浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
1．（2024九上·杭州开学考）在中，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·杭州开学考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．（2024九上·杭州开学考）如图，点、、、在半上，四边形、、均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州开学考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
5．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
6．（2024九上·杭州开学考）二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
7．（2024九上·杭州开学考）如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·杭州开学考）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A，B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·杭州开学考）分解因式： ．
10．（2024九上·杭州开学考）如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
11．（2024九上·杭州开学考）如图，在扇形中，，点是上的一个动点不与，重合，，，垂足分别为，若，则扇形的面积为 ．
12．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
，
，
，
，，
正确的序号是 ．
13．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
14．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，，为的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
15．（2024九上·杭州开学考）已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：、两点不可能同时在抛物线上；
（2）点在抛物线上吗？为什么？
（3）求和的值．
16．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y= ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，根据正弦的定义求解．
2．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵第①块出现了完整的弧，在这段弧任意找两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，这个圆心到弧上任意一点的连线段就是这个圆的半径.
∴小明带到商店去的碎片应该是第①块.
故答案为：A.
【分析】根据完整的弧并结合垂径定理确定圆心即可求解.
3．【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：
∵OA、OD、OM都是的半径，
∴OA=OD=OM，
∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，
∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，
∴a=b=c；
故答案为：D．
【分析】连接OA、OD、OM，根据圆的性质可得OA=OD=OM，根据矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，据此求解．
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，
∴，即BC2=CD AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD，
∵AD=BD，∴AD=BC，
∴AD2=CD AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。
故选C.
5．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：观察表格可得，
A、抛物线的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
B、当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
C、和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
D、方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，据此求解．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： 设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
观察抛物线可知：x1+x2＞0，a＞0，
∴．
设方程（a≠0）的两根为a，b，
由根与系数的关系得： ，
∵a＞0，
∴＞0，
∴
∴a+b＞0．
故答案为：A.
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程（a≠0）的两根为a，b，根据根与系数的关系即可得出结论．
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；求余弦值
【解析】【解答】解： 连接CA并延长，交圆于点D，如图所示，
∵CD为直径，
∴∠COD=∠yOx=90°，即x轴交⊙A于点D，
∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5，
∴DO=，
∵∠B=∠CDO，
∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=．
故答案为：C.
【分析】连接CA并延长，交圆于点D，由直径的性质可得出∠COD=∠yOx=90°，由点C（0，5）和点O（0，0）得到CD=10，CO=5，再由勾股定理得DO=，由圆周角定理得到∠B=∠CDO，则根据余弦的定义式求解即可．
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC.
∵∠OCP＝∠DCP，
∴∠OPC＝∠DCP.
∴OP∥CD.
又∵CD⊥AB，
∴PO⊥AB.
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝ (0＜x＜1).
故答案为：A。
【分析】连接OP，根据等边对等角及等量代换得出∠OPC＝∠DCP，根据内错角相等，二直线平行得出OP∥CD，根据二直线平行，同位角相等得出得出∠POB=90°，即PO⊥AB，进而根据勾股定理即可算出AP的长，从而得出函数关系式，进而判断出答案。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提公因式2y，再根据完全平方分式分解因式即可.
10．【答案】1或3或8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=9-x，
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得．
②当时，，解得或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为：1或3或8．
【分析】分类讨论：①当时，，①当时，，再分别求解即可。
11．【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE
∵DE=1，
∴AB=2．
又∵在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴，
∴扇形OAB的面积为：．
故答案为：．
【分析】连接AB，根据垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．再根据OA=OB且∠AOB=90°，利用勾股定理即可求得该扇形的半径．
12．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①错误，②错误；
∵当时，，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
∴当，的值最大，最大为，
而当时，，
∴，
∴，故④正确；
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：④⑤.
