(共26张PPT)
数 学
第二章 方程(组)与不等式(组)
第7节 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其解法
0
1．一元二次方程必须具备四个条件
(1)必须是整式方程．
(2)必须只含有1个未知数．
(3)所含未知数的最高次数是2.
(4)二次项系数不为①____．
2．一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．
3．一元二次方程的解法(基本思路：降次)
解法 适用形式
公式法 适用于所有一元二次方程，化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，求根公式为x＝②__________
直接开 平方法 形如x2＝p或(x＋m)2＝p(p≥0)的方程可通过开平方运算求解
配方法 将方程配方成(x＋h)2＝k(k≥0)的形式(配方时通常先把二次项系数化为1，方程两边再加上一次项系数一半的平方)
因式分 解法 形如(x－a)(x－b)＝0的方程
一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，判别式与根的关系如下：
(1)b2－4ac＞0 方程有两个③_________的实数根．
(2)b2－4ac＝0 方程有两个④________的实数根．
(3)b2－4ac<0 方程⑤____实数根．
注：由(1)(2)可知b2－4ac≥0 方程有两个实数根．
不相等
相等
无
一元二次方程根与系数的关系
若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝⑥_______，x1·x2＝⑦____.
注：利用根与系数的关系解题的前提是方程必须有两根．
一元二次方程的实际应用
解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程，最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义．
x2＋2x－1＝0
1
2
－1
4
－2
－2
20
3．解方程：
(1)x(x＋2)＝5(x＋2)；
(2)x2－4x－3＝0.
解：x(x＋2)＝5(x＋2)，移项得x(x＋2)－5(x＋2)＝0，(x＋2)(x－5)＝0，x＋2＝0或x－5＝0，解得x1＝－2，x2＝5.
解一元二次方程及根的判别式(北部湾5年1考)
B
例1 (2022贵港)若x＝－2是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( )
A．0，－2 B．0，0 C．－2，－2 D．－2，0
例2 (一题多设问)已知关于x的方程kx2－6x＋9＝0.
(1)若k＝3，则方程______实数根(填“有”或“没有”)；
(2)若方程有实数根，则k的取值范围为_______；
(3)若方程有两个实数根，则k的取值范围为__________；
(4)若方程有两个相等的实数根，则k的值为____；
(5)若方程没有实数根，则k的取值范围为_______；
(6)若方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为____________．
没有
k≤1
k≤1且k≠0
1
k＞1
k＜1且k≠0
一元二次方程的实际应用(2023.11，北部湾5年2考)
类型一 变化率问题
1．若基础量为a，平均增长率为x%，连续增长两次后的量为b，则有_______________．
2．若基础量为a，平均下降率为x%，连续下降两次后的量为b，则有_______________．
a(1＋x%)2＝b
a(1－x%)2＝b
例3 (2023广西)据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A．3.2(1－x)2＝3.7
B．3.2(1＋x)2＝3.7
C．3.7(1－x)2＝3.2
D．3.7(1＋x)2＝3.2
B
(a－2x)(b－2x)
类型二 面积问题
1．设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则：
如图①，S阴影＝__________________；
如图②，S阴影＝_________________.
(a－x)(b－x)
(a－2x)(b－2x)
2．如图③，长为a，宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该盒子的底面积S＝_______________.
3．如图④，靠墙围篱笆，篱笆总长度为m，平行于墙的一边长为x，则篱笆所围的面积S＝_____________.
D
例5 某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元．超市若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为____元，应进货____个．
70
200
2．病毒传染问题
有一个人患流感，若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮后共有________个人患流感，第二轮后共有_________个人患流感．
(1＋x)
(1＋x)2
B(共20张PPT)
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第6节 分式方程及其应用
分式方程及其解法
1.分式方程：分母中含有① ________的方程．
2.解分式方程的一般步骤
未知数
3．分式方程的增根与无解
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，同时也使分式方程的②_____为0.
(2)分式方程无解有两种情况：
①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，所以分式方程无解；
②分式方程化为整式方程后，整式方程的解是分式方程的增根，所以分式方程无解．
分母
分式方程的实际应用
用分式方程解应用题的一般步骤
解分式方程(2023.20，北部湾5年1考)
D
B
3（x－1）
3x－3（x－1）＝2x
3x－3x＋3＝2x
2x＝3
x＝1.5
x＝1.5
x－1≠0
x＝1.5
解：方程两边同乘x(x－1)得2x＝x－1，移项并解得x＝－1.将x＝－1代入x(x－1)≠0，∴x＝－1是原分式方程的解．
分式方程解的应用
1
x＝－3
1
0或1
a≤4且a≠3
【方法指导】
1．若解为常数：代入方程，得关于未知字母系数的方程，求解即可．
2．若有解(解为正数或负数)：去分母化为整式方程，用含字母的代数式表示方程的解，再根据解的正负确定字母取值范围，注意去除使最简公分母为0的值．
3．若增根或无解：去分母化为整式方程ax＋b＝0.(1)令最简公分母＝0确定增根；
(2)把增根代入整式方程求解；
(3)由a＝0，b≠0确定字母的值．
分式方程的实际应用(北部湾5年3考)
例5 (2022贵港23题节选)为了加强学生的体育锻炼某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．求绳子和实心球的单价各是多少元？
A
C(共23张PPT)
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第8节 一元一次不等式(组)及其应用
不等式的基本性质
＞
