(共16张PPT)
模型突破——折叠问题
模型一 折痕过对角线
图示 结论
点B′落 在矩形 外部 ①AF＝FC；
②△ABC≌△AB′C；
③△AB′F≌△CDF；
④△AB′F为直角三角形
10
例1 如图，已知矩形ABCD，将△DBC沿BD折叠得到△DBC′，BC′与AD交于点G，若矩形的周长为20 cm，则△ABG的周长为_______cm.
模型二 折痕过一顶点
图示 结论
点B′落在对角线AC上 ①△PBC≌△PB′C；
②△AB′P∽△ABC；
③△AB′P∽△CDA
点B′落 在边AD 上 ①△PBC≌△PB′C；
②△AB′P∽△DCB′
点B′落在矩形ABCD外部 ①△PBC≌△PB′C；
②△APF∽△B′GF∽△DGC
例2 如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan ∠DAE的值为____．
模型三 折痕过两边
图示 结论
折痕过 两邻边 点C′落在对角线AC上 △PCE∽△CBA
点C′落在边AD上，过点E作EH⊥AD △DC′P∽△HEC′
折痕过 对边 ①△ABE≌△A′B′E；
②四边形BFB′E为菱形
例3 (2024梧州一模)如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是____．
8
例4 (2024柳州三模)如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E，F分别是AD，BC边上的点，连接EF，将四边形ABFE沿着EF翻折得到四边形A′B′FE，使得点A′落在CD边上，与BC边交于点G.若AE＝2.4，BF＝1.2，则FG＝______．
1.8
1．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处．若∠A＝55°，则∠AEF的度数为( )
A.70° B．40° C．75° D．50°
A
2．(2024钦州一模)在正方形ABCD中，连接对角线AC，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，点B的对称点F落在AC边上，则tan ∠BEA的值为___________．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝15，点E为BC上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在C′处，连接AC′，若F，G分别是AC′，AB的中点，则FG的最小值为____．
4.5
4．如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点A落在长边CD上的点A′处，并得到折痕DE，小宇测得长边CD＝8，则四边形A′EBC的周长为____．
16
5．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝________．
6．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB的中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，若菱形边长为2，则点E到CD的距离为_________.
7．如图，正方形ABCD边长为6，点E为BC边中点，沿直线DE折叠，点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接BF，则△BEF的面积为_______．(共30张PPT)
第25节 视图与投影
实
虚
4.根据三视图还原几何体
首先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形．
1．立体图形的折叠：一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形也就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一个互逆过程．
正方形
矩形
扇形
三角形
3．正方体展开图的常见类型
注：示意图中数字相同的面为相对面．
4．立体图形上两点之间最短距离的求法：将立体图形展开转化为平面图形，或将曲面图形转化为平面图形，然后运用“两点之间，线段最短”并结合勾股定理求解．蚂蚁从A到B处沿杯壁爬行吃到蜂蜜的最短距离为AB.
A
1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是( )
2．下列不是正方体展开图的是( )
D
3．长方形的正投影不可能是( )
A．正方形 B．长方形
C．线段 D．梯形
D
4．有5个相同大小的小正方块，将这5个小正方块搭成如图所示的几何体，则该几何体的主视图是____，左视图是____，俯视图是____．
A
B
D
三视图的判断及还原(2024.4，北部湾5年2考)
考向1 三视图的判断
【易错警示】几何体三视图的判断首先要明确所求几何体视图的观察方向，对于有棱的部分要注意在视图中棱所对应的是实线还是虚线，无论是实线还是虚线，在视图中都不能遗漏.
