浙江省温州市瑞安市莘塍镇第一中学2024-2025学年九年级上学期数学返校考试卷
1．（2024九上·瑞安开学考）在4，，0，四个数中，最小的为（ ）
A．4 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．（2024九上·瑞安开学考）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年温州经济一季度为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20404000=2.0404×107.
故答案为：.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．（2024九上·瑞安开学考）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．（2024九上·瑞安开学考）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：前5个盲盒的的中位数是100，说明有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100.
A、若选项甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，故选项A符合题意；
B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，故选项B不符合题意；
C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，故选项C不符合题意；
D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据前5个盲盒的的中位数是100，再加两个后中位数大于100，可知后选的两个盲盒质量都大于100，据此即可得到答案.
6．（2024九上·瑞安开学考）关于x的一元二次方程x2－x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＜－1 C．m≤1 D．m＞1
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴m<1.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：有两个不等的实数根，则，据此代入数计算即可.
7．（2024九上·瑞安开学考）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故答案为：C．
【分析】由AD+CD=BC且点D在BC边上，可知就是要使AD=BD，因此只需作出线段AB的垂直平分线，观察各选项中的作图，可得答案.
8．（2024九上·瑞安开学考）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
9．（2024九上·瑞安开学考）反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，k=1>0，∴图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.
A、当时，t－1∴ ，故选项A正确，符合题意；
B、 当时，有两种情况：
①t－1②t－1C、当时，0∴ ，故选项C错误，不符合题意；
B、 当t>0时，也有两种情况
①0②t－1<0故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质得k=1>0，故图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.再结合一三象限点的坐标特征和t的取值范围对每个选项进行判断即可.
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当的值发生变化时，∠ABC的值也发生改变，故选项A不符合题意；
∵PC=AC，．
∴，
∴，.
∴∠BAP=∠PCE.
∵AB=AC=PC，AP=CE，
∴△BAP≌△PCE（SAS）
∴BP=PE，∠ABP=∠CPE，
∴∠PBE=∠PEB，
即∠ABC－∠ABP=∠CPE+∠PCE.
∴∠ABC－∠PCE=2∠CPE，即.
∴.
当的值发生变化时，∠PEB的度数不发生改变，故选项B符合题意；
∵，
∴当的值发生变化时，∠PAB的值也发生改变，故选项C不符合题意；
∵
∴当的值发生变化时，∠EPC的值也发生改变，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，∠APC=∠PAC并表示出来，表示出∠BAP和∠OCE的度数，可得∠BAP=∠PCE.证明△BAP≌△PCE，可得BP=PE，∠ABP=∠CPE.证明∠PBE=∠PEB，可得∠ABC－∠ABP=∠CPE+∠PCE.继而可求出∠CPE和∠PEB.根据表示出的角对各个选项进行判断即可.
11．（2024九上·瑞安开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察发现两项中都有因式x，将公因数x提取出来即可．
12．（2024九上·瑞安开学考）一组数据1，1，4，3，6的众数是 ．
【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 1，1，4，3，6 中，1出现2次，其他数都只有1次，故众数是1.
故答案为：1.
【分析】一组数中出现次数最多的数称为众数，据此进行判断即可.
13．（2024九上·瑞安开学考）在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
【答案】10.5cm
【知识点】平移的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，
∵ 线段沿着方向平移得到线段，DC=3cm，
∴EF//CD，FC=5.5cm，EF=DC=3cm.
∴∠EFB=∠C=∠B.
∴BE=FE=3cm，
又∵，
∴BF=BC－FC=4.5cm，
∴△BEF的周长为：3+3+4.5=10.5（cm）.
故答案为：10.5cm.
【分析】根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，根据平移的性质可得EF//CD，FC=5.5cm，EF=DC=3cm.从而可证明∠EFB=∠C=∠B.于是有BE=FE=3cm，据此即可计算△EBF的周长.
14．（2024九上·瑞安开学考）已知，则 ．
【答案】30
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
又①得：y=2x－5，③
把③代入②得：4x+3（2x－5）=－10，
解得：x=0.5
把x=0.5代入③得：y=﹣4.
故4x－7y=4×0.5－7×（-4）=30.
故答案为：30.
【分析】可以利用代入消元法解这个二元一次方程组后，再把代入4x－7y求值即可.
