广东省深圳市龙岗实验学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·龙岗开学考）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·龙岗开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·龙岗开学考）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
4．（2024九上·龙岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
5．（2024九上·龙岗开学考）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
7．（2024九上·龙岗开学考）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在平行四边形中，，点的中点从点出发，沿的速度运动到终点设点运动的时间为的面积为，图之间的函数关系图象，下列判断不正确的是( )
A． B．
C．平行四边形的面积为 D．
9．（2024九上·龙岗开学考）已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
10．（2024九上·龙岗开学考）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
11．（2024九上·龙岗开学考）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
12．（2024九上·龙岗开学考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，正方形边长为，正方形边长为，连接和，则的值为 ．
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）x2+2x-4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2.
15．（2024九上·龙岗开学考）先化简，再求值，其中．
16．（2024九上·龙岗开学考）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
17．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：方程的两个实数根分别为，，则，，
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值；
（3）思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值．
18．（2024九上·龙岗开学考）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质： 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定：．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质，小颖的思考如下请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法：过点作的平行线，交于点，；
方法：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假： ▲ 的梯形是等腰梯形，该命题是 ▲ 命题．
20．（2024九上·龙岗开学考）【材料背景】
如图，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点就被称为边的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图，正方形网格是由边长为“”的正方形组成，点、、、都在格点上，，点为的中点．
（1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”和，连接、和，则的形状为 ▲ ；
（2）如图，点、在格点上，请在线段上的格点中任取一点不与点重合，连接、，分别作的边和边的“外展等直点”、，连接、和，请判断的形状，并说明理由．
（3）【应用与拓展】
如图，点、为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，，请直接写出该三角形第三条边的中点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、中间有字母“GPU”，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、中间的线路排布不规则，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、中间有字母“GPU”，且中间的正方形缺角，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故不符合题意；
B、当a=0时，是一元一次方程，故不符合题意；
C、方程整理得：，是三元一次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”判定即可．
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选B．
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP= AB=a，即可得出答案．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质及，证出是等边三角形，再利用全等三角形的性质可得.
5．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：配方得：
故答案为：D.
【分析】①常数项移项到等号右边，②等号左右两边配“一次项一半的平方”，③坐标写成差的平方的形式，右边合并，即可得到配方后的结果.
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有实数根，
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】一元二次方程有实数根式，判别式≥0，据此解答即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由运动速度不变，且点E是CD的中点，
则从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，
由图2知：b-2=7-b，解得b=，故A正确；
B、由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，
则AD=2×1=2，AD+CD=7×1=7，
∴CD=7-2=5，
由四边形ABCD是平行四边形，则BC=AD=2，CD=AB=5，故B正确；
C、如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=AD=1，
∴DF=AF=，
∴ 平行四边形的面积为AB·DF=5×=5，故C正确；
D、由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，
∴a=DE·DF=××=，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据图1和图2可知：从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，即得b-2=7-b，求出b值，即可判断A；由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，据此可求AD=2，AD+CD=7，再利用平行四边形的性质求出BC，CD的长，即可判断B；过点D作DF⊥AB，利用直角三角形的性质求出DF，由平行四边形的面积为AB·DF求值，即可判断C；由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，利用三角形的面积公式求出a值，即可判断D.
9．【答案】－5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程2x2-mx+3=0得，
2+m+3=0，
解得m=-5；
故答案为：-5.
【分析】直接将-1代入方程即可求出m的值.
10．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故或0或，
∴，
故答案为：．
【分析】先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解确定不等式组的整数解为或0或，进而可得a的取值范围．
13．【答案】26
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AC，DF，FC，AD，如图：
∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，
∴OF=OD=2，OC=OA=3，∠DOF=∠AOC=90°，
∴∠OCA=∠OAC=45°，DF2=OF2+OD2=8，AC2=OA2+OC2=18，
∵∠DOF=∠AOC=90°，
∴∠DOF+∠DOC=∠AOC+∠DOC，即∠FOC=∠DOA，
∴△FOC≌△DOA(SAS).
