(共27张PPT)
数 学
第四章 三角形
模型突破——三角形中的辅助线
类型一 遇角平线如何添加辅助线
模型一 运用角平分线性质定理作垂线
条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM，PB⊥ON分别交OM，ON于点A，B
图示
结论 ①PA＝PB；②OA＝OB；
③△APO≌△BPO
例1 如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为____．
3
模型二 延长垂线构造等腰三角形
条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B
图示
结论 ①PA＝PB；②△AOB为等腰三角形；
③Rt△APO≌Rt△BPO
例2 (2024广西模拟)如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD.若BD＝1，BC＝3，则AC的长为____．
5
模型三 作平行线构造等腰三角形
条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON交OM于点Q
图示
结论 ①△OQP为等腰三角形；
②PQ＝OQ
例3 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为____．
6
模型四 构造对称图形
条件 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB
图示
结论 ①PA＝PB；②△APO≌△BPO
例4 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，连接DE，已知∠A＝70°，则∠CED的度数为________.
110°
类型二 遇中点如何添加辅助线
模型一 构造中位线
情形一 当图形中出现两个及两个以上的中点时，考虑连接两个中点构造中位线
情形二 当图形中出现一个中点时，考虑过该中点作平行线或再取一边中点构造中位线
例5 (2024贵港模拟)如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E，F分别是AC，AD的中点，连接EF.已知BC＝12，则EF的长为( )
A.3 B．4 C．5 D．6
A
例6 如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，D是BC的中点，AE⊥BE，AB＝5，AC＝3，则DE的长为____．
1
模型二 构造中线
情形一 遇到等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解决问题
图示
情形二 遇到直角三角形斜边上中点时，考虑作斜边上的中线
图示
例7 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，作DE⊥AC于点E，F是AB的中点，连接EF交AD于点P.若AB＝4，AE＝3，则AP的长为_______.
模型三 构造中垂线
条件 如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，且ED⊥BC，连接CE
图示
模型四 构造倍长中线或倍长类中线
情形一 如图，AD是BC边的中线，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，则△ACD≌△EBD
图示
情形二 如图，点D是BC边的中点，点E是AB边上一点，延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF，则△BDE≌△CDF
图示
例9 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是BC边上的中线，则AD长的取值范围是( )
A.6
C.1C
1．(2024柳州三模)如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A.15 B．12 C．8 D．6
B
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E.若AC＝4，CE＝5，则CD的长为_______.
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝_________．
4．(2024桂林一模)如图，在等边△ABC中，AB＝6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长为____．
3
5．(2024南宁模拟)如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC的中点，AE是BC边上的高．若AE＝2，CE＝1，则DE＝______．
6．(2024钦州一模)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是____．
7．(2024贵港模拟)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，连接CH.若AB＝CH，AH＝6，则CH的长为_____．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于点D，OE⊥OB交BC于点E，BC＝4，AC＝3，求△CDE的周长．(共13张PPT)
数 学
第四章 三角形
模型突破——解直角三角形实际应用的常考模型
模型一 背靠背型
例1 (2024贵港四模)如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝50，则点A到BC的距离为______(结果精确到0.1.参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84).
38.5
模型二 母子型
模型三 拥抱型
头
模型
通过在三角形内作高，构造两个直角三角
分析
形，其中公共边（高）是解题的关键
基础图形
图形演变一
图形演变二
B
C E
图示
D
A
B
A
D
B
E
CD是公共边，
CD=EF.CE
CD是公共边，
CE=DA,
总结
DF,AB
AB-AD+BD
CD=EA,
AD+CE+FB
BA=BD+DA
C
A
B
B
□
口
万
④
的
45°-
后
D
C
通过在三角形外作高，构造有公共直角
模型
的两个三角形，其中公共边（高）是解题
分析
的关键
B
基础
D
图形
A
C
B
D
--C
AD是公共边，AD=AC-CD
E
B
B
A
C
图形
D
A
演变
E
矩形AEFC→AC=EF,
EC-BC=BE
AE=CF,
BF=BC+CF=BC+AE
E
E
B(D)
F
B
图形
演变
矩形BCGF→BC=FG,
矩形BCGF→BC=
BF=CG,
FG.BF=CG,
·.EF+BC=EG,
.AC+BF=AG,
BD+DF=BF,
EF+BC=EG
AC+BD+DF=AG
C
D
C
B
E
D
若两个直角三角形有一条公共边，则分
模型
别解两个直角三角形，其中公共边是解
分析
题的关键
基础图形
图形演变一
图形演变二
D
图示
A
G
B
BF
EC
B
C(F E
AB=GE,
BC为公
BF+FE+
AG=BE,
总结
共边
CE=BC
BC+CE=AG.
