中小学教育资源及组卷应用平台
第6章 图形的相似 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 江阴市校级月考）若，则等于
A． B． C． D．
2．（2024春 清江浦区期末）观察下列每组图形，是相似图形的是
A． B．
C． D．
3．（2024春 清江浦区期末）如图，，请你再添加一个条件，使得△△．则下列选项不成立的是
A． B． C． D．
4．（2023秋 启东市月考）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为
A．8 B．9 C．10 D．15
5．（2023秋 沭阳县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
A． B． C． D．
6．（2024秋 锡山区校级月考）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．
7．（2024秋 惠山区校级月考）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为
A． B． C． D．
8．（2024 滨湖区校级模拟）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
二．填空题（共10小题）
9．（2024 盱眙县校级开学）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ．
10．（2024秋 惠山区期中）在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 平方米．
11．（2024春 清江浦区期末）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为 ．
12．（2024秋 射阳县校级月考）如图，，，，，则的长为 ．
13．（2024 盐城三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 ．
14．（2024 建邺区校级开学）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，．若，，则的长为 ．
15．（2024春 姑苏区期末）小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 ．
16．（2024 沭阳县校级模拟）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
17．（2023秋 建邺区校级月考）如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 秒，以，，为顶点的三角形与相似．
18．（2024秋 靖江市校级月考）如图，在△中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 ．（结果用含的代数式表示）
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 靖江市月考）已知线段，满足，且．
（1）求，，的值．
（2）若线段是线段，的比例中项，求．
20．（2023秋 南京期末）如图，，相交于点，，，，在一条直线上．，．
（1）求的值；
（2）求的长．
21．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：．
22．（2023秋 亭湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个△，使它与位似，且相似比是．
（1）请画出△；
（2）请直接写出△各顶点的坐标；
（3）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是 ．
23．（2024秋 江阴市校级月考）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．”
用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门20步到处有一树木，出南门14步到，再向西行1775步到处，正好看到处的树木（即点在直线上），求小城的边长．
24．（2020春 常熟市期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
25．（2023秋 赣榆区月考）（1）在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点画，使；
第二步：连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；
第三步：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．
（2）在所画图中，点是线段的黄金分割点吗？为什么？
（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
26．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．
把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、．
根据以上操作，得 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、于点、、．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含的代数式表示）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第6章 图形的相似 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 江阴市校级月考）若，则等于
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
．
故选．
2．（2024春 清江浦区期末）观察下列每组图形，是相似图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】．两图形形状相同，故是相似图形；
．两图形形状不同，故不是相似图形；
．两图形形状不同，故不是相似图形；
．两图形形状不同，故不是相似图形；
故选．
3．（2024春 清江浦区期末）如图，，请你再添加一个条件，使得△△．则下列选项不成立的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
，
当添加条件时，则△△，故选项不符合题意；
当添加条件时，则△△，故选项不符合题意；
当添加条件时，则△△，故选项不符合题意；
当添加条件时，则△和△不一定相似，故选项符合题意；
故选．
4．（2023秋 启东市月考）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】
【解析】图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，
，
，
，
故选．
5．（2023秋 沭阳县期末）校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
A． B． C． D．
【答案】
【解析】为的黄金分割点，，
，
故选．
6．（2024秋 锡山区校级月考）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】
【解析】过点作，交于，
则，，
，
，
，
故选．
7．（2024秋 惠山区校级月考）如图，为了估算河的宽度，小明采用的办法是：在河的对岸选取一点，在近岸取点，，使得，，在一条直线上，且与河的边沿垂直，然后又在垂直于的直线上取点，并测得，．如果，则河宽为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，，
，
△△，
，
即：，
解得：．
故选．
8．（2024 滨湖区校级模拟）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤
【答案】
【解析】在正方形中，，，
，
，
，，故①正确；
，
，
，
，故②正确；
在正方形对角线上，
到，的距离相等，
，
，
，故③正确；
设正方形的边长为，
，
当是的中点时，．
由勾股定理得：
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当是的中点时，，故④正确，
当时，，
，，
，
，
，
中边上的高与中边上的高相等，，
，
设，则，，
，
，
当时，，
，
，
，
，故⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③④，
