数，，是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：①；②；③；④为任意实数）；⑤．其中正确的是
A．①②③ B．②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤
【答案】
【解析】由函数图象可知，
，，，
所以．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线，
所以，
即．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零，
所以时，函数值小于零，
则．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
所以当时，，
即，
所以．
故④正确．
由函数图象可知，
当时，函数值小于零，
则，
又因为，
所以．
故⑤正确．
故选．
二．填空题（共10小题）
9．（2023秋 东台市期末）请写出一个开口向上且过点的抛物线表达式为 ．
【答案】．
【解析】设抛物线的解析式为，
把代入得，
所以满足条件的抛物线解析式为．
故答案为．
10．（2024 越秀区校级三模）若抛物线的对称轴是轴，则的值是 2 ．
【答案】2．
【解析】抛物线的对称轴是轴，
．
．
故答案为：2．
11．（2023秋 兴化市期中）将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
【答案】．
【解析】二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
所得图象的函数表达式为．
故答案为：．
12．（2024 兴化市二模）已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ．
【答案】．
【解析】抛物线的对称轴为直线，
因为，
所以抛物线开口向下，
所以当时，的值随值的增大而增大，
而时，的值随值的增大而增大，
所以，
解得．
故答案为：．
13．（2024 镇江一模）二次函数的图象经过点，则的最大值等于 ．
【答案】．
【解析】二次函数的图象经过点，
，
，
，
当时，．
故答案为：．
14．（2023秋 雨花台区校级月考）已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【答案】．
【解析】当时，二次函数值小于一次函数值，
，
．
不等式的解集为，
故答案为：．
15．（2024 宝应县二模）要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，水管长应为 米．
【答案】．
【解析】设抛物线的解析式为，
由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，．
水管的长度是．
故答案为：．
16．（2024秋 海门区校级月考）如图，抛物线交轴正半轴于点，过点作轴交抛物线于另一点，点在轴上，点在抛物线上，当四边形是菱形时，则的值为 9 ．
【答案】9．
【解析】连接，
四边形是菱形，
，与互相平分，
轴，
轴，
点、在抛物线上，
直线是抛物线的对称轴，
抛物线，
，
，
，
故答案为：9．
17．（2024春 亭湖区校级月考）如图，抛物线的解析式为，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形，图形分别与轴、轴正半轴交于点、，连接，则的面积为 ．
【答案】．
【解析】由题意可知，将抛物线绕点顺时针旋转得到图形的对称轴为直线，
设直线与抛物线在第一象限的交点为，
把绕点顺时针旋转得到，如图所示：
联立方程组得：，
解得或，
点坐标为，，
，
即，
对称性，
，
的面积为．
故答案为：．
18．（2024秋 工业园区校级月考）如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则点的坐标是 ．
【答案】．
【解析】将代入抛物线可得：，
解得，或（舍去），
，
令，
，，
，
当时，，即，
如图，作于，过作轴于，过作于，设，
，
，
，
，
又，，
△△，
，，
又，
，，
，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
直线的解析式为，
联立，
解得，，，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 姑苏区校级月考）（1）已知函数，若这个函数是二次函数，求的取值范围；
（2）已知函数是二次函数，求的值．
【解析】（1）函数是二次函数，
即，
即且，
当且，这个函数是二次函数；
（2）由题意得：，，
解得：，（不合题意舍去），
所以的值为3．
20．（2023秋 邗江区校级月考）已知抛物线交轴于，，与轴交于点．
（1）求此抛物线的顶点坐标；
（2）已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标．
【解析】（1）将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
此抛物线的顶点坐标为：．
（2）设点的坐标为，
点与点关于轴对称，
点的坐标为：，
又点在抛物线上，
，
解得：，，
又点不与点重合，
，
点的坐标为：．
21．（2024秋 海安市校级月考）已知抛物线．
（1）求证：无论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）若直线经过该抛物线的最低点，求抛物线的解析式．
【解析】（1）证明：△，
无论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点；
（2）解：线，
，
该抛物线的最低点为，
直线经过，
，
解得或，
当时，二次函数解析式为，
当时，二次函数解析式为，
综上所述，二次函数的解析式为或．
22．（2022秋 邗江区月考）如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求出、的值；
（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且的面积为15，求点的坐标．
【解析】（1）二次函数的对称轴为直线，
，
，
，
过点，
；
（2）点是抛物线对称轴上的一点，
设，
由（1）可知：，设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设直线与抛物线对称轴交于点，则，
，
，
，
解得：或，
点的坐标为或．
23．（2023秋 天宁区校级月考）已知二次函数．
（1）在方格纸中画该函数的图象；
（2）根据图象，完成下列填空：
①当时，的取值范围是 ；
②当时，的取值范围 ．
（3）将二次函数沿着轴翻折所得的函数表达式为 ．
【解析】（1），
列表：
0 1 2 3
0 0
描点、连线，如图：
（2）①由图可知，当和时，，
当时，的取值范围是，
故答案为：；
②由图知，当时，的取值范围为，
故答案为：；
（3）由对称性质，二次函数沿着轴翻折所得的函数表达式为，
故答案为：．
24．（2024春 赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．
（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式．
【解析】（1）二次函数与为“和谐二次函数”的函数（答案不唯一）；
（2）把代入得：，即，
解得：，即，顶点坐标为，
，
与为“和谐二次函数”，
的顶点坐标为，，
，，，
解得：，，
则函数的表达式为．
25．（2024秋 崇川区校级月考）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点的坐标；
（3）将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中随增大而增大的部分记为图象，若图象与直线只有一个交点，求的取值范围．
【解析】（1）把，代入，
得
解得
抛物线的解析式为．
（2）如图，过点作轴，垂足为，连接，．
由（1）知，．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，，，
或．
点在抛物线上，
当时，；当时，，
点的坐标为或．
（3）解：设直线的解析式为．
把，代入，得解得
直线的解析式为．
由（1）知抛物线的解析式为．
设平移后的抛物线的解析式为，
则平移后的抛物线的顶点坐标为．
图象与直线只有一个交点，
有以下两种情况：
①当时，，即，解得；
②，即，整理，得，
△，解得．
综上所述，若图象与直线只有一个交点，的取值范围为或．
26．（2024秋 梁溪区校级月考）某公司销售一种商品，成本为4元件，公司规定售价不能低于5元件，物价局核定该商品的售价不能高于15元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件与销售单价（元之间满足一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如下表：
销售单价（元 6 7 8 9
日销售量（件 90 85 80 75
（1）求出与之间的函数关系式并写出的取值范围；
（2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润为375元？
（3）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大值为多少？
【解析】（1）设与之间的函数关系式为，将，代入得，
，
解得，，
与之间的函数关系式为，
公司规定售价不能低于5元件，物价局核定该商品的售价不能高于15元件，
；
（2）设公司日销售此商品获得的利润为元，根据题意得：
，
当时，
解得，（舍去），
答：该商品的销售单价定为9元，公司日销售此商品获得的利润为375元；
（3），
，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，最大值为500，
答：该商品的销售单价定为14元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是500元．
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