(共29张PPT)
第22节 与圆有关的位置关系
d＝r
d＜r
=
＜
垂直
等于
垂直
半径
平分
三角形的外接圆与内切圆
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是( )
A．20° B．40° C．70° D．140°
C
内
10
外
3．(一题多设问)如图，已知AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点．过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
(1)连接OD，若∠E＝40°，则∠AOD＝_______；
(2)若DE＝DB＝6，则∠E＝________，AB ＝______；
(3)若DE＝4，AE＝2，则OB＝____．
50°
30°
3
76
4．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝____°.
05．(一题多设问)在△ABC中，∠C＝90° ，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r长为半径作⊙C.
(1)若点A在⊙C外，则r的取值范围是________；
(2)若点A在⊙C上，则直线AB与⊙C的位置关系是_______；
(3)若△ABC只有两个顶点在⊙C内，则r的取值范围是________．
相交
3≤r<4
16
(2024.24，2023.23，北部湾5年4考)
考向1 切线的判定
类型一 切点确定，连半径，证垂直
【方法指导】当切点确定时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直
1．当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直．
2．当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角．
例1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.求证：AE是⊙O的切线．
证明：连接OA，∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，∵DA平分∠BDE，∴∠ODA＝∠EDA，
∴∠OAD＝∠EDA，∴EC∥OA，∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．
类型二 切点不确定，作垂直，证半径
【方法指导】当直线与圆的公共点不确定时，常用的方法：
1．当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线段等于半径．
2．当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用直角三角形的性质，来证明所作垂线段等于半径．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBD.∵∠C＝ ∠DEB ＝90°，BD＝BD，∴△CBD≌△EBD，∴CD＝ DE，∴DE是⊙D的半径，∴AB是⊙D的切线．
考向2 切线的性质及相关计算
例3 (一题多设问)在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，以BD为弦的⊙O交BC于点E，且BE为⊙O的直径，连接DE.
(1)如图①，求证：∠ABD＝∠CDE；
证明：∵BE为⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，
∴∠ADB＋∠CDE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABD ＋ ∠ADB ＝ 90°，∴∠ABD＝ ∠CDE；
(2)如图②，若∠CBD＝30°，BC＝8，求CD的长；
(4)如图④，⊙O交AB于点F，作FG⊥BC于点G，交BD于点H.若BC＝4EC，求cos ∠ABC的值；
(2023广西)如图，PO平分∠APD，PA与⊙O相切于点A，延长AO交PD于点C，过点O作OB⊥PD，垂足为B.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，OC＝5，求PA的长．(共16张PPT)
模型突破——辅助圆在解题中的应用
类型一 圆中的最值问题
模型一 点圆最值
平面内一定点D和⊙O，点E是⊙O上一动点，设点O与点D之间的距离为d ，⊙O的半径为r.当O，D，E三点共线时，线段DE有最大(小)值．
点D在⊙O内 点D在⊙O上 点D在⊙O外
DE最大 连接DO并延长交⊙O于点E
d＋r 2r d＋r
DE最小 连接OD并延长交⊙O于点E 点E与点D重合 连接OD交⊙O于点E
r－d 0 d－r
A
D
模型二 线圆最值
已知⊙O与直线l，P为⊙O上一动点，点P到直线l的距离为h，过圆心O作直线l的垂线，与直线l交于点P″，P′(P″Q>P′Q)，与直线l交于点Q.
直线与⊙O的位置 相离 相切 相交且不过圆心
图示
h的最大值 P″Q
h的最小值 P′Q 0
B
例3 (2019玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
类型二 辅助圆
模型一 定点定长
模型特点 图示 结论
同一平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定 点B在以点A为圆心，AB长为半径的圆上
OA＝OB＝OC 点A，B，C均在⊙O上
点E为定点，点F为BC上一动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF 点B′在以点E为圆心，EB长为半径的一段圆弧上运动
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________.
模型二 定弦定角
模型特点 图示 结论
同一平面内，点C为线段AB外一动点(不与点A，B重合)，且∠C为定值 当∠C＜90°时 点C的轨迹为优弧ACB
当∠C＝90°时 点C的轨迹为以AB为直径的⊙O
当∠C＞90°时 点C的轨迹为劣弧ACB
A(共16张PPT)
微专项——三种方法求与圆有关的阴影部分面积
C
例6 如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于点O，连接AO，则图中阴影部分的面积为____________．
4π－8
例7 (2024贵港一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针方向旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为____(结果保留π).
4π
C
B
π－2
头
A
B
F
B
D
C
D
0
C
B
4
C
F
口
0
D
B E
D
A
B
C
D
C
O
A
B
A
C
C
B
A
C
D
A
B(共25张PPT)
第21节 圆的基本性质
圆心
无数
圆心
相等
相等
平分
垂直
平分
注：求圆内两条平行弦间距离，要分弦在圆心同侧和弦在圆心异侧两种情况．
一半
直角
直径
【拓展笔记】(1)一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；(2)一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角．
互补
90°
26°
52°
27°
30°
60°
60°
30°
8
8
2
2．如图，点P是⊙O上一点，若∠AOB＝70°，则∠APB的度数为________．
145°
垂径定理及其推论的相关计算(2023.10，北部湾5年2考)
例1 (2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A．20 m B．28 m C．35 m D．40 m
B
D
例2 (易错题)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是_________cm.
2或14
圆周角定理及其推论的相关计算(2023.4，北部湾5年1考)
例3 (2023广西)如图，点A，B，C在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
D
D
例4 (2024南宁一模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝35°，则∠BPC的度数是( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
C
如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数是( )
A．110° B．115° C．120° D．125°
A
例5 (2024柳州三模)如图，弦AB，BC是⊙O内接正八边形的两条边，D是优弧AC上一点，则∠ADC的度数为( )
A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°
C(共20张PPT)
第23节 与圆有关的计算
弧长与扇形面积的计算
半径
等腰
4π
1．(一题多设问)如图，已知⊙O的半径为2，∠AOC＝120°.
(1)⊙O的周长为_____，面积为_____；
(2)扇形AOC的弧长为____；
(3)扇形AOC的面积为____．
4π
2．(一题多设问)如图，圆锥底面半径为4，母线长为12，侧面展开图的圆心角为α.
(1)这个圆锥底面圆的周长为____；
(2)侧面展开图的弧长为____；
(3)这个圆锥的高h＝_______；
(4)侧面展开图的面积为______；
(5)α的度数为__________．
8π
8π
48π
120°
3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠COD的度数是______．若⊙O的半径为3，则圆心O到边CD的距离为______，正六边形ABCDEF的周长为____，面积为________.
60°
18
(2024.24，2023.23，北部湾5年4考)
B
弧长、扇形面积的相关计算(北部湾5年3考)
例1 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占绿化园地的面积为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
例2 如图，已知半径为1的⊙O上有三点A，B，C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是_________．
例3 (2024柳州三模)若扇形的圆心角为60°，它的半径为3 cm，则这个扇形的弧长是____cm.
π
24π
圆锥的相关计算(北部湾5年1考)
例4 (2024南宁一模)一个圆锥的母线长为6，底面圆的直径为8，那么这个圆锥的侧面积是____．
(2024梧州二模)如图，圆锥底面圆的半径OA为3，母线与底面圆的夹角∠BAO＝45°，则该圆锥侧面积为________．
(2021北部湾)如图，从一块边长为2，∠A＝120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是____．