∴∠FCO=∠DAO，
∴∠FCO+∠OCA+∠CAD=∠DAO+∠OCA+∠CAD=∠OCA+∠OAC=90°，即FC⊥AD.
∴CD2+AF2=GD2+GC2+GA2+GF2=GD2+GF2+GC2+GA2=DF2+AC2=26.
故答案为：26.
【分析】连接AC，DF，FC，AD，利用正方形的性质得OF=OD=2，OC=OA=3，∠DOF=∠AOC=90°，可求得DF2和AC2的值；利用SAS证明△FOC≌△DOA，可得∠FCO=∠DAO，从而可证明FC⊥AD.于是利用勾股定理可得CD2+AF2=DF2+AC2，即可得到答案.
14．【答案】（1）解：
解得：，
（2）解：
则
或
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）对右边的式子进行分解，然后移至左边，再分解因式可得(2x+1)(3x-2)=0，据此求解.
15．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则，先对括号内进行通分计算，再把除法转化成乘法，进行计算化简，最后代入数据求值即可.
16．【答案】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠FAE=∠AEB，根据等量代换得出∠BAE=∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE，根据等量代换得出BE=FA，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中根据勾股定理算出AO的长，进而得出答案。
17．【答案】（1）；
（2）一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵的两个实数根分别为，，
∴，.
故答案为：；.
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系代入数据计算结果即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，对提取公因式并代入数据计算即可；
（3）根据题意得m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，结合（2）代入 即可得到结论.
18．【答案】（1）解：∵道路的宽为x米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨y元，由题意得：
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得铺花砖的部分的长为（52－2x）m，宽为（28－2x）m，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨y元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
19．【答案】（1）证明：方法：如图，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法：如图，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，，
∴，
.
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图，四边形是梯形，AD//BC，∠B=∠C，∠A=∠D．
求证：．
证明：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点M，如图：
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
．
【知识点】等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【分析】（1）方法一：过点作的平行线，可得∠AEB=∠C，证明四边形是平行四边形，可得AE=CD，从而得AE=AB，根据等腰三角形的性质得∠B=∠AEB，于是有∠B=∠C.再根据平行线的性质和等式的性质可得∠BAD=∠D，结论可证；
方法二：过点，作的垂线，垂足分别为，，证明四边形AMND是矩形，可得AM=DN，证明Rt△ABM≌Rt△DCN，可得∠B=∠C，∠BAM=∠CDN，即可得∠BAD=∠D，结论得证.
（2）根据题意得命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，判断命题并进行证明.证明过程：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点M，证明四边形AMND是矩形，可得AM=DN，再利用AAS证明△ABM≌△DCN，可得AB=CD，结论得证.
20．【答案】（1）点、即为所求，
由图可知，且，
是等腰直角三角形．
（2）选取点如图所示，、即为所求．
参考一：
形状为等腰直角三角形，理由如下：
如图，，
≌，∠GCI=∠HCJ=45°.
，且，
为等腰直角三角形．
参考二：
如图，，，，
≌，
，，
∴，
为等腰直角三角形．
参考三：
如图，，，，
≌，
，，则，
为等腰直角三角形．
（3）由（2）可知为等腰直角三角形，则在上方和下方各有一个点，如图：
过作轴，作于点，于点，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，，
即，，
，，
；
同理可得
综上，三角形第三条边的中点的坐标为，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据“外展等直点”的定义得到点P和点Q，再连接PC，CQ和PQ，观察图形结合网格特点即可得到答案；
（2）根据根据“外展等直点”的定义分别作OD和BD的“外展等直点”，分别以GC和HC为斜边构造直角三角形GIC和直角三角形GJH，证明全等，可得GC=HC，∠GCH=90°，从而可得结论.
（3）由(2)可知△MNK为等腰直角三角形，则在MN上方和下方各有一个K点，过作轴，作于点，于点，利用AAS证明△MEK1≌△K1FN，可得ME=FK1，EK1=FN，从而可得K1的坐标.同理可得K2的坐标.