【分析】根据函数开口方向，与y轴交点在y轴交点的位置，即可得到，，由抛物线对称轴为直线，可得b=-2a，即可判断①②；当x=-1时，，即可判断③；由当，的值最大，最大为，而当时，，即可判断④；由当时，，即可判定④，当时，，即可判断⑤．
13．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：去分母，得，
解得，，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）依次算乘方、化简二次根式、负整指数幂，再算加减即可；
（2）先去分母转化为整式方程 ，解一元二次方程 ，再检验并得出结论。
14．【答案】（1）证明：平分，
∴，
，
∽（AA），
∴
；
（2）解：，为中点，
=EB，
∴，
平分，
，
，
∴，
∽，
∴
，，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合直角直等，利用AA证明∽，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=CE，根据等边对等角准备条件，证∽，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
15．【答案】（1）解：假设、两点同时在抛物线上，
∵，两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为：直线，
这与抛物线的对称轴为相矛盾，
∴假设不成立，
、两点不可能同时在抛物线上；
（2）解：假设点在抛物线上，
把点A（1，0）代入解析式，得，解得，
∵抛物线经过个点中的三个点，
将、、、代入，
得出的值分别为，，，，
∴抛物线经过的点是，，
又因为，与矛盾，
∴假设不成立．
∴不在抛物线上；
（3）解：由（1）和（2）可得，抛物线可能经过或者，
①将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
②将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
综上可得，或．
【知识点】反证法；二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）假设、两点同时在抛物线上，利用对称性质求出抛物线的对称轴与x=1相矛盾即可；
（2）假设点A在抛物线上，把点A的坐标代入求出K的值，再把B、C、D、E的坐标分别代入求出a的值，发出抛物线经过的点是，，但此时a=-1与a>0相矛盾，据此证明；
（3）由（1）和（2）可得，抛物线可能经过或者，分两种情况，分别根据待定系数法求解即可。
16．【答案】（1）解：∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴
即
解得；
（2）解：由（1）得 ，
将m=8代入，得
所以当x=4时，y取得最大值为2；
（3）解：∵∠DEF=90°，∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE=CD=m，此时m=8-x，解方程 ，
得x=6，或x=2，
当x=2时，m=6，当x=6时，m=2．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．
1 / 1浙江省杭州外国语学校2024-2025学年九年级上学期数学开学试卷
1．（2024九上·杭州开学考）在中，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：如图所示，
，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，根据正弦的定义求解．
2．（2024九上·杭州开学考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是 （ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵第①块出现了完整的弧，在这段弧任意找两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，这个圆心到弧上任意一点的连线段就是这个圆的半径.
∴小明带到商店去的碎片应该是第①块.
故答案为：A.
【分析】根据完整的弧并结合垂径定理确定圆心即可求解.
3．（2024九上·杭州开学考）如图，点、、、在半上，四边形、、均为矩形．设，，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：
∵OA、OD、OM都是的半径，
∴OA=OD=OM，
∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，
∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，
∴a=b=c；
故答案为：D．
【分析】连接OA、OD、OM，根据圆的性质可得OA=OD=OM，根据矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，据此求解．
4．（2024九上·杭州开学考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（ ）
A．∠C=2∠A B．BD平分∠ABC
C．S△BCD=S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【分析】A、∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=72°，
∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误。
B、∵DO是AB垂直平分线，∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°。∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，
∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误。
C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确。
D、∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，∴△DBC∽△CAB，
∴，即BC2=CD AC，
∵∠C=72°，∠DBC=36°，∴∠BDC=72°=∠C。∴BC=BD，
∵AD=BD，∴AD=BC，
∴AD2=CD AC，即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误。
故选C.
5．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数的与的部分对应值如表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：观察表格可得，
A、抛物线的对称轴是直线，有最大值，抛物线开口向下，故选项A错误，不合题意；
B、当时，，抛物线与轴的交点为，故选项B错误，不合题意；
C、和时的函数值相等，则时，，故选项C错误，不合题意；
D、方程的正根在3与4之间，故选项D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】观察表格中的数据可以得到该函数的对称轴、开口方向，从而可以判断各个选项中的说法是否正确，据此求解．
6．（2024九上·杭州开学考）二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和（ ）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解： 设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
观察抛物线可知：x1+x2＞0，a＞0，
∴．
设方程（a≠0）的两根为a，b，
由根与系数的关系得： ，
∵a＞0，
∴＞0，
∴
∴a+b＞0．
故答案为：A.
【分析】设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，设方程（a≠0）的两根为a，b，根据根与系数的关系即可得出结论．
7．（2024九上·杭州开学考）如图，直径为的上经过点和点，是轴右侧优弧上一点，则的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；求余弦值
【解析】【解答】解： 连接CA并延长，交圆于点D，如图所示，
∵CD为直径，
∴∠COD=∠yOx=90°，即x轴交⊙A于点D，
∵直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），
∴CD=10，CO=5，
∴DO=，
∵∠B=∠CDO，
∴∠OBC的余弦值为∠CDO的余弦值，
∴cos∠OBC=cos∠CDO=．
故答案为：C.
【分析】连接CA并延长，交圆于点D，由直径的性质可得出∠COD=∠yOx=90°，由点C（0，5）和点O（0，0）得到CD=10，CO=5，再由勾股定理得DO=，由圆周角定理得到∠B=∠CDO，则根据余弦的定义式求解即可．
8．（2024九上·杭州开学考）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A，B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：连接OP，
∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC.
∵∠OCP＝∠DCP，
∴∠OPC＝∠DCP.
∴OP∥CD.
又∵CD⊥AB，
∴PO⊥AB.