例1 (2024广西)榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是( )
A
(2024南宁二模)如图放置的正六棱柱，其俯视图是( )
A
(2022贺州)下面四个几何体中，主视图为矩形的是( )
A
例2 (2022河池)下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( )
D
考向2 根据视图还原几何体
例3 (2021北部湾)如图是一个几何体的主视图，则该几何体是( )
C
例4 (2024南宁模拟)如图是某几何体的三视图，该几何体是( )
A．圆锥 B．球
C．长方体 D．圆柱
D
立体图形的折叠与展开
例5 (2024柳州模拟)如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“点”字一面的相对面上的字是( )
A．青 B．春 C．梦 D．想
D(共14张PPT)
模型突破——对称性质在最值中的应用
模型一 将军饮马
周 长 最 小 问题：点P是∠AOB内部的一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．
解决：
结论：最小值为线段P′P″的长
线段和最小 点在直线异侧
问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋ PB的值最小．
解决：
结论：最小值即为线段AB的长
点在直线同侧
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋ PB的值最小．
结论：最小值即为线段AB′的长
A
例2 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，点F为对角线AC上一点，则DF＋EF的最小值为____．
例3 (2024广西模拟)如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，连接PM，PN，MN.若OP＝5，则△PMN周长的最小值为____．
5
模型二 造桥选址
定长线段在一条直线上运动
问题：已知A，B两点位于直线l异侧，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，求M，N的位置，使得AM＋MN＋NB的值最小．
解决：
结论：最小值为A′B＋MN的值
定长线段的两端点分别在两条平行线上运动
问题：已知直线a∥b，点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，求AM＋MN＋NB的最小值．
解决：
结论：最小值为A′B＋MN的值
例4 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直)( )
D
1．在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是( )
A
2．(2021贵港)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝12，D为AC边上的一个动点，连接BD，E为BD上的一个动点，连接AE，CE，当∠ABD＝∠BCE时，线段AE的最小值是( )
A.3 B．4 C．5 D．6
B
3．(2024梧州一模)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D(3，2)，点P是对角线OC上的一个动点，已知A(－1，0)，则AP＋BP的最小值是____．
4．(2022贺州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F分别是AD，AB的中点，∠ADC的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则△PEF的周长的最小值为_____________．
5．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝8，E为AD的中点，点M为边CD上一动点，PE⊥EM，EN平分∠PEM，过点P作PG⊥EN，垂足为G，取EM的中点K，连接DK，KG，则DK＋KG＋PG的最小值为___________．
6．(2024钦州一模)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，BC＝3，DC＝4，点E在BC上，且BE＝1，F，G为边AB上的两个动点，且FG＝1，则四边形DGFE的周长的最小值为_________．(共25张PPT)
第24节 尺规作图
1．(一题多设问)如图，在△ABC中．
(1)如图①，根据作图痕迹，所作直线DE是___________________________，若BD＝2，则AD＝____；
线段AB的垂直平分线
2
(2)如图②，根据作图痕迹，所作射线AD是________________，若∠B＝50°，∠C＝60°，则∠BAD＝____；若点D到AB的距离为4，则点D到AC的距离为____；
∠BAC的平分线
35°
4
(3)如图③，根据作图痕迹，AD是_______________，若S△ABC＝4 ，BC＝4，则AD＝____；
BC边上的高
2
(4)如图④，根据作图痕迹，若∠BAC＝80°，∠C＝40°，则与∠DAE相等的角为____，∠DAE＝____；
∠B
60°
(5)如图⑤，根据作图痕迹，若∠BCA＝90°，AC＝1，BC＝2，则CD＝________．
1
根据作图痕迹判断结论及计算(北部湾5年3考)
A
(2022百色)如图是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是( )
A．∠B＝45° B．AE＝EB
C．AC＝BC D．AB⊥CD
9
例2 (2020北部湾)如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为( )
A．60° B．65° C．70° D．75°
B
60
尺规作图操作题(2024.23，2023.21)
例3 (2024广西)如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＞BC.
(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB＝8，求BE的长．
例4 (2023广西)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°.
(1)在斜边AC上求作线段AO，使AO＝BC，连接OB(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)；
(2)若OB＝2，求AB的长．
例5 (2024南宁模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，连接CD.