1 / 1广东省深圳市龙岗实验学校2024-2025学年九年级上学期开学数学试卷
1．（2024九上·龙岗开学考）芯片是半导体元件产品的统称，是一种将电路小型化的技术，常制造在半导体晶圆表面上下列关于芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意；
B、中间有字母“GPU”，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C、中间的线路排布不规则，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意；
D、中间有字母“GPU”，且中间的正方形缺角，故既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形.
2．（2024九上·龙岗开学考）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是二元二次方程，故不符合题意；
B、当a=0时，是一元一次方程，故不符合题意；
C、方程整理得：，是三元一次方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为2次的整式方程叫做一元二次方程”判定即可．
3．（2024九上·龙岗开学考）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A．变小 B．不变 C．变大 D．无法判断
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB=90°，P为AB中点，AB=2a，
∴OP= AB=a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选B．
【分析】根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出OP= AB=a，即可得出答案．
4．（2024九上·龙岗开学考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，则矩形对角线的长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用矩形的性质及，证出是等边三角形，再利用全等三角形的性质可得.
5．（2024九上·龙岗开学考）一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：配方得：
故答案为：D.
【分析】①常数项移项到等号右边，②等号左右两边配“一次项一半的平方”，③坐标写成差的平方的形式，右边合并，即可得到配方后的结果.
6．（2024九上·龙岗开学考）实验室的一个容器内盛有克食盐水，其中含盐克如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的倍晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数表示的意义是（ ）
A．增加的水量
B．蒸发掉的水量
C．加入的食盐量
D．减少的食盐量
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：A、若增加水量xg，根据题意可列方程：，故选项A不符合题意；故选项A不符合题意；
B、若蒸发掉水量xg，根据题意可列方程：，故选项B符合题意；
C、若加入食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
D、若减少食盐xg，根据题意可列方程：，故选项C不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据各个选项设未知量，根据题意列方程，对比即可得到结论.
7．（2024九上·龙岗开学考）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有实数根，
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】一元二次方程有实数根式，判别式≥0，据此解答即可.
8．（2024九上·龙岗开学考）如图，在平行四边形中，，点的中点从点出发，沿的速度运动到终点设点运动的时间为的面积为，图之间的函数关系图象，下列判断不正确的是( )
A． B．
C．平行四边形的面积为 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由运动速度不变，且点E是CD的中点，
则从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，
由图2知：b-2=7-b，解得b=，故A正确；
B、由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，
则AD=2×1=2，AD+CD=7×1=7，
∴CD=7-2=5，
由四边形ABCD是平行四边形，则BC=AD=2，CD=AB=5，故B正确；
C、如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=AD=1，
∴DF=AF=，
∴ 平行四边形的面积为AB·DF=5×=5，故C正确；
D、由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，
∴a=DE·DF=××=，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据图1和图2可知：从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，即得b-2=7-b，求出b值，即可判断A；由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，据此可求AD=2，AD+CD=7，再利用平行四边形的性质求出BC，CD的长，即可判断B；过点D作DF⊥AB，利用直角三角形的性质求出DF，由平行四边形的面积为AB·DF求值，即可判断C；由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，利用三角形的面积公式求出a值，即可判断D.
9．（2024九上·龙岗开学考）已知方程2x2－mx＋3＝0的一个根是－1，则m的值是 ．
【答案】－5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=-1代入方程2x2-mx+3=0得，
2+m+3=0，
解得m=-5；
故答案为：-5.
【分析】直接将-1代入方程即可求出m的值.
10．（2024九上·龙岗开学考）如图，，两地被古城墙阻隔，为测量， 两地间的距离，先在城墙外地上取一个可以直接到达，两地的点， 连接，， 分别取，的中点，，连接．若的长为， 则，两地间的距离为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，分别为，的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
，
故答案为：．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求出AB的长.
11．（2024九上·龙岗开学考）门窗是中国古代木构架建筑上的重要组成部分．如图①所示是一款冰裂纹窗格，图②是窗格中的部分图案．其中是五边形的4个外角，若，则的度数是 °．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∴∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD=180°×4－（∠1+∠2+∠3+∠4）=420°，
∴∠D=180°×(5－2)－420°=120°.
