广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·福田开学考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·福田开学考）已知，下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·福田开学考）等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2024九上·福田开学考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是边形．
A．三 B．四 C．五 D．六
5．（2024九上·福田开学考）下列命题中，假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
6．（2024九上·福田开学考）某农场开挖一条长米的渠道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成任务，若设原计划每天挖米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·福田开学考）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以就是一个“智慧数”，下面个数中不是“智慧数”的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·福田开学考）已知，中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点为的中点，连接并延长交直线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·福田开学考）因式分解： ．
10．（2024九上·福田开学考）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是 ．
11．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
12．（2024九上·福田开学考）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是 ．
13．（2024九上·福田开学考）如图在中，，，点为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则的度数是 ．
14．（2024九上·福田开学考）计算
（1）解不等式组：．
（2）解分式方程：．
15．（2024九上·福田开学考）化简：，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称．
⑴画出对称中心，并写出点的坐标；
⑵画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
⑶画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
17．（2024九上·福田开学考）在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
18．（2024九上·福田开学考）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
19．（2024九上·福田开学考）定义：若分式与分式的和等于它们的积，即，则称分式与分式互为“等和积分式”如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”又如求的等和积分式，可设其为，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：
（1）判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ▲ ；
用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数，的值．
20．（2024九上·福田开学考）【课本再现】
（1）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是 填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
（2）【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是是中心对称图形也不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、是中心对称图形也是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∵a∵a∵a-b，∴ ，故选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质对四个选项进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：80°是底角，则它的底角度数为80°；
若80°是顶角，.
∴等腰三角形的底角为80°或50°，
故答案为：D.
【分析】分80°是顶角或底角两种情况结合三角形的内角和定理分别讨论即可.
4．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，且任意多边形的外角和度数为360度，由题意可得：
，
解得：n=4.
故答案为：B.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式以及外角和定理以及题意列方程，求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖（x+20）米，由题意得：
故答案为：C.
【分析】设原计划每天挖米，则实际每天挖（x+20）米，根据题意得等量关系：原计划挖掘天数－实际的挖掘天数=4，据此列方程求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵
∴除1外，所有的奇数都是“智慧数”，所以，A，C选项都是“智慧数”，故不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是“智慧数”，所以D选项是“智慧数”，故不符合题意；
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，故符合题意.
故答案为：B.
【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是“智慧数”；除4外，所有的能被4整除的偶数都是“智慧数”，据此即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接GD，如图：
∵，点G为的中点，
∴EF=2DG，∠EDF=90°.
∵， 点G为的中点，
∴EF=2CG.
∴DG=CG，
∴∠GCD=∠GDC.
∵中，，，为边上的中线，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°=∠A=∠B，AD=CD.
∴∠ADC=90°，∠A=∠DCF.
∴∠GCD+∠GHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，
∴∠GHD=∠GDH.
∴DG=HG，
∴CG=HG，即CH=2GD，
∴EF=CH=10.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.
∴CF=AE=6.
∴.
故答案为：B.
【分析】连接GD，利用直角三角形斜边中线的性质证得DG=CG，可得∠GCD=∠GDC.利用等腰直角三角形“三线合一”的性质可证得CD⊥AB，∠DCF=∠A=45°，AD=CD.利用直角三角形“两锐角互余”证明∠GHD=∠GDH，可得DG=HG，从而可证明CH=2DG=EF=10.证明△ADE≌△CDF，可得CF=AE=6，再利用勾股定理即可求得CE长.
9．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数和的图象交于点，
观察图形可得，的解为：x>2.
故答案为：x>2.
【分析】根据两一次函数交点坐标与一元一次不等式的关系结合图象确定不等式的解即可.对应同一自变量时，对应的函数图象越高，函数值就越大.
11．【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．【答案】104°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OB=OC，如图：
∵中，，，
∴，AB=AC，
∵AB=AC，AO平分∠BAC，，
∴∠BAO=∠CAO=26°，
∵AO=AO，
∴△BAO≌△CAO（SAS），
∴OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB.