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，，，，分别为线段和射线上一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为 ．
【答案】40或75
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设E点运动的速度是2x，时间是t，则F点运动的速度是3x，时间是t，
∴BE=2xt，BF=3xt.
△AEG与△BEF全等有两种情况：
①AG=BE=2xt，BF=AE=3xt，
∵AB=100，
∴2xt+3xt=100.
.'.xt=20，
即AG=2xt=2×20=40；
②AG=BF=3xt，BE=AE=2xt，
∵AB=100，
∴2xt+2xt=100，
∴xt=25.
即AG=3xt=75.
即AG的长度是40或75.
故答案为：40或75.
【分析】设E点运动的速度是2x，时间是t，则F点运动的速度是3x，时间是t，求出BE=2xt，BF=3xt.再根据与全等分两种情况：①AG=BE=2xt，BF=AE=3xt；②AG=BF=3xt，BE=AE=2xt，根据AB=100列方程求出xt即可.
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
17．（2024九上·瑞安开学考）计算：．
【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程：
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
19．（2024九上·瑞安开学考）如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。
（1）求证：△EAC≌△DAB
（2）判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由
【答案】（1）解： ∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC即∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
∴ △EAC≌△DAB（SAS）
（2）解： 线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直.
理由：如图，
∵△EAC≌△DAB
∴∠E=∠D，EC=BD
∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠EFA=90°，
∵∠EFA=∠DFG，
∴∠D+∠DFG=90°，
∴∠DGF=90°，
∴EC⊥BD
∴线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直
【知识点】垂线的概念；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可证得∠EAD=∠BAC=90°，从而可证得∠EAC=∠DAB，再利用SAS可证得结论。
（2）由△EAC≌△DAB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠E=∠D，EC=BD，再利用直角三角形的两锐角互余，就可证得∠E+∠EFA=90°，然后证明∠D+∠DFG=90°，利用垂直的定义可证得结论.
20．（2024九上·瑞安开学考）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）图②中项目（足球）对应的百分比为 ．
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目（乒乓球）的人数．
【答案】（1）60
（2）20%
（3）解：（人）.
故本校七年级800名学生中选择项目（乒乓球）的人数大概有240人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）9÷15%=60（人），
故一共调查了60人.
D组人数为：60－6－18－9－12=15（人），
故可补全条形统计图如图：
故答案为：60.
（2），
故 图②中项目（足球）对应的百分比为20%，
故答案为：20%.
【分析】（1）用C组人数÷所占的百分比即可得到总人数，用总人数减其他各组人数即可得D组的人数，继而可补全条形统计图；
（2）用E组人数÷总人数，即可得到对应的百分比；
（3）用800×B组所占的百分比即可估算出大概人数.
21．（2024九上·瑞安开学考）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发(h)时，汽车离甲地的路程为(km)，与的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．
【答案】（1）解：这辆汽车的往返速度不同，理由如下：
从甲到乙的速度为：，
从乙到甲的速度为：，
故其往返速度不同；
（2）解：①当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得，
②当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得．
答：这辆汽车从甲地到乙地出发1小时或3.8小时时离乙地路程为60km．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得汽车从甲地前往乙地用时2小时，行驶路程120km，从乙地返回甲地用时5-2.6=2.4小时，利用速度=路程时间，可求出往返速度，再比较即可；
（2）分和两种情况，分别用待定系数法求出解析式，然后分别令两解析式中的y=60，算出对应的自变量x的值，即可得出答案.
22．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法……
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
【答案】解： （方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，如图：
∵=15°，∠C=90°，DM⊥AB于点M，
∴CD=MD
∵=15°，
∴∠CAB=30°.
∴∠B=180°－∠C－∠CAB=60°.
∴∠BDM=90°－∠B=30°，
∴DB=2MB，，.
设MB=x，则，，
∴
解得：，
∴.
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，如图：
∵EF是边AD的垂直平分线，交AC于点E，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠CED=2∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴AE=DE=2CD，
设CD=x，则，，
∵AC=1，
∴，
解得：
即.
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，如图：
∴AM=MC，
∴∠A=∠ACM=15°，
∴∠CMP=2∠A=30°，
设CP=x，
∴MC=2CP=2x，，
∴.