【分析】根据多边形的内角与外角互补，以及题意求出 ∠DEA+∠EAB+∠ABC+∠BCD 的度数，再结合多边形的内角和公式，即可求出∠D的度数．
12．（2024九上·龙岗开学考）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故或0或，
∴，
故答案为：．
【分析】先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解确定不等式组的整数解为或0或，进而可得a的取值范围．
13．（2024九上·龙岗开学考）如图，正方形边长为，正方形边长为，连接和，则的值为 ．
【答案】26
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AC，DF，FC，AD，如图：
∵四边形OABC和四边形ODEF是正方形，
∴OF=OD=2，OC=OA=3，∠DOF=∠AOC=90°，
∴∠OCA=∠OAC=45°，DF2=OF2+OD2=8，AC2=OA2+OC2=18，
∵∠DOF=∠AOC=90°，
∴∠DOF+∠DOC=∠AOC+∠DOC，即∠FOC=∠DOA，
∴△FOC≌△DOA(SAS).
∴∠FCO=∠DAO，
∴∠FCO+∠OCA+∠CAD=∠DAO+∠OCA+∠CAD=∠OCA+∠OAC=90°，即FC⊥AD.
∴CD2+AF2=GD2+GC2+GA2+GF2=GD2+GF2+GC2+GA2=DF2+AC2=26.
故答案为：26.
【分析】连接AC，DF，FC，AD，利用正方形的性质得OF=OD=2，OC=OA=3，∠DOF=∠AOC=90°，可求得DF2和AC2的值；利用SAS证明△FOC≌△DOA，可得∠FCO=∠DAO，从而可证明FC⊥AD.于是利用勾股定理可得CD2+AF2=DF2+AC2，即可得到答案.
14．（2024九上·龙岗开学考）解方程：
（1）x2+2x-4＝0；
（2）3x（2x+1）＝4x+2.
【答案】（1）解：
解得：，
（2）解：
则
或
解得：，
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将常数项移至右边，然后给两边同时加上1，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可对方程进行配方，接下来利用直接开平方法计算即可；
（2）对右边的式子进行分解，然后移至左边，再分解因式可得(2x+1)(3x-2)=0，据此求解.
15．（2024九上·龙岗开学考）先化简，再求值，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则，先对括号内进行通分计算，再把除法转化成乘法，进行计算化简，最后代入数据求值即可.
16．（2024九上·龙岗开学考）如图：在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E（尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
【答案】（1）证明：由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
（2）解：∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，AO=4，∴AE=2AO=8．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，根据平行四边形的对边平行得出AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠FAE=∠AEB，根据等量代换得出∠BAE=∠AEB，根据等角对等边得出AB=BE，根据等量代换得出BE=FA，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABEF为平行四边形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得出AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中根据勾股定理算出AO的长，进而得出答案。
17．（2024九上·龙岗开学考）阅读材料：
材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则有，．
材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
解：方程的两个实数根分别为，，则，，
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：若一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ， ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值；
（3）思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值．
【答案】（1）；
（2）一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是关于的一元二次方程的两个实数根，
，，
．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：（1）∵的两个实数根分别为，，
∴，.
故答案为：；.
【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系代入数据计算结果即可；
（2）根据根与系数的关系可得，，对提取公因式并代入数据计算即可；
（3）根据题意得m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，结合（2）代入 即可得到结论.