AB+DG=DE(共15张PPT)
数 学
第四章 三角形
微专项——利用垂线段最短求最值
类型一 一动一定
例1 如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP.
(1)线段BP的最小值为____；
(2)若以AP，BP为邻边作 APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为____．
类型二 两动一定
A
类型三 一动两定(胡不归问题)
问题 如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一动点，点P为直线l上一动点，要使kPA＋PB(0＜k＜1)的值最小．
解题 方法 (1)一找：找带有系数k的线段PA；
(2)构造：以线段PA为斜边的直角三角形．
①以定点A为顶点作∠PAN，使sin ∠PAN＝k；
②过动点P作垂线，构造Rt△APE；
(3)转化：将kPA转化为PE；
(4)求解：使得kPA＋PB＝PE＋PB，利用“垂线段最短”转化为求BF的长
C
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点，若CD＝5，则DE的最小值是( )
A．2.5 B．4 C．5 D．10
B
3．(2024南宁三模)如图，∠AOB＝60°，点C，D在射线OA上，且OC＝4，CD＝2，P是射线OB上的动点，Q是线段DP的中点，则线段CQ的最小值为_______．
4．如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一点，以DE为边作等边△DEF，连接AF，则AF的最小值为____．
5
(2024贵港二模)如图，一束光从点C出发，经过平面镜AE反射后沿与AB平行的射线DF射出(此时有∠1＝∠2).若测得∠3＝100°，则∠A等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
A
6(共20张PPT)
数 学
第四章 三角形
第18节 解直角三角形及其应用
锐角三角函数
1．定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则：
2．特殊角的三角函数值
解直角三角形
sin B
2．应用常识
(1)仰角和俯角(如图①)：
北偏东30°
南偏东60°
西北(北偏西45°)
1．计算：sin 45°＝____，cos 30°＝____，cos 60°＝____．
2
6
3．如图，若△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tan A＝____．
(2023.17，北部湾5年5考)
A
B
例2 (2023广西)如图，焊接一个钢架，包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱，则共需钢材约____m(结果取整数．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75).
21
例3 (2021北部湾)如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为_____________米(结果保留根号).
头
特殊角的三角函数值
仰角、俯角
正弦
方位角
余弦
定义
解直角三角形
应用
坡度
正切
常见模型
实物图
B
C
■
A
b
C
a
30°
45°
60°
1
2
√3
sina
2
2
2
3
1
COSQ
④
2
2
2
tang
⑤
1
3
3
B
C
A
b
C
视线
铅垂线
仰角
水平线
俯角
视线
图①
北个
C
45
30%
东
60
B
图
②
铅直高度
坡面
0以
水平宽度
图③
37
3
m
A
D
B
A
45
60
B(共30张PPT)
数 学
第四章 三角形
第15节 等腰三角形与直角三角形
等腰三角形的性质及判定
1．性质
(1)两腰①_______，两底角②_______．
(2)顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合(简称“三线合一”)．
(3)是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴为底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线．
注：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等．
相等
相等
两角
等边三角形的性质及判定
1．性质
(1)三条边相等．
(2)三个内角相等，且每一个角都等于④_______.
(3)每条边上的高线、中线、角平分线均重合(“三线合一”).
(4)是轴对称图形，有3条对称轴，对称轴为任一条边上的高(中线或角平分线)所在的直线．
2．判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是⑤_______的等腰三角形是等边三角形．
60°
60°
直角三角形的性质及判定
1．性质(1)两锐角之和等于⑥________．(2)斜边上的中线等于斜边的⑦_________．(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧________．(4)勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则⑨__________．(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°(注：应用时需证明).
90°
一半
一半
a2＋b2＝c2
2．判定
(1)有一个角是⑩________的三角形是直角三角形．
(2)有两个角 _______的三角形是直角三角形．
(3)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形(注：应用时需证明).
(4)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形．
90°
互余
等腰直角三角形的性质及判定
1．性质
(1)两条直角边相等．
(2)两底角相等且都等于45°.