∵OD垂直平分AB，
∴AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=26°，
∴∠OCB=∠OBC=∠ABC－∠ABO=64°－26°=38°.
∵△CEF折叠成△OEF，
∴OE=CE，
∴∠EOC=∠OCB=38°，
∴∠OEC=180°－38°×2=104°.
故答案为：104°.
【分析】连接OB=OC，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得AB=AC，，利用SAS证明△BAO≌△CAO，可得BO=CO，从而得∠OBC=∠OCB.利用线段垂直平分线的性质得AO=BO，从而求得∠ABO，继而可得∠OCB的度数，再由折叠可得OE=CE，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求得∠OEC的度数.
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：；
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解没了”确定不等式组的解集即可；
（2）通过区分母把分式方程化成整式方程，解整式方程再检验分式方程的根据即可.
15．【答案】解：原式
，
，，，，
或，
当时，原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的运算法则，先对括号内部分作通分计算，再将除法变形成乘法运算，并对分子分母分别作因式分解，再作乘法运算即可；最后根据题意确定未知数的取值范围并代入求值即可.
16．【答案】解：（1）如图所示：点D的坐标为
（2）绕点逆时针旋转得如图所示；
（3）与关于点成中心对称的如图所示：
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）连接BB1，CC1，交点即为点D，根据网格特性写出点D的坐标即可；
（2）分别将OA1，OB1，OC1饶点O逆时针旋转90°得到线段OA2，OB2，OC2，再顺次连接A2B2，B2C2，A2C2即可.
（3）连接A1O，B1O，C1O并延长，使A3O=A1O，B3O=B1O，C3O=C1O，再顺次连接A3B3，B3C3，A3C3即可.
17．【答案】（1）解：∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：由（1）得：与互相平分，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得与互相平分；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用平行四边形的性质可得，利用利用勾股定理可得。
18．【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据题意得等量关系“2500元购买A品牌篮球的数量=2000元购买B品牌篮球的数量×2”列方程，求解即可.
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据题意得关系：购买A篮球花的钱+购买B篮球花的钱≤3060，再列不等式求解即可.
19．【答案】（1）解：是等和积分式，；理由如下；
，
分式与分式是“等和积分式”；
（2）解：设分式的“等和积分式”为，
则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
（3）解：①
②由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，
得：，
解得，
．
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（3）①观察得分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为，则，
，
；
故答案为：.
【分析】（1）利用公式计算，结果与比较，即可得到结论；
（2）设分式的“等和积分式”为，利用定义有，用含x的代数式表示A，即可得到答案.
（3）①观察得分式的“等和积分式”为，设分式的“等和积分式”为，并利用定义证明即可得到结论；
②根据规律得的“等和积分式”为，利用定义得方程，求解即可得到m和n的值.
20．【答案】（1）①②③④
（2）解：猜想：，理由如下：
连接，延长EO交DC于点G，连接FG，如图：
是矩形的中心，
点是的中心．
.
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
（3）设．
当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由易知，
，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，AB=BC，OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°
∴AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO（ASA），故①正确；
∵△AEO≌△BFO，
∴OE=OF，S△AEO=S△BFO，故②正确；
∵，故③正确；
如图：
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴，故④正确.
故答案为：①②③④
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=BC， OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，于是可利用ASA证明△AEO≌△BFO，可判断①；根据全等三角形的性质得OE=OF，S△AEO=S△BFO，可判断②；由S△AEO=S△BFO可得，可判断③；证明BF2+BE2＝EF2，即可得到结论并判断④；
（2）连接，延长EO交DC于点G，连接FG，利用AAS证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，证明∠EOF=90°，利用线段垂直平分线的性质得EF=FC；利用勾股定理，代换即可得到结论；
（3）设，再分点在线段上和点在延长线上两种情况，点在线段上时，在中利用勾股定理得，再结合，代入数据可得方程，求解即可；点在线段CA的延长线上时，在中利用勾股定理得，再结合，代入数据可得方程，求解即可.