∵∠A=∠A，∠ACD=∠APC=90°，
∴△ACD∽△APC，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，根据角平分线的性质得CD=MD，证明∠CAB=30°，设MB=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出BD，CD，以及，代入数据得到关于x的方程，求解即可；
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，求带∠CED=30°，设CD=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出CE，AE，根据AE+CE=1得关于x的方程，求解即可；
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，求得∠CMP=30°，设CP=x，表示出MC和MP，从而可得AP；证明△ACD∽△APC，利用相似三角形的性质即可求得CD的长.
23．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 1 2 1 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，求，的值
（2）当函数值时，自变量的值为 ．
（3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围．
【答案】（1）∵ 点，在函数图象上，
∴，-2x=6，
∴x=－3.
故x=－3，
（2）x=－1或1
（3）解：观察图象可知，当b>2或b=0时，方程有1个解；
当b=2时，方程恰有2个解；
当0当b<0时，方程无解.
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察表格可知，当y=2时，x=－1或1.
故答案为：x=－1或1.
【分析】（1）对于A，根据x=3得点A在上，代入即可求得y值；对于B，由y=6可得，x<0，故代入y=﹣2x，可求x的值.
（2）观察表格，即可得到答案.
（3） 观察图象，分b>2或b=0时，b=2时，024．（2024九上·瑞安开学考）如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，．
（1）求证：
（2）求证：是等腰直角三角形
（3）①若，，求的长；
②探索，，三边的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵点C和点E关于BM对称，即BM垂直平分CE，
∴BE=BC，
∴AB=BE.
（2）证明：过点B作BG⊥AF于点G，如图：
∵BM垂直平分CE，点F为BM上一点，
∴EF=CF.
∵BC=BE，FE=FC，FB=FB，
∴△BEF≌△BCF（SSS）
∴∠BFE=∠BFC，∠EBF=∠CBF.
∵AB=BE，
∴∠ABG=∠EBG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBF+∠CBF+∠ABG+∠EBG=2（∠EBG+∠EBF）=90°.
∴∠GBF=∠EBG+∠EBF=45°.
∴Rt△BGF中，∠BFG=45°，
∴∠CFE=2∠BFG=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
（3）解：①如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，，
∴.
∵AE=5，BA=BE，
∴AG=EG=2.5.
∴GF=GE+EF=3.5.
∵Rt△BGF中，∠BFG=45°，
∴.
②在BF上取点Q，使QC=CF，连接QC，CF，BD，如图：
∴QC=QE=CF=EF，
∴四边形QEFC是菱形，
又∵∠EFC=90°，
∴四边形QEFC=正方形，
∴∠QCF=90°.
∵∠BCD=90°，
∴∠BCQ=∠DCF，
又∵BC=CD，CQ=CF，
∴△BCQ≌△DCF（SAS），
∴∠CBQ=∠CDF，
∵∠CBD+∠CDB=∠CBF+∠FBD+∠CDB=90°，
∴∠CDF+∠FBD+∠CDB=90°=∠FBD+∠FDB，
∴∠BFD=90°，即△BFD是直角三角形.
∴BF2+DF2=BD2=BC2+CD2，
∴BF2+DF2=BD2=2BC2.
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AB=BC=CD，由对称性得BE=BC，等量代换即可得到结论；
（2）过点B作BG⊥AF于点G，由对称性得EF=CF；证明△BEF≌△BCF得∠BFE=∠BFC，∠EBF=∠CBF.由“三线合一”性质得∠ABG=∠EBG；即可证明∠GBF=∠EBG+∠EBF=45°，于是得∠BFG=45°，即可得到结论；
（3）①根据等腰直角三角形的性质得EF=1，根据“三线合一”的性质得GE=2.5，于是的GF，在Rt△BGF中解直角三角形即可求得BF的长；
②在BF上取点Q，使QC=CF，连接QC，CF，BD，证明四边形QCFE是正方形，可得∠QCF=90°，从而可得∠BCQ=∠DCF，证明△BCQ≌△DCF可得∠CBQ=∠CDF；证明△BFD是直角三角形，可得BF2+DF2=BD2=BC2+CD2，即可得到结论.