故选．
二．填空题（共10小题）
9．（2024 盱眙县校级开学）若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ．
【答案】．
【解析】两个相似三角形的周长比为，
两个相似三角形的相似比为，
两个相似三角形的面积比为，
故答案为：．
10．（2024秋 惠山区期中）在比例尺是的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是 500 平方米．
【答案】500．
【解析】实际的长为：，
实际的宽为：，
这块地的实际面积是：．
故答案为：500．
11．（2024春 清江浦区期末）如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】，
，又，
．
故答案为：．
12．（2024秋 射阳县校级月考）如图，，，，，则的长为 ．
【答案】．
【解析】，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
13．（2024 盐城三模）如图，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，则点的对应点的坐标为 或 ．
【答案】或．
【解析】以点为坐标原点、原轴为轴建立新的平面直角坐标系，
则点在新坐标系中的坐标为，
在新坐标系中，以点为位似中心，将按相似比放大，得到，
点的对应点的坐标为或，
则点在原坐标系中的坐标为或，
故答案为：或．
14．（2024 建邺区校级开学）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，．若，，则的长为 3 ．
【答案】3．
【解析】为等边三角形，
，．
，，
，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：3．
15．（2024春 姑苏区期末）小福同学想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图）．设小福的眼睛距地面，，的长分别为，，则建筑物的高度为 6.6 ．
【答案】6.6．
【解析】由题意可知，，，，
，
，
，
，，，
，
解得：，
答：建筑物的高度为．
故答案为：6.6．
16．（2024 沭阳县校级模拟）对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
【答案】．
【解析】设，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是黄金矩形，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
故答案为：．
17．（2023秋 建邺区校级月考）如图，在中，，，动点，分别从点，开始沿图中所示方向及速度运动，如果，两动点同时运动，那么经过 或 秒，以，，为顶点的三角形与相似．
【答案】或．
【解析】根据题意可知：， ，
，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
综上所述：或．
故答案为：或．
18．（2024秋 靖江市校级月考）如图，在△中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．设，若，则 ．（结果用含的代数式表示）
【答案】．
【解析】点和点关于直线对称，
，
，
．
，
，
点和点关于直线对称，
，
又，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
△△．
，
，，
△△，
，
，
，
，，
△△，
，
，
解得，
，
故答案为：．
三．解答题（共8小题）
19．（2024秋 靖江市月考）已知线段，满足，且．
（1）求，，的值．
（2）若线段是线段，的比例中项，求．
【解析】（1）设，
则，，，
，
，
，
，，．
（2）线段是线段，的比例中项，
，
，
或（舍去），
即的值为．
20．（2023秋 南京期末）如图，，相交于点，，，，在一条直线上．，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【解析】（1），
，
又，
；
（2），
，
又，，
．
21．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）连接、，求证：．
【解析】证明：（1），
又，
，
，
；
（2），
，
又，
．
22．（2023秋 亭湖区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个△，使它与位似，且相似比是．
（1）请画出△；
（2）请直接写出△各顶点的坐标；
（3）若内部一点的坐标为，则点的对应点的坐标是 ．
【解析】（1）如图，△即为所求．
（2）由图可得，，，．
（3）由题意可得，点的坐标为．
故答案为：．
23．（2024秋 江阴市校级月考）在《九章算术》“勾股”章中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何．”
用今天的话说，大意是：如图，是一座正方形小城，北门位于的中点，南门位于的中点，出北门20步到处有一树木，出南门14步到，再向西行1775步到处，正好看到处的树木（即点在直线上），求小城的边长．
【解析】设小城的边长为步，根据题意，
，
，
即，
去分母并整理，
得，
解得，（不合题意，舍去），
小城的边长为250步．
24．（2020春 常熟市期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【解析】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
，
；
（2），
，
，
，
，即，解得，
，
，即，
．
25．（2023秋 赣榆区月考）（1）在图①中按下列步骤作图：
第一步：过点画，使；
第二步：连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；
第三步：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．
（2）在所画图中，点是线段的黄金分割点吗？为什么？
（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【解析】（1）依题意画出图形如图1所示：
（2）点是线段的黄金分割点，理由如下：
设，
，
，
由作图可知：，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
由作图可知：，
，
点是线段的黄金分割点；
（3）画法：①过点作，在上截取，连接，
②以点为圆心，以为半径画弧交于，
③以为圆心，以为半径画弧交于点，
④以点为圆心，以为半径画弧，以点为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，
⑤连接，则为所求作的三角形，如图2所示：
证明如下：
由作图可知：，
为等腰三角形，
由（1）（2）可知：点为线段的黄金分割点，
即，
由作图可知：，
，
为黄金三角形．
26．（2024 宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕．
把正方形纸片展平，得图④，折痕、与的交点分别为、．
根据以上操作，得 45 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交、、于点、、．求证：．
【深入研究】
若，请求出的值（用含的代数式表示）．
【解析】【操作判断】解：如图，
由题意可得，，
，
，
，
故答案为：45；
【探究证明】（1）解：方法一：为等腰直角三角形，证明如下：
由题意可得，
正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形；
方法二：，
、、、四点共圆，
，
，
即，
为等腰直角三角形；
（2）证明：为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
翻折，
，
，
，
，
，
；
【深入研究】解：方法一：将旋转至，连接，如图，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
由（2）知，四边形为矩形，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
．
方法二：，
，
设，则，
，
，
如图，延长交延长线于点，
则，
由于的长度已知，所以只需求出的长度即可，
由（2）知为的中点，且，
为的中点，即，
，
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