1 / 1广东省深圳市福田区华富中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·福田开学考）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是是中心对称图形也不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、是中心对称图形也是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故选项D符合题意；
故答案为：A.
【分析】 根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．（2024九上·福田开学考）已知，下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a∵a∵a∵a-b，∴ ，故选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质对四个选项进行判断即可.
3．（2024九上·福田开学考）等腰三角形的一个角是，它的底角度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：80°是底角，则它的底角度数为80°；
若80°是顶角，.
∴等腰三角形的底角为80°或50°，
故答案为：D.
【分析】分80°是顶角或底角两种情况结合三角形的内角和定理分别讨论即可.
4．（2024九上·福田开学考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是边形．
A．三 B．四 C．五 D．六
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，且任意多边形的外角和度数为360度，由题意可得：
，
解得：n=4.
故答案为：B.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式以及外角和定理以及题意列方程，求解即可.
5．（2024九上·福田开学考）下列命题中，假命题的是（ ）
A．矩形的对角线相等
B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，故选项A不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，是真命题，故选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，故选项C不符合题意；
D、对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题，故选项D符合题意.
故选D．
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方性质对角线的判定方法进行判断即可．
6．（2024九上·福田开学考）某农场开挖一条长米的渠道，开工后每天比原计划多挖米，结果提前天完成任务，若设原计划每天挖米，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天挖米，则实际每天挖（x+20）米，由题意得：
故答案为：C.
【分析】设原计划每天挖米，则实际每天挖（x+20）米，根据题意得等量关系：原计划挖掘天数－实际的挖掘天数=4，据此列方程求解即可.
7．（2024九上·福田开学考）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，如：因为，所以就是一个“智慧数”，下面个数中不是“智慧数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：设k是正整数，
∵
∴除1外，所有的奇数都是“智慧数”，所以，A，C选项都是“智慧数”，故不符合题意；
∵，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是“智慧数”，所以D选项是“智慧数”，故不符合题意；
B选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，故符合题意.
故答案为：B.
【分析】设k是正整数，证明除1外，所有的奇数都是“智慧数”；除4外，所有的能被4整除的偶数都是“智慧数”，据此即可得答案.
8．（2024九上·福田开学考）已知，中，，，为边上的中线，若是线段上任意一点，，交直线于点为的中点，连接并延长交直线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接GD，如图：
∵，点G为的中点，
∴EF=2DG，∠EDF=90°.
∵， 点G为的中点，
∴EF=2CG.
∴DG=CG，
∴∠GCD=∠GDC.
∵中，，，为边上的中线，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°=∠A=∠B，AD=CD.
∴∠ADC=90°，∠A=∠DCF.
∴∠GCD+∠GHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，
∴∠GHD=∠GDH.
∴DG=HG，
∴CG=HG，即CH=2GD，
∴EF=CH=10.
∵∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA）.
∴CF=AE=6.
∴.
故答案为：B.
【分析】连接GD，利用直角三角形斜边中线的性质证得DG=CG，可得∠GCD=∠GDC.利用等腰直角三角形“三线合一”的性质可证得CD⊥AB，∠DCF=∠A=45°，AD=CD.利用直角三角形“两锐角互余”证明∠GHD=∠GDH，可得DG=HG，从而可证明CH=2DG=EF=10.证明△ADE≌△CDF，可得CF=AE=6，再利用勾股定理即可求得CE长.
9．（2024九上·福田开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：原式=
故答案为： .
【分析】观察式子发现，可先提取公因式4，然后再利用完全平方展开式进行合并即可。
10．（2024九上·福田开学考）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解是 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数和的图象交于点，
观察图形可得，的解为：x>2.
故答案为：x>2.
【分析】根据两一次函数交点坐标与一元一次不等式的关系结合图象确定不等式的解即可.对应同一自变量时，对应的函数图象越高，函数值就越大.