1 / 1浙江省温州市瑞安市莘塍镇第一中学2024-2025学年九年级上学期数学返校考试卷
1．（2024九上·瑞安开学考）在4，，0，四个数中，最小的为（ ）
A．4 B． C．0 D．
2．（2024九上·瑞安开学考）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·瑞安开学考）2024年温州经济一季度为20404000万元，其中20404000用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·瑞安开学考）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·瑞安开学考）某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（ ）
A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊
6．（2024九上·瑞安开学考）关于x的一元二次方程x2－x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＜－1 C．m≤1 D．m＞1
7．（2024九上·瑞安开学考）在△ABC中，，．用尺规在BC边上找一点D，仔细观察、分析能使的作法图是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·瑞安开学考）体育测试中，小超和小铭进行1000米测试，小超的速度是小铭的1.25倍，小超比小铭快了30秒，设小铭的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·瑞安开学考）反比例函数的图象上有，，三点．下列选项正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2024九上·瑞安开学考）如图，在中，，，且．为内部一点，且，．点为线段上一点，且．当的值发生变化时，下列角度的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九上·瑞安开学考）因式分解： ．
12．（2024九上·瑞安开学考）一组数据1，1，4，3，6的众数是 ．
13．（2024九上·瑞安开学考）在中，，，点在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点，分别落在，边上，则的周长为 ．
14．（2024九上·瑞安开学考）已知，则 ．
15．（2024九上·瑞安开学考）如图，，，，分别为线段和射线上一点，若点从点出发向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为 ．
16．（2024九上·瑞安开学考）如图，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，以为边向上作等边，交于点，反比例函数的图象交于点，．若，的面积为，则的值为 ，则的面积为 ．
17．（2024九上·瑞安开学考）计算：．
18．（2024九上·瑞安开学考）解方程：
19．（2024九上·瑞安开学考）如图：AB=AC，AD=AE，AB⊥AC，AD⊥AE。
（1）求证：△EAC≌△DAB
（2）判断线段EC与线段BD的关系，并说明理由
20．（2024九上·瑞安开学考）某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：（羽毛球），（乒乓球），（篮球），（排球），（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下：
解决下列问题：
（1）这次活动一共调查了 名学生，并补全条形统计图；
（2）图②中项目（足球）对应的百分比为 ．
（3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目（乒乓球）的人数．
21．（2024九上·瑞安开学考）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后按原路返回．设汽车从甲地出发(h)时，汽车离甲地的路程为(km)，与的函数关系如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由；
（2）求这辆汽车从甲地出发几小时时离乙地的路程为60km．
22．（2024九上·瑞安开学考）问题情景：如图直角中，，，，求的长？
解题思路：把的角转化成特殊角度，再利用特殊角度进行边之间的换算．
解决方案：方法一：延长至，使得，过作，交于点，根据角平分线的性质定理和等腰直角三角形边的关系，可得
方法二：作的中垂线交于点，连接，根据中垂线的性质定理和等腰直角三角形边的关务，设，，，，得，，则．
其他方法……
迁移应用解决新问题：如图直角中，，，，求的长，写出你的解答过程．
23．（2024九上·瑞安开学考）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：
… 0 1 2 …
… 2 1 0 1 2 1 …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示．
结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题：
（1）点，在函数图象上，求，的值
（2）当函数值时，自变量的值为 ．
（3）利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围．
24．（2024九上·瑞安开学考）如图：正方形中，在内作射线，作点关于的对称点，连结并延长交于点，连结，，．
（1）求证：
（2）求证：是等腰直角三角形
（3）①若，，求的长；
②探索，，三边的关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数为﹣2，
故答案为：B．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数比较各数的大小，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解： A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：20404000=2.0404×107.
故答案为：.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数减1.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式 ．
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：前5个盲盒的的中位数是100，说明有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100.
A、若选项甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，故选项A符合题意；
B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，故选项B不符合题意；
C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，故选项C不符合题意；
D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据前5个盲盒的的中位数是100，再加两个后中位数大于100，可知后选的两个盲盒质量都大于100，据此即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴m<1.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程根的判别式：有两个不等的实数根，则，据此代入数计算即可.
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故答案为：C．
【分析】由AD+CD=BC且点D在BC边上，可知就是要使AD=BD，因此只需作出线段AB的垂直平分线，观察各选项中的作图，可得答案.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，由题意得：
．
变形得：
故答案为：C．
【分析】设小铭的速度是x米/秒，则小超的速度为，然后根据“小超的测试时间=小铭的测试时间－30”列出方程即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 中，k=1>0，∴图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.