(3)斜边上的高把它分成两个小的等腰直角三角形．
(4)一条直角边与斜边长的比为 __________．
(5)是轴对称图形，有一条对称轴．
2．判定
(1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形．
(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
(3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形．
(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形．
1．(一题多设问)在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，点E为AC上一点．
(1)如图①，若∠BCA＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B的度数为__________，∠EDC的度数为_______；
(2)在△ABC中，若一边长为3，一边长为4，则△ABC的周长为_________；
(3)若AB＝10，BC＝12，则△ABC的面积为_____，边AC上的高为_______；
(4)如图②，若∠ABC＝60°，AB＝8，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE.则∠BAD的度数为___________，DE的长为_____,△ABC的面积为_______；
(5)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥AB，求证：△ADE为等腰三角形．
证明：∵△ABC是等腰三角形，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠EDA，∴∠DAE＝∠EDA，∴EA＝ED，∴△ADE是等腰三角形．
56°
18°
10或11
48
30°
4
2．(一题多设问)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上的高和中线．
66°
48°
6
等腰三角形的性质及相关计算(2023.17，2023.24，北部湾5年3考)
例1 (2022梧州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是( )
A.∠ADC＝90° B．DE＝DF
C.AD＝BC D．BD＝CD
C
C
例2(2024桂林一模)如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝16°，则∠A的度数为( )
A.28° B．30° C．32° D．32.5°
40
例3 (2024南宁模拟)如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处．从海岛A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°，则从海岛B到灯塔C的距离____n mile.
直角三角形的性质及相关计算(2023.21(2)，北部湾5年3考)
例4 (2022贺州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为( )
A.34°
B.44°
C.124°
D.134°
A
(2024广西模拟)如图，在一个高为3米、长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )
A.4米 B．5米 C．7米 D．8米
C
例5 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝6，F是线段DE上一点，连接AF，CF，EF＝3DF.若∠AFC＝90°，则BC的长度是( )
A.6 B．8 C．10 D．12
B
(2024广西模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.若∠ABC＝60°，AE＝6，则BC等于______．
分类讨论
例6 等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则顶角为_____________．
例7 若直角三角形的两边长分别为6 cm，8 cm，则斜边上的中线长为_________．
80°或40°
4cm或5cm
例8 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是BC上的中点，点P是边AB上的动点，若要使△BPD为直角三角形，则BP＝__________.(共26张PPT)
数 学
第四章 三角形
第13节 线段、角、相交线与平行线
直线与线段
角及角平分线
1．比较角的大小：周角(360°)＞平角(180°)＞钝角(90°＜α＜180°)＞直角(90°)＞锐角(0°＜α＜90°).
2．度、分、秒的换算：1°＝60′，1′＝60″，度、分、秒是60进制的．
3．余角、补角
(1)余角：若∠1＋∠2＝①_______，则∠1与∠2互为余角；
(2)补角：若∠1＋∠2＝②_______，则∠1与∠2互为补角；
(3)性质：同角(等角)的余角③_______，同角(等角)的补角④_______．
90°
180°
相等
相等
4．角平分线(如图①)
(1)定义：若从一个角的顶点引出一条射线把这个角分成两个相等的角，则称这条射线为这个角的平分线(射线OC为∠AOB的平分线).
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离⑤______(PM＝⑥____).
(3)逆定理：在角内部，到角两边距离相等的点在角平分线上．
相等
PN
相交线
1．三线八角(如图②)
相等
180°
对顶角 举例 ∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8
性质 对顶角⑦_______
邻补角 举例 ∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠5与∠6等
性质 邻补角之和等于⑧________
同位角 ∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
内错角 ∠2与∠8，∠3与∠5
同旁内角 ∠2与∠5，∠3与∠8
2.垂线
(1)垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有⑨____条直线与已知直线垂直．
(2)垂线段的性质：直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
3．垂直平分线(如图③)
(1)性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离⑩____(PA ____PB，QA ____QB).
(2)逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的 ___________上．
一
相等
＝
＝
垂直平分线
平行线
一
1．基本事实
(1)公理：过直线外一点，有且只有 ____条直线与已知直线平行．
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．若a∥b，a∥c，则b∥c.
