第六章 反比例函数小结与复习课件（33张PPT）2024-2025学年北师大版九年级数学上册

(共33张PPT)
小结与复习
第六章 反比例函数
1. 反比例函数的概念
定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的反比例函数，k 是比例系数.
三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的
图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴
为直线 和 .
双曲线
y = x
y = -x
反比例函数的图象与性质
反比例函数的图象是两支曲线.
两支曲线不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
反比例函数的图象与性质
当k>0时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小.
当k<0时，图象位于二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k ≠ 0) k＞0 一、三象限(x，y 同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0 二、四象限(x，y 异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o
反比例函数的图象与性质
Q
P
S1
S2
反比例函数 （k≠0）中比例系数k的几何意义：
过双曲线y= （k≠0）上任意一点作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.
S1=S2=|k|
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 | k |.
推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 .
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数：
①根据两变量之间的反比例关系，设 ；
②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应
值，求出 k 的值；
③写出表达式.
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方
程组.
利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一 反比例函数的概念
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
针对练习
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则
k 的值是 ( )
A. 3　　 B. －3 C. D.
B
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
A
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，
y3 的值，再比较出其大小即可；
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
考点二 反比例函数的图象和性质
例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
D　
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．
4. 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1＞y2
针对练习
考点三 与反比例系数 k 有关的问题
例2 如图，两个反比例函数 和 在第一
象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA
⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
则 △POB 的面积为 .
1
5. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14，
则 k 的值为 .
-20
针对练习
考点四 反比例函数的应用
例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数
y = kx + b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取
何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
O
B
A
x
y
C
D
解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数表达式及 m 的值；
解：把 A(－4， )，B(－1，2) 代入 y = kx + b 中，得
－4k + b = ，
－k + b = 2，
解得
k = ，
b = .
所以一次函数的表达式为 y = x + .
把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2.
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和
△PDB 面积相等，求点 P 的坐标.
解：设点 P 的坐标为 (t， t + )，则 P 点到直线 AC 的距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为 2－( t + )．
∵ △PCA 面积和 △PDB 面积相等，
∴ AC·[t－(－4)] = BD·[2－( t + )]，
解得 t = .
∴ 点 P 的坐标为 ( ， )．
O
B
A
x
y
C
D
P
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
6.如图，设反比例函数的表达式为 (k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
O
y
x
解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该表达式，
得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，
得到
P
2
针对练习
(2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线
l：y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的表达式；
解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b，
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x1 = -3，x2 = 1.
y = kx + 2k，
∴
∴ B (-3，-k)，A (1，3k).
∵ △ABO 的面积为
∴ ×2×3k + ×2k =
解得
∴ 直线 l 的表达式为
y = x + ．
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (-3，-k)
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的
值小于反比例函数的值？
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (－3，－k)
解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反
比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 x ＞ 2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设
解得 k ＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时
间是 1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
7.如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃，从加热开始计算的时间为x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，加热一段时间使材料温度达到28℃时停
止加热，停止加热后，材料温度
逐渐下降，这时温度 y 与时间 x
成反比例函数关系，已知第 12
分钟时，材料温度是14℃．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
针对练习
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函
数关系式（写出 x 的取值范围）；
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
答案：
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，
(x＞6).
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
解：当y = 12时，y = 4x+4，解得 x = 2．
由 ，解得x = 14.
所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为
14－2 = 12 (分钟)．
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
反比例函数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用
见教材章末练习