11．（2024九上·福田开学考）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是
【答案】20°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是BD的中点，F是DC的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴.
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴.
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴
故答案为：20°．
【分析】根据三角形中位线定理得到，，可得PE＝PF，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠EFP．
12．（2024九上·福田开学考）如图，在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），若小平行四边形的面积是2，则面积是 ．
【答案】18
【知识点】平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
又AC=CA，
∴△ACB≌△CAD（SSS）.
同理：△FCE≌△CFG.
∴.
在中，小平行四边形沿对角线平移两次就到了图中的位置（阴影部分），
，AB//EF，
∴△ABC∽△FEC，
∴，即
小平行四边形的面积是2，
∴平行四边形ABCD的面积为2×9=18.
故答案为：18．
【分析】记平移后的平行四边形的四个顶点坐标分别为F，E，C，G，点F在AC上，点E在BC上，由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，证明△ACB≌△CAD，△FCE≌△CFG，于是有.再证明△ABC∽△FEC，AB=3EF，即可利用相似三角形面积的性质求出平行四边形ABCD的面积.
13．（2024九上·福田开学考）如图在中，，，点为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则的度数是 ．
【答案】104°
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OB=OC，如图：
∵中，，，
∴，AB=AC，
∵AB=AC，AO平分∠BAC，，
∴∠BAO=∠CAO=26°，
∵AO=AO，
∴△BAO≌△CAO（SAS），
∴OB=OC.
∴∠OBC=∠OCB.
∵OD垂直平分AB，
∴AO=BO，
∴∠ABO=∠BAO=26°，
∴∠OCB=∠OBC=∠ABC－∠ABO=64°－26°=38°.
∵△CEF折叠成△OEF，
∴OE=CE，
∴∠EOC=∠OCB=38°，
∴∠OEC=180°－38°×2=104°.
故答案为：104°.
【分析】连接OB=OC，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得AB=AC，，利用SAS证明△BAO≌△CAO，可得BO=CO，从而得∠OBC=∠OCB.利用线段垂直平分线的性质得AO=BO，从而求得∠ABO，继而可得∠OCB的度数，再由折叠可得OE=CE，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质即可求得∠OEC的度数.
14．（2024九上·福田开学考）计算
（1）解不等式组：．
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：；
（2）解：，
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，
是原分式方程的解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小解没了”确定不等式组的解集即可；
（2）通过区分母把分式方程化成整式方程，解整式方程再检验分式方程的根据即可.
15．（2024九上·福田开学考）化简：，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
，，，，
或，
当时，原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的运算法则，先对括号内部分作通分计算，再将除法变形成乘法运算，并对分子分母分别作因式分解，再作乘法运算即可；最后根据题意确定未知数的取值范围并代入求值即可.
16．（2024九上·福田开学考）如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，和关于点成中心对称．
⑴画出对称中心，并写出点的坐标；
⑵画出绕点逆时针旋转后的并标明对应字母；
⑶画出与关于点成中心对称的并标明对应字母．
【答案】解：（1）如图所示：点D的坐标为
（2）绕点逆时针旋转得如图所示；
（3）与关于点成中心对称的如图所示：
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）连接BB1，CC1，交点即为点D，根据网格特性写出点D的坐标即可；
（2）分别将OA1，OB1，OC1饶点O逆时针旋转90°得到线段OA2，OB2，OC2，再顺次连接A2B2，B2C2，A2C2即可.
（3）连接A1O，B1O，C1O并延长，使A3O=A1O，B3O=B1O，C3O=C1O，再顺次连接A3B3，B3C3，A3C3即可.
17．（2024九上·福田开学考）在中，，E、F分别是、的中点，延长到点D，使，连接、、、，与交于点O．
（1）试说明与互相平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵E、F分别是、的中点，
∴，，
∵，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：由（1）得：与互相平分，，，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得与互相平分；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用平行四边形的性质可得，利用利用勾股定理可得。
18．（2024九上·福田开学考）某校在商场购进A，B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球的数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌，一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A，B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A，B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【答案】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据题意得等量关系“2500元购买A品牌篮球的数量=2000元购买B品牌篮球的数量×2”列方程，求解即可.
