浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年第一学期高二期中联考数学试题（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学第一学期高二期中联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.有一组数据，按从小到大排列为：，，，，，，这组数据的分位数等于他们的平均数，则为( )
A. B. C. D.
3.若复数满足，则复数( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，为单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.“”是“直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
7.设，是一个随机试验中的两个事件，记，为事件，的对立事件，且，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知直线与动圆，下列说法正确的是( )
A. 直线过定点
B. 当时，若直线与圆相切，则
C. 若直线与圆相交截得弦长为定值，则
D. 当时，直线截圆的最短弦长为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部是 B. 的共轭复数是
C. 的模是 D. 在复平面内对应的点在第二象限
10.如图，已知正方体，，分别是上底面和侧面的中心，判断下列结论正确的是( )
A. 存在使得
B. 任意，，使得
C. 存在，，使得，，共面
D. 任意，，使得，，共面
11.已知曲线的方程，则以下结论正确的是( )
A. 无论实数取何值，曲线都关于轴成轴对称
B. 无论实数取何值，曲线都是封闭图形
C. 当时，曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
D. 当时，曲线所围成的区域的面积小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某圆台上下底面半径分别为和，母线长为，则该圆台的体积是
13.已知椭圆的左、右焦点到直线的距离之和为，则离心率取值范围是
14.已知正三棱锥的外接球为球，，，是球上任意一点，为的中点，则的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：
若从成绩不高于分的同学中按分层抽样方法抽取人成绩，求人中成绩不高于分的人数
已知落在成绩的平均值为，方差是落在成绩的平均值为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差
若该学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若
求的大小
若是线段上一点，且，，求的最大值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆与轴相切，且过点，
求圆的方程
过点作直线交圆于，两点，若，求直线的方程．
18.本小题分
如图所示，已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，底面是等腰梯形，且，，，，是的中点．
求证：平面
若，求四棱锥的体积
求二面角的平面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，，连接，，，若的周长为．
求椭圆的方程
当轴，求的面积
若分别记，的斜率分别为，，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：人，人，
不高于分的抽到人；
由题意可知，解得，
由图中可知：落在的学生人数为人，
落在的学生人数为人，
故，
；
记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件，
则，
至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
16.解：由题意，
根据正弦定理得，
即，
根据余弦定理可知，
，
由题意在边上一点，且，，可得，
，，
故，
，
当且仅当时取到等号，
故，
的最大值为，当且仅当时取到等号．
17.解：在平面直角坐标系中，圆与轴相切，
设圆方程为，
又圆过点，，
则，
可得，，故圆的方程为．
显然当直线斜率为时不合题意，
设直线，，，
将直线与圆联立方程组：，
整理得，
整理可得，，
即，
可得，
，，
，
化简可得，
，经验证，，
所求的直线方程为，．
18.解：取的中点，连接，则是的中位线，
，又，，
，，四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
平面；
取的中点，是以为斜边的等腰直角三角形，
取的中点，底面是等腰梯形，，
是二面角的平面角
连接，，，，
，，，，
在中，，，，
在中，，，，
，，
二面角的平面角
根据第题，二面角的平面角，平面平面，
如图，建系，
不妨令，则，，，，
设平面的法向量是，，，
，令，解得，
设平面的法向量是，，，
则，令，解得，
设二面角的平面角大小为，
由图像可知二面角的平面角为钝角，
则
二面角的平面角的余弦值为

19.解：由题意：，，可得：，，
故椭圆方程；
设，，
当时，由，，在第一象限，可得，，即，
故求得直线方程为，
联立方程，得，
整理得，
则，，
则，
所以
设，，因为在椭圆上，故，
由题意，，
故将直线与椭圆联立方程，
代入可得整理可得：，
所以，即，，即
同理：将直线与椭圆联立方程，
代入可得整理可得：，
所以，即，，即，
所以，，
故，
由在第一象限内，故，
则，当且仅当在处取到等号，
则的最大值为．
第1页，共1页