A、当时，t－1∴ ，故选项A正确，符合题意；
B、 当时，有两种情况：
①t－1②t－1C、当时，0∴ ，故选项C错误，不符合题意；
B、 当t>0时，也有两种情况
①0②t－1<0故答案为：A.
【分析】根据反比例函数的性质得k=1>0，故图形位于一三象限，且在每个象限内，y随着x的增大而减小.再结合一三象限点的坐标特征和t的取值范围对每个选项进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当的值发生变化时，∠ABC的值也发生改变，故选项A不符合题意；
∵PC=AC，．
∴，
∴，.
∴∠BAP=∠PCE.
∵AB=AC=PC，AP=CE，
∴△BAP≌△PCE（SAS）
∴BP=PE，∠ABP=∠CPE，
∴∠PBE=∠PEB，
即∠ABC－∠ABP=∠CPE+∠PCE.
∴∠ABC－∠PCE=2∠CPE，即.
∴.
当的值发生变化时，∠PEB的度数不发生改变，故选项B符合题意；
∵，
∴当的值发生变化时，∠PAB的值也发生改变，故选项C不符合题意；
∵
∴当的值发生变化时，∠EPC的值也发生改变，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB，∠APC=∠PAC并表示出来，表示出∠BAP和∠OCE的度数，可得∠BAP=∠PCE.证明△BAP≌△PCE，可得BP=PE，∠ABP=∠CPE.证明∠PBE=∠PEB，可得∠ABC－∠ABP=∠CPE+∠PCE.继而可求出∠CPE和∠PEB.根据表示出的角对各个选项进行判断即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察发现两项中都有因式x，将公因数x提取出来即可．
12．【答案】1
【知识点】众数
【解析】【解答】解： 1，1，4，3，6 中，1出现2次，其他数都只有1次，故众数是1.
故答案为：1.
【分析】一组数中出现次数最多的数称为众数，据此进行判断即可.
13．【答案】10.5cm
【知识点】平移的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，
∵ 线段沿着方向平移得到线段，DC=3cm，
∴EF//CD，FC=5.5cm，EF=DC=3cm.
∴∠EFB=∠C=∠B.
∴BE=FE=3cm，
又∵，
∴BF=BC－FC=4.5cm，
∴△BEF的周长为：3+3+4.5=10.5（cm）.
故答案为：10.5cm.
【分析】根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，根据平移的性质可得EF//CD，FC=5.5cm，EF=DC=3cm.从而可证明∠EFB=∠C=∠B.于是有BE=FE=3cm，据此即可计算△EBF的周长.
14．【答案】30
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
又①得：y=2x－5，③
把③代入②得：4x+3（2x－5）=－10，
解得：x=0.5
把x=0.5代入③得：y=﹣4.
故4x－7y=4×0.5－7×（-4）=30.
故答案为：30.
【分析】可以利用代入消元法解这个二元一次方程组后，再把代入4x－7y求值即可.
15．【答案】40或75
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：设E点运动的速度是2x，时间是t，则F点运动的速度是3x，时间是t，
∴BE=2xt，BF=3xt.
△AEG与△BEF全等有两种情况：
①AG=BE=2xt，BF=AE=3xt，
∵AB=100，
∴2xt+3xt=100.
.'.xt=20，
即AG=2xt=2×20=40；
②AG=BF=3xt，BE=AE=2xt，
∵AB=100，
∴2xt+2xt=100，
∴xt=25.
即AG=3xt=75.
即AG的长度是40或75.
故答案为：40或75.
【分析】设E点运动的速度是2x，时间是t，则F点运动的速度是3x，时间是t，求出BE=2xt，BF=3xt.再根据与全等分两种情况：①AG=BE=2xt，BF=AE=3xt；②AG=BF=3xt，BE=AE=2xt，根据AB=100列方程求出xt即可.
16．【答案】；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），
设直线QR的解析式为：y=kx+3m，代入点（3n，0），
可得：3kn+3m=0，
解得：.
∴.
过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，如图：
∴△TAU∽△QOR，
∴.
∴TA=m，AU=n.
∵△ORS是等边三角形，
∴∠SOR=60°.
设点T的坐标为，则点U的坐标为.
∵点T在直线的图象上，
∴，即.
∵点T和U都在反比例函数的图象上，
∴.
∴，即
①－②得：m(x－n)=0.
∵m≠0，
∴x＝n.
易证△QBT∽△QOR，
∴，
故QB=m，OB=2m.