＜
＜
一元一次不等式的解法及解集表示
合并同类项
【拓展笔记】在数轴上表示解集时，要注意“两定”：(1)定边界：“≥”和“≤”在数轴上表示为实心圆点，“>”和“<”在数轴上表示为空心圆圈．(2)定方向：大于向右，小于向左．
一元一次不等式组的解法及解集表示
1．解一元一次不等式组的一般步骤
(1)先分别求出不等式组中每个不等式的解集．
(2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来．
(3)确定解集的公共部分，根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解．
2．解集的类型及其在数轴上的表示
一元一次不等式解实际应用题的一般步骤
1．审清题意．
2．设未知数．
3．找出数量关系列不等式．
4．解不等式．
5．检验并写出答案．
不等式的性质(北部湾5年1考)
D
D
解不等式(组)及解集表示(2024.16，2023.5，北部湾5年5考)
C
考向1 不等式(组)解集的表示与读取
例2 (2023广西)x≤2在数轴上表示正确的是( )
(2024南宁模拟)一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是( )
A．－1C．－1≤x<3 D．－1≤x≤3
C
(2024广西模拟)如图，数轴上表示的解集，是下列哪个不等式的解集( )
A．12－6x<0 B．12－6x≤0
C．12－6x>0 D．12－6x≥0
D
考向2 解不等式(组)
例3 (2024广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为_________．
x<－2
x≥－3
x＜2
－3≤x＜2
0，1
5
1
－3
－5
－1
a＜2
－1≤a＜0
a≥2
C
一元一次不等式的实际应用
常用关键词与不等号的关系
常用关键词 符号
大于，多于，超过，高于 >
小于，少于，不足，低于 <
至少，不低于，不小于，不少于 ≥
至多，不超过，不高于，不大于 ≤
例6 (2024南宁模拟)一家游泳馆暑期推出两种游泳付费方式．
方式一：每次购买30元入场券．
方式二：办理实名制会员证150元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券18元．
(1)当小宁去游泳8次时，选哪种方式更划算？请说明理由；
(2)当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由．
解：(1)小宁去游泳8次时，选择方式一更划算．理由：
方式一需付款8×30＝240(元)，方式二需付款150＋8×18＝294(元)，240<294，所以选择方式一更划算；
(2)设小宁去游泳x次时，方式二比方式一划算．
根据题意得150＋18x<30x，解得x>12.5.∵x为整数，∴x最小取13.答：当小宁去游泳至少13次时，方式二比方式一划算．
“三月三”是广西壮族人民传统的节日，又称“歌圩节”．每年的“三月三”广西的各旅游景点都会迎来大量的游客．为了满足游客的需求，某景点礼品店准备购进A，B两种手工绣球，已知3个A种绣球和2个B种绣球进价共55元，6个A种绣球和5个B种绣球进价共130元．
(1)A种绣球和B种绣球每个进价各多少元？
(2)若该礼品店计划用至少8500元的金额购买A，B两种绣球共500个，则A种绣球最多能购进多少个？(共30张PPT)
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第5节 一次方程(组)及其应用
等式的性质
b±c
bc
一元一次方程及其解法
2（x＋2）＝20－5（x－1）
2x＋4＝20－5x＋5
2x＋5x＝20＋5－4
7x＝21
x＝3
【易错警示】
1．去分母：注意不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时，去分母后要加括号．
2．去括号：注意括号前是“－”号，去括号后原括号内的每一项都要变号．
3．移项：注意要变号.
4．合并同类项：注意合并过程中系数相加，字母及其指数不变．
5．系数化为1：注意不要漏掉符号，分子、分母不要颠倒．
2．一元一次方程解的应用：若x＝m是关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解，则km＋b＝0.
二元一次方程组及其解法
①④⑤
C
A
一次方程(组)的解法(2024.20)
－7
1
5
一次方程(组)的实际应用(2024.11，北部湾5年1考)
类型一 购买分配问题
等量关系：
总价＝单价×数量(总量＝单位量×数量)，
甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量＝总价，
甲数量＋乙数量＝总数量．
C
200
例4 一件商品如果按定价打九折出售利润率为20%，如果打八折出售可以盈利10元，则此商品的定价为____元．
类型三 工程问题
等量关系：
总工作量未定时，可设总工作量为单位1.
总工作量＝工作效率×工作时间，
总工作量＝各单位工作量之和．
例5 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两个工程队从两端同时施工，需要____天可以铺好这条管线．
8
类型四 行程问题
等量关系：路程＝速度×时间．
1．相遇问题(同时出发)
全路程＝甲的路程＋乙的路程，
甲的时间＝乙的时间，
全路程＝速度和×相遇所用的时间．
2．追及问题
同地不同时：前者走的路程＝追者走的路程．
同时不同地：前者走的路程＋两地间距离＝追者走的路程，
追及路程＝速度差×追及时间．
3．航行问题
顺水速度＝静水速度＋水流速度，
逆水速度＝静水速度－水流速度．
例6 甲、乙两人匀速骑车分别从相距60 km的A，B两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发2 h后相遇；若两人同向而行，则甲在出发6 h后追上乙．若设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，则得方程组为________________________.
例7 制作一张桌子要用1个桌面和4条桌腿，1根木材可以制作20个桌面或者制作400条桌腿．现有12根木材，要使制作出来的桌面和桌腿恰好都配成桌子，应利用多少根木材来制作桌面？( )
A．10 B．8 C．6 D．2
A
类型六 拓展问题
等量关系：
1．阶梯费用问题
总费用＝未超过部分费用＋超过部分费用，
未超过部分费用＝未超过部分单位费用×数量，
超过部分费用＝超过部分单位费用×数量．
2．比赛积分问题
总场数＝胜场数＋负场数＋平场数，
总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分．
例8 某校足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．那么该队胜了几场，平了几场？设该队胜了x场，平了y场，则根据题意可列方程组为_____________．
例9 出租车的收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米都需付7元车费)，超过3千米以后，每增加1千米，加收2元(不足1千米按1千米计).小王乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则小王的乘车路程为____千米．
9