(1)作∠BCD的平分线交AB于点E(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母)；
(2)若∠A＝40°，求∠AEC的度数．(共32张PPT)
第26节 图形的对称、平移和旋转
对称轴
对称中心
全等
垂直平分
全等
重合
180°
重合
距离
旋转角
图形的变化
相等
相等
相等
全等
相等
旋转角
全等
全等
垂直平分
1．下列图形中，是轴对称图形的有①③④⑥⑦，是中心对称图形的有_______，是轴对称图形但不是中心对称图形的有_______，是中心对称图形但不是轴对称图形的有______，既是轴对称图形又是中心对称图形的有______(填序号).
①②⑤⑦
③④⑥
②⑤
①⑦
2．如图，在下列四个图形中，能由题图经过平移得到的图形是____，能由题图经过轴对称得到的图形是____，能由题图经过旋转得到的图形是________(填序号).
①
④
①②③
3．(一题多设问)如图，△ABC通过平移得到△A′B′C′，连接AA′.
(1)△ABC____△A′B′C′；
(2)AC与A′C′的数量关系为___________，位置关系为___________；
(3)若∠B＝50°，则∠A′B′C′＝_______°；
(4)若AB＝5，BC＝5，AC＝6，B′C＝1，则A′B′＝____，AA′＝____，A′C′＝____，四边形ABC′A′的周长为______．
≌
AC＝A′C′
AC∥A′C′
50
5
4
6
24
4．(一题多设问)如图，点P是正方形ABCD内一点，CD＝13，连接AP，BP，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转，直到点A与点C恰好重合，点P的对应点为P′，延长AP交CP′于点E，若CE＝7.
(1)旋转角的度数为______，∠CP′B＝______；
(2)BP____BP′(填“>”“＝”“<”)，四边形BPEP′的形状是__________；
(3)EP的长为____；
(4)△CBP′的面积为______．
90°
90°
＝
正方形
5
30
5．(一题多设问)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝8，点E，F分别为AB，AC上的点，连接EF，将△ABC沿EF折叠，点A的对应点A′恰好落在BC边上，连接AA′，当EF∥BC时．
(1)AA′与EF之间的位置关系为__________；
(2)∠A′EF＝______，∠AFA′＝________；
(3)A′E＝____，点A′到AC的距离为____；
(4)△A′EF的周长为________，四边形A′FAE的面积为____．
AA′⊥EF
30°
120°
6．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，O为平面直角坐标系的原点．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3，4)，B(1，2)，C(3，0).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2并写出点B2的坐标；
(3)将△ABC关于y轴对称后得到△A3B3C3，请画出△A3B3C3并写出点C3的坐标．
解：(1)如图，
△A1B1C1即为所作，点A1的坐标为(7，4)；
(2)如图，△A2B2C2即为所作，点B2的坐标为(2，－1)；
(3)如图，△A3B3C3即为所作，点C3的坐标为(－3，0).
例1 (2023广西)下列数学经典图形中，是中心对称图形的是( )
A
对称图形的判断(2024.2，2023.2，北部湾5年2考)
例2 (2024广西)端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是( )
B
图形的变化(2023.26，北部湾5年6考)
A
C
如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝2，则△ADE的周长为( )
A．6 B．9 C．12 D．15
考向2 与旋转相关的计算
例4 (2024南宁模拟)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，此时边AC′经过点B.若AB＝4，AC＝7，则BC′的长是( )
A.5
B．4
C．3
D．2
C
(2022河池)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C′.在此旋转过程中，Rt△ABC所扫过的面积为( )
A．25π＋24 B．5π＋24
C．25π D．5π
A
(2022贵港)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜180°)得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是______．
50°
考向3 图形的平移
例5 (2022北部湾)2022北京冬残奥会的会徽是以汉字“飞”为灵感来设计的，展现了运动员不断飞跃，超越自我，奋力拼搏，激励世界的冬残奥精神．下列的四个图中，能由如图所示的会徽经过平移得到的是( )
D
(1，3)