∴点T的坐标为（n，2m），
∴.
等边三角形SOR中，OR=3n，
∴
∵△OQT的面积为，即，
∴.
∴，
.
故答案为：；.
【分析】设点Q的坐标为（0，3m），设点P的坐标为（3n，0），可得直线QR的解析式为；过点T作TB⊥y轴于点B，作T作TC⊥x轴与点C，过点U作AU//x轴于点A，过点S作SD⊥OR于点D，证明△TAU∽△QOR，可得TA=m，AU=n.利用等边三角形的性质可设点T的坐标为，则点U的坐标为.把点T的坐标代入得：；把点T和U的坐标代入，可得；两式相减可求得x＝n；再根据△QBT∽△QOR，可得QB=m，T(2m，n). 表示出△OQT的面积，可得.于是可求得k的值，求出SD的长，即可得的面积.
17．【答案】解：原式=4-2+5=7
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先算乘方和开方运算，同时化简绝对值，然后利用有理数的加减法法则进行计算.
18．【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程，即可求出答案．
19．【答案】（1）解： ∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠EAD=∠BAC=90°，
∴∴∠EAD+∠DAC=∠BAC+∠DAC即∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
∴ △EAC≌△DAB（SAS）
（2）解： 线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直.
理由：如图，
∵△EAC≌△DAB
∴∠E=∠D，EC=BD
∵∠EAD=90°，
∴∠E+∠EFA=90°，
∵∠EFA=∠DFG，
∴∠D+∠DFG=90°，
∴∠DGF=90°，
∴EC⊥BD
∴线段EC与线段BD的关系为：相等且互相垂直
【知识点】垂线的概念；全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可证得∠EAD=∠BAC=90°，从而可证得∠EAC=∠DAB，再利用SAS可证得结论。
（2）由△EAC≌△DAB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得∠E=∠D，EC=BD，再利用直角三角形的两锐角互余，就可证得∠E+∠EFA=90°，然后证明∠D+∠DFG=90°，利用垂直的定义可证得结论.
20．【答案】（1）60
（2）20%
（3）解：（人）.
故本校七年级800名学生中选择项目（乒乓球）的人数大概有240人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）9÷15%=60（人），
故一共调查了60人.
D组人数为：60－6－18－9－12=15（人），
故可补全条形统计图如图：
故答案为：60.
（2），
故 图②中项目（足球）对应的百分比为20%，
故答案为：20%.
【分析】（1）用C组人数÷所占的百分比即可得到总人数，用总人数减其他各组人数即可得D组的人数，继而可补全条形统计图；
（2）用E组人数÷总人数，即可得到对应的百分比；
（3）用800×B组所占的百分比即可估算出大概人数.
21．【答案】（1）解：这辆汽车的往返速度不同，理由如下：
从甲到乙的速度为：，
从乙到甲的速度为：，
故其往返速度不同；
（2）解：①当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得，
②当时，设与的函数关系为
将代入得
解得
当时，
解得．
答：这辆汽车从甲地到乙地出发1小时或3.8小时时离乙地路程为60km．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图象可得汽车从甲地前往乙地用时2小时，行驶路程120km，从乙地返回甲地用时5-2.6=2.4小时，利用速度=路程时间，可求出往返速度，再比较即可；
（2）分和两种情况，分别用待定系数法求出解析式，然后分别令两解析式中的y=60，算出对应的自变量x的值，即可得出答案.
22．【答案】解： （方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，如图：
∵=15°，∠C=90°，DM⊥AB于点M，
∴CD=MD
∵=15°，
∴∠CAB=30°.
∴∠B=180°－∠C－∠CAB=60°.
∴∠BDM=90°－∠B=30°，
∴DB=2MB，，.
设MB=x，则，，
∴
解得：，
∴.
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，如图：
∵EF是边AD的垂直平分线，交AC于点E，
∴AE=DE，
∴∠A=∠ADE=15°，
∴∠CED=2∠A=30°.
∵∠C=90°，
∴AE=DE=2CD，
设CD=x，则，，
∵AC=1，
∴，
解得：
即.
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，如图：
∴AM=MC，
∴∠A=∠ACM=15°，
∴∠CMP=2∠A=30°，
设CP=x，
∴MC=2CP=2x，，
∴.