（2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据题意得关系：购买A篮球花的钱+购买B篮球花的钱≤3060，再列不等式求解即可.
19．（2024九上·福田开学考）定义：若分式与分式的和等于它们的积，即，则称分式与分式互为“等和积分式”如与，因为所以与互为“等和积分式”，其中一个分式是另外一个分式的“等和积分式”又如求的等和积分式，可设其为，由定义有，去分母得，解得解答以下问题：
（1）判断分式与分式是不是等和积分式，说明理由；
（2）求分式的“等和积分式”；
（3）观察的结果，寻找规律，直接写出分式的“等和积分式” ▲ ；
用发现的规律解决问题：
若与互为“等和积分式”，求实数，的值．
【答案】（1）解：是等和积分式，；理由如下；
，
分式与分式是“等和积分式”；
（2）解：设分式的“等和积分式”为，
则，
，
，
即分式的“等和积分式”为；
（3）解：①
②由规律可得的“等和积分式”为，
与互为“等和积分式”，
，
由得：，
将代入，
得：，
解得，
．
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（3）①观察得分式的“等和积分式”为，理由如下：
设分式的“等和积分式”为，则，
，
；
故答案为：.
【分析】（1）利用公式计算，结果与比较，即可得到结论；
（2）设分式的“等和积分式”为，利用定义有，用含x的代数式表示A，即可得到答案.
（3）①观察得分式的“等和积分式”为，设分式的“等和积分式”为，并利用定义证明即可得到结论；
②根据规律得的“等和积分式”为，利用定义得方程，求解即可得到m和n的值.
20．（2024九上·福田开学考）【课本再现】
（1）如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点转动则下列结论正确的是 填序号即可．
≌；
；
四边形的面积总等于；
连接，总有．
（2）【类比迁移】
如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
（3）【拓展应用】
如图，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，求线段的长度．
【答案】（1）①②③④
（2）解：猜想：，理由如下：
连接，延长EO交DC于点G，连接FG，如图：
是矩形的中心，
点是的中心．
.
在矩形中，，，
，，
≌，
，，
在矩形中，，
，
在中，
；
（3）设．
当点在线段上时，
，
在中，，
，
又由易知，
，
解得．
．
当点在延长线上时，同理可证．
，
又在中，．
．
解得．
．
故EF的长度为或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）在正方形ABCD和正方形A1B1C1O中，AB=BC，OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°
∴AOE=∠BOF，
∴△AEO≌△BFO（ASA），故①正确；
∵△AEO≌△BFO，
∴OE=OF，S△AEO=S△BFO，故②正确；
∵，故③正确；
如图：
∵△AEO≌△BFO，
∴AE=BF，
∵AB=BC，
∴BE=CF，
∵∠ABC=90°，
∴BF2+BE2＝EF2，
∴，故④正确.
故答案为：①②③④
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=BC， OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，于是可利用ASA证明△AEO≌△BFO，可判断①；根据全等三角形的性质得OE=OF，S△AEO=S△BFO，可判断②；由S△AEO=S△BFO可得，可判断③；证明BF2+BE2＝EF2，即可得到结论并判断④；
（2）连接，延长EO交DC于点G，连接FG，利用AAS证明△AEO≌△CGO，可得AE=CG，OE=OG，证明∠EOF=90°，利用线段垂直平分线的性质得EF=FC；利用勾股定理，代换即可得到结论；
（3）设，再分点在线段上和点在延长线上两种情况，点在线段上时，在中利用勾股定理得，再结合，代入数据可得方程，求解即可；点在线段CA的延长线上时，在中利用勾股定理得，再结合，代入数据可得方程，求解即可.
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