18．（2024九上·龙岗开学考）社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元
【答案】（1）解：∵道路的宽为x米，根据题意得：
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设月租金上涨y元，由题意得：
根据题意得：，
整理得：，
解得，
答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意得铺花砖的部分的长为（52－2x）m，宽为（28－2x）m，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨y元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可；
19．（2024九上·龙岗开学考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
等腰梯形 在第六章，我们按照“定义一性质一判定”的路径研究了平行四边形生活中还有另一种特殊四边形一等腰梯形，我们可以类比平行四边形对其进行研究． 定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰两腰相等的梯形叫做等腰梯形． 如图，四边形是等腰梯形，其中，． 性质：从整体对称性看，等腰梯形是轴对称图形： 从局部元素特征看，等腰梯形有如下性质： 性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；性质： 判定：与平行四边形类似，等腰梯形的性质与判定也具有互逆关系 判定：．
任务：
（1）为证明等腰梯形的性质，小颖的思考如下请按她的思路选择一种方法写出证明过程．
已知：如图，四边形是等腰梯形，，．
求证：，．
证明：方法：过点作的平行线，交于点，；
方法：过点，作的垂线，垂足分别为，，．
（2）根据材料中的思路，小颖由等腰梯形的性质得到关于等腰梯形判定方法的猜想，请你补全该命题，并判断其真假： ▲ 的梯形是等腰梯形，该命题是 ▲ 命题．
【答案】（1）证明：方法：如图，过点作的平行线，交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，，
；
方法：如图，过点，作的垂线，垂足分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
，，
∴，
.
（2）解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，该命题是真命题．理由如下：
已知：如图，四边形是梯形，AD//BC，∠B=∠C，∠A=∠D．
求证：．
证明：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点M，如图：
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
≌，
．
【知识点】等腰梯形的性质；等腰梯形的判定
【解析】【分析】（1）方法一：过点作的平行线，可得∠AEB=∠C，证明四边形是平行四边形，可得AE=CD，从而得AE=AB，根据等腰三角形的性质得∠B=∠AEB，于是有∠B=∠C.再根据平行线的性质和等式的性质可得∠BAD=∠D，结论可证；
方法二：过点，作的垂线，垂足分别为，，证明四边形AMND是矩形，可得AM=DN，证明Rt△ABM≌Rt△DCN，可得∠B=∠C，∠BAM=∠CDN，即可得∠BAD=∠D，结论得证.
（2）根据题意得命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，判断命题并进行证明.证明过程：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点M，证明四边形AMND是矩形，可得AM=DN，再利用AAS证明△ABM≌△DCN，可得AB=CD，结论得证.
20．（2024九上·龙岗开学考）【材料背景】
如图，在中，以边为底边向外作等腰，其中，且，那么点就被称为边的“外展等直点”．
【建构与探究】
如图，正方形网格是由边长为“”的正方形组成，点、、、都在格点上，，点为的中点．
（1）连接、、，请分别作边、的“外展等直点”和，连接、和，则的形状为 ▲ ；
（2）如图，点、在格点上，请在线段上的格点中任取一点不与点重合，连接、，分别作的边和边的“外展等直点”、，连接、和，请判断的形状，并说明理由．
（3）【应用与拓展】
如图，点、为平面内某三角形两条边的“外展等直点”，已知，，请直接写出该三角形第三条边的中点的坐标．
【答案】（1）点、即为所求，
由图可知，且，
是等腰直角三角形．
（2）选取点如图所示，、即为所求．
参考一：
形状为等腰直角三角形，理由如下：
如图，，
≌，∠GCI=∠HCJ=45°.
，且，
为等腰直角三角形．
参考二：
如图，，，，
≌，
，，
∴，
为等腰直角三角形．
参考三：
如图，，，，
≌，
，，则，
为等腰直角三角形．
（3）由（2）可知为等腰直角三角形，则在上方和下方各有一个点，如图：
过作轴，作于点，于点，
，
，
，，
≌，
，，
，，
，，
即，，
，，
；
同理可得
综上，三角形第三条边的中点的坐标为，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据“外展等直点”的定义得到点P和点Q，再连接PC，CQ和PQ，观察图形结合网格特点即可得到答案；
（2）根据根据“外展等直点”的定义分别作OD和BD的“外展等直点”，分别以GC和HC为斜边构造直角三角形GIC和直角三角形GJH，证明全等，可得GC=HC，∠GCH=90°，从而可得结论.
（3）由(2)可知△MNK为等腰直角三角形，则在MN上方和下方各有一个K点，过作轴，作于点，于点，利用AAS证明△MEK1≌△K1FN，可得ME=FK1，EK1=FN，从而可得K1的坐标.同理可得K2的坐标.
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