∵∠A=∠A，∠ACD=∠APC=90°，
∴△ACD∽△APC，
∴，
∴.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（方法一） 延长至，使得，过作DM⊥AB与点M，根据角平分线的性质得CD=MD，证明∠CAB=30°，设MB=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出BD，CD，以及，代入数据得到关于x的方程，求解即可；
（方法二）作的中垂线交于点E，连接DE，根据线段垂直平分线的性质得AE=DE，求带∠CED=30°，设CD=x，根据含30°角的直角三角形的性质表示出CE，AE，根据AE+CE=1得关于x的方程，求解即可；
（方法三）作线段AC的垂直平分线MN交AD于点M，交AC于点N，连接CM，过点C作CP⊥AD于点P，求得∠CMP=30°，设CP=x，表示出MC和MP，从而可得AP；证明△ACD∽△APC，利用相似三角形的性质即可求得CD的长.
23．【答案】（1）∵ 点，在函数图象上，
∴，-2x=6，
∴x=－3.
故x=－3，
（2）x=－1或1
（3）解：观察图象可知，当b>2或b=0时，方程有1个解；
当b=2时，方程恰有2个解；
当0当b<0时，方程无解.
【知识点】分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察表格可知，当y=2时，x=－1或1.
故答案为：x=－1或1.
【分析】（1）对于A，根据x=3得点A在上，代入即可求得y值；对于B，由y=6可得，x<0，故代入y=﹣2x，可求x的值.
（2）观察表格，即可得到答案.
（3） 观察图象，分b>2或b=0时，b=2时，024．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
∵点C和点E关于BM对称，即BM垂直平分CE，
∴BE=BC，
∴AB=BE.
（2）证明：过点B作BG⊥AF于点G，如图：
∵BM垂直平分CE，点F为BM上一点，
∴EF=CF.
∵BC=BE，FE=FC，FB=FB，
∴△BEF≌△BCF（SSS）
∴∠BFE=∠BFC，∠EBF=∠CBF.
∵AB=BE，
∴∠ABG=∠EBG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EBF+∠CBF+∠ABG+∠EBG=2（∠EBG+∠EBF）=90°.
∴∠GBF=∠EBG+∠EBF=45°.
∴Rt△BGF中，∠BFG=45°，
∴∠CFE=2∠BFG=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形.
（3）解：①如图：
∵△CEF是等腰直角三角形，，
∴.
∵AE=5，BA=BE，
∴AG=EG=2.5.
∴GF=GE+EF=3.5.
∵Rt△BGF中，∠BFG=45°，
∴.
②在BF上取点Q，使QC=CF，连接QC，CF，BD，如图：
∴QC=QE=CF=EF，
∴四边形QEFC是菱形，
又∵∠EFC=90°，
∴四边形QEFC=正方形，
∴∠QCF=90°.
∵∠BCD=90°，
∴∠BCQ=∠DCF，
又∵BC=CD，CQ=CF，
∴△BCQ≌△DCF（SAS），
∴∠CBQ=∠CDF，
∵∠CBD+∠CDB=∠CBF+∠FBD+∠CDB=90°，
∴∠CDF+∠FBD+∠CDB=90°=∠FBD+∠FDB，
∴∠BFD=90°，即△BFD是直角三角形.
∴BF2+DF2=BD2=BC2+CD2，
∴BF2+DF2=BD2=2BC2.
【知识点】正方形的性质；正方形的判定；三角形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正方形性质得AB=BC=CD，由对称性得BE=BC，等量代换即可得到结论；
（2）过点B作BG⊥AF于点G，由对称性得EF=CF；证明△BEF≌△BCF得∠BFE=∠BFC，∠EBF=∠CBF.由“三线合一”性质得∠ABG=∠EBG；即可证明∠GBF=∠EBG+∠EBF=45°，于是得∠BFG=45°，即可得到结论；
（3）①根据等腰直角三角形的性质得EF=1，根据“三线合一”的性质得GE=2.5，于是的GF，在Rt△BGF中解直角三角形即可求得BF的长；
②在BF上取点Q，使QC=CF，连接QC，CF，BD，证明四边形QCFE是正方形，可得∠QCF=90°，从而可得∠BCQ=∠DCF，证明△BCQ≌△DCF可得∠CBQ=∠CDF；证明△BFD是直角三角形，可得BF2+DF2=BD2=BC2+CD2，即可得到结论.
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