(共18张PPT)
第18节 解直角三角形及其应用
B
A
3.5
3．(2024江西)将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形ABCD，连接AC，则tan∠CAB＝________．
40sin α
5．(2024眉山)如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为________________米．
6．(2024南宁三模)如图是路灯维护工程车工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，AB＝BC＝4米．当∠1＝75°，∠2＝45°时，则工作篮底部到支撑平台的距离是________________米．
A
7．(2024浙江)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
10．(2024湖南省卷)如图，图①为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，图②为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l.若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为______________分米(结果用含根号的式子表示).(共18张PPT)
第15节 等腰三角形与直角三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠B＝40°，下列结论中不正确的是( )
A.AD⊥BC
B.∠C＝40°
C.AD平分∠BAC
D.∠DAC＝40°
D
A
3．(2024泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是( )
A．45° B．39° C．29° D．21°
B
C
5．(2024陕西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
6. (2020北部湾)《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，图②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是( )
A．50.5寸
B．52寸
C．101寸
D．104寸
C
B
8．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则△BDE的面积与△ABC的面积之比为( )
A.1∶8
B.1∶4
C.1∶2
D.2∶5
A
9．(2024玉林模拟)若等腰三角形的周长是20 cm，一腰长为7 cm，则这个三角形的底边长是_______cm.
10．(2024湖南省卷)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为________°.
6
100
11．(2022梧州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m，那么CD＋DE的长是_______m.
4
12．(2024重庆A卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为________．
2
13．(2024内江)如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为________.
100°
14．(2024桂林一模)如图，已知∠BAC＝60°，AD是∠BAC的角平分线且AD＝20，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF的周长为__________．
15. △DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点A，B，C，使DA＝EB＝FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G.若AD＝DF＝2，则∠DBF＝________，FG＝____________．
30°
16．(2024广西模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE.若F是DE的中点，则CF的最小值为________．
9
17．(2024陕西)如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF.若AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的面积为________.
60
【解析】见《精讲册》重难题答案及解析．(共18张PPT)
第13节 线段、角、相交线与平行线
1．(2024甘肃省卷)若∠A＝55°，则∠A的补角为( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
D
2．(2024包头)如图，直线AB∥CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
3．(2024达州)当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示)，图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．70°
B
4．(2024柳州三模)如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为( )
A．36° B．44° C．54° D．63°
C
5. (2024常州)如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1，F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB.这一判断过程体现的数学依据是( )
A.垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C
6．(2024湖南省卷)下列命题中，正确的是( )
A．两点之间，线段最短
B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为720°
D．直角三角形是轴对称图形
A
7．(2024北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC.若∠AOC＝58°，则∠EOB的大小为( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
B
8．(2024齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
B
A
(2024福建)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
(2024赤峰)将一副三角尺(厚度不计)按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为( )
A.100°
B.105°
C.115°
D.120°
B
9. (2024山西)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为( )
A.155° B.125° C.115° D.65°
C
10．(2024甘孜州)如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2＝( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
B
(2024青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
C
11．(2024钦州二模)如图所示的是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角．在下列选项中，不能用这副三角板画出的角度是( )
A．18° B．108° C．82° D．117°
C
12．(2024南宁模拟)如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行．若∠α＝92°，则∠β的度数为________．
88°
13．(2024桂林一模)如图是某地球仪的主视图，AB，CD，EF分别是赤道平面、地轴、黄道平面，我们知道地球仪的地球是倾斜的，地球仪的地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不是垂直于黄道平面(地球公转轨道平面)，所以地球是斜着身子进行公转的，就产生了黄赤交角，其度数为∠AOF＝23°26′，地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角是互余的，所以地球仪上地轴的倾斜角∠COF等于______________．
66°34′(共18张PPT)
第17节 相似三角形(含位似)
1．(2024连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁
D
2．(2024柳州三模)如图，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝10，则BC的长等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
C
B
C
4．(2024浙江)如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O.若点A(－3，1)的对应点为A′(－6，2)，则点B(－2，4)的对应点B′的坐标为( )
A.(－4，8) B．(8，－4)
C．(－8，4) D．(4，－8)
A
5．(2024青海)如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件________________________，使得△AOB∽△COD.