∵OA＝OP＝1，
∴AP＝y＝ (0＜x＜1).
故答案为：A。
【分析】连接OP，根据等边对等角及等量代换得出∠OPC＝∠DCP，根据内错角相等，二直线平行得出OP∥CD，根据二直线平行，同位角相等得出得出∠POB=90°，即PO⊥AB，进而根据勾股定理即可算出AP的长，从而得出函数关系式，进而判断出答案。
9．（2024九上·杭州开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提公因式2y，再根据完全平方分式分解因式即可.
10．（2024九上·杭州开学考）如图，线段，于点A，于点B，，，点P为线段上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
【答案】1或3或8
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设AP=x，则BP=9-x，
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得．
②当时，，解得或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为：1或3或8．
【分析】分类讨论：①当时，，①当时，，再分别求解即可。
11．（2024九上·杭州开学考）如图，在扇形中，，点是上的一个动点不与，重合，，，垂足分别为，若，则扇形的面积为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AB，如图所示，
∵OE⊥AC，OD⊥BC，
∴D、E分别为BC、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE
∵DE=1，
∴AB=2．
又∵在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，
∴，
∴扇形OAB的面积为：．
故答案为：．
【分析】连接AB，根据垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．再根据OA=OB且∠AOB=90°，利用勾股定理即可求得该扇形的半径．
12．（2024九上·杭州开学考）已知二次函数图象的对称轴为，其图象如图所示，现有下列结论：
，
，
，
，，
正确的序号是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
∴，故①错误，②错误；
∵当时，，
∴，故③错误；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线，
∴当，的值最大，最大为，
而当时，，
∴，
∴，故④正确；
∵当时，，
∴当时，，
∴，
∴，故⑤正确，
故答案为：④⑤.
【分析】根据函数开口方向，与y轴交点在y轴交点的位置，即可得到，，由抛物线对称轴为直线，可得b=-2a，即可判断①②；当x=-1时，，即可判断③；由当，的值最大，最大为，而当时，，即可判断④；由当时，，即可判定④，当时，，即可判断⑤．
13．（2024九上·杭州开学考）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：去分母，得，
解得，，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】二次根式的混合运算；解分式方程
【解析】【分析】（1）依次算乘方、化简二次根式、负整指数幂，再算加减即可；
（2）先去分母转化为整式方程 ，解一元二次方程 ，再检验并得出结论。
14．（2024九上·杭州开学考）如图，四边形中，平分，，为的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：平分，
∴，
，
∽（AA），
∴
；
（2）解：，为中点，
=EB，
∴，
平分，
，
，
∴，
∽，
∴
，，
．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得，结合直角直等，利用AA证明∽，根据相似三角形的对应边成比例证明即可；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得AE=CE，根据等边对等角准备条件，证∽，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
15．（2024九上·杭州开学考）已知、、、、五个点，抛物线经过其中的三个点．
（1）求证：、两点不可能同时在抛物线上；
（2）点在抛物线上吗？为什么？
（3）求和的值．
【答案】（1）解：假设、两点同时在抛物线上，
∵，两点纵坐标相等，
∴抛物线的对称轴为：直线，
这与抛物线的对称轴为相矛盾，
∴假设不成立，
、两点不可能同时在抛物线上；
（2）解：假设点在抛物线上，
把点A（1，0）代入解析式，得，解得，
∵抛物线经过个点中的三个点，
将、、、代入，
得出的值分别为，，，，
∴抛物线经过的点是，，
又因为，与矛盾，
∴假设不成立．
∴不在抛物线上；
（3）解：由（1）和（2）可得，抛物线可能经过或者，
①将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
②将、两点坐标代入中，得
，
解得，
，
在抛物线上．
综上可得，或．
【知识点】反证法；二次函数图象上点的坐标特征；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）假设、两点同时在抛物线上，利用对称性质求出抛物线的对称轴与x=1相矛盾即可；
（2）假设点A在抛物线上，把点A的坐标代入求出K的值，再把B、C、D、E的坐标分别代入求出a的值，发出抛物线经过的点是，，但此时a=-1与a>0相矛盾，据此证明；
（3）由（1）和（2）可得，抛物线可能经过或者，分两种情况，分别根据待定系数法求解即可。
16．（2024九上·杭州开学考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
（3）若y= ，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
【答案】（1）解：∵EF⊥DE，
∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE，
又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CDE，
∴
即
解得；
（2）解：由（1）得 ，
将m=8代入，得
所以当x=4时，y取得最大值为2；
（3）解：∵∠DEF=90°，∴只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE=CD=m，此时m=8-x，解方程 ，
得x=6，或x=2，
当x=2时，m=6，当x=6时，m=2．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF=90°，只有当DE=EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．
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