∠A＝∠C(答案不唯一)
8.25
6. (2024桂林模拟)某学校旁有一根电线杆AB和一块矩形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下．电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而矩形广告牌的影子刚好落在地面上E点(如图)，已知BC＝5米，矩形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是________米．
9．(2024玉林模拟)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，E是AC的中点，连接BE，过点E作ED⊥BE交BC于点D.若△EDC的面积为6，则△ABC的面积为( )
A．144 B．150 C．288 D．72
【解析】见《精讲册》重难题答案及解析．
D
10．(2024崇左三模)如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是__________．
【解析】见《精讲册》重难题答案及解析．
2
(1)材料中的“依据”是指________________________________；
(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：在△ABC中，∠A＝90°，B(1，0)，C(－3，0)，点A在y轴上，求点A的坐标．
两角对应相等，两三角形相似
12．(2024柳州模拟)如图，已知等边△ABC的边长为4，点F是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D，E.
(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若CF＝a，四边形ADFE面积为S，求S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．(共15张PPT)
第16节 全等三角形
1．(2024桂林一模)如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′，BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度．依据的数学基本事实是( )
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
A
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB∥CD，过点B作BF⊥AC于点E，交CD于点F，BD⊥CD，CD＝8，BD＝3，△ABE的周长为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
B
C
4．(2024成都)如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为________．
100°
5．(2024牡丹江)如图，在△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D，E，F三点共线，请添加一个条件________________________，使得AE＝CE(只添一种情况即可).
DE＝EF(答案不唯一)
6．(2024甘肃省卷)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是__________.
(1，4)
7．(2024崇左三模)如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若OA＝40 cm，OB＝30 cm，则点C离地面的距离是________cm.
30
8．如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动________s.
1
(1)证明：∵OB⊥OC，∴∠BOD＋∠COE＝90°，∵BD⊥OA，∴∠BOD＋∠B＝90°，∴∠COE＝∠B；
(2)解：∵BD⊥OA，CE⊥OA，∴∠CEO＝∠ODB＝90°.由题意得OC＝OB＝OA＝17 cm，由(1)得∠COE＝∠B，∴△COE≌△OBD(AAS)，∴OE＝BD＝8 cm，∴AE＝OA－OE＝17－8＝9(cm).
10．(2024长沙)如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
D(共19张PPT)
第14节 一般三角形
1．(2024南宁适应性训练)若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是( )
A．1 B．5 C．7 D．9
B
(2024玉林模拟)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A．1，3，4 B．2，2，7
C．4，5，7 D．3，3，6
C
2．(2024长沙)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
C
3．(2024桂林一模)直角三角形的一个锐角是70°，则它的另一个锐角是( )
A．20° B．70°
C．110° D．20°或70°
A
4. 2023年10月17日至18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，中国与150多个国家、30多个国际组织签署了230多份合约，携手实现经济共同发展．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
A
5．(2024南宁模拟)如图，A，B两地被池塘隔开，小明先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N.若MN的长为18米，则A，B间的距离是( )
A．9米
B．18米
C．27米
D．36米
D
6．(2024凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )
A．25 cm B．45 cm
C．50 cm D．55 cm
C
7．(2024百色一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝20，CD＝6，则△ABD的面积为( )
A．80 B．60
C．20 D．10
B
8．(2024梧州一模)三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为( )
A．50° B．60° C．75° D．85°
C
9．(2023扬州)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝4，若△ABC是锐角三角形，则满足条件的BC长可以是( )
A．1 B．2 C．6 D．8
C
10．(2024凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是________．
100°
11．(2024浙江)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为________．
4
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AC＝6，DE是△ABC的中位线，点F在BC上，AF与DE相交于点G，若GE＝1，则BF的长为______．
4
12．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为( )
A．6
B．8
C．10
D．12
A
13．(多解题)在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是____________度．
80或40
16
【解析】见《精讲册》重难题答案及解析．