注：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
相等
平行
互补
命题与反证法
1．命题：判断一件事情的语句．
2．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
3．假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
4．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题．原命题成立，其逆命题不一定成立．
5．反证法：首先假设原命题不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证．
6
1．如图所示，长为12 cm的线段AB的中点为M，点C将线段MB分为MC和CB，且MC∶MB＝1∶3，则AM＝____cm，BC＝____cm，AC＝____cm ，图中共有____条线段．
4
8
6
2．如图，已知a∥b，∠1＝∠2＝60°，∠4＝65°，则∠3 ＝________，∠5＝______，∠6＝_______，a与c的位置关系是________．
65°
60°
125°
a∥c
3．如图，从学校A到书店B最近的路线是①号路线，得出这个结论的根据是_____________________．
两点之间，线段最短
4．(一题多设问)如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，点E在OM上，EF⊥OA，点G，H在直线OA上．
(1)若∠BOD＝66°，则∠AOC＝____°，∠BOC＝____°，∠COM＝____°，∠CON＝____°；
(2)若EF＝8，则点E到OC的距离为____；
(3)线段EG，EF，EH，EO中最短的是____；
(4)若点F是GH的中点，EG＝5，则EH＝____.
66
114
33
57
8
EF
5
角的相关计算(2024.6)
C
例1 (2024广西)如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
C
(2024南宁模拟)将一副三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1＝70°，则∠2的度数是( )
A．10° B．15° C．20° D．25°
相交线与平行线(2024.13，2023.7，北部湾5年2考)
35
例2 (2024广西)已知∠1与∠2为对顶角，∠1＝35°，则∠2＝_____°.
例3 (2023广西)如图，一条公路两次转弯后又回到与原来相同的方向，∠A＝130°，那么∠B的度数是( )
A．160° B．150° C．140° D．130°
D
B
(2024南宁一模)如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF.若∠1＝107°，则∠2的度数为( )
A．63° B．73° C．83° D．107°
(2024贵港二模)如图，一束光从点C出发，经过平面镜AE反射后沿与AB平行的射线DF射出(此时有∠1＝∠2).若测得∠3＝100°，则∠A等于( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
A
命题
B
例4 (2024柳州三模)下列命题是真命题的是( )
A．相等的角都是对顶角
B．两直线平行，内错角相等
C．如果ab＜0，那么ab两数同号
D．如果a2＝b2，那么a＝b
下列命题中：
①直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；
②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有理数与数轴上的点一一对应；
⑤圆周率是一个无理数．
其中是真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A(共11张PPT)
数 学
第四章 三角形
模型突破——相似三角形的常考模型
模型一 A字型
模型分析 两个三角形若有“一个公共角＋一对等角”，则出现“A”字型相似
例1 (2024防城港二模)如图，P是 ABCD内一点，连接P与 ABCD各顶点． EFGH各顶点分别在边AP，BP，CP，DP上，且AE＝2EP，EF∥AB.若 ABCD的面积为27，则△PEF与△PGH的面积和为____．
模型二 8字型
模型分析 两个三角形若有“一对对顶角＋一对等角”，则出现“8”字型相似
6
模型三 一线三等角型(K型)
模型分析 一条直线上有三个相等的角(∠APD＝∠B＝∠C，利用三角形外角性质可得∠1＝∠2)
图示
结论 △ABP∽△PCD
模型四 旋转型(手拉手型)
模型分析 等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转，得相似三角形
图示
结论
例4 如图，平行四边形ABCD，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E，且∠EDB＝∠C.
(1)求证：△ADE∽△DBE；
(2)若DC＝9 cm，BE＝16 cm，求DE的长．
模型五 对角互补型
模型分析 构造相似三角形，一般利用角度互补关系找等角，从而得三角形相似
图示
结论 如图①，△ODE∽△OHF；
如图②，△OAE∽△OMF
A(共30张PPT)
数 学
第四章 三角形
第17节 相似三角形(含位似)
比例线段
成比例
相似三角形的性质及判定
1．性质
(1)相似三角形的②__________相等，对应边成比例．
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比都等于③_______．
(3)相似三角形的周长比等于④________，面积比等于⑤_______________．
2．判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(2)三边对应⑥________的两个三角形相似．
(3)两边对应成比例且⑦_______相等的两个三角形相似．
(4)⑧________分别相等的两个三角形相似．
(5)斜边和一条直角边对应⑨_________的两个直角三角形相似．
对应角
相似比
相似比
相似比的平方
成比例
夹角
两角
成比例
相似多边形及其性质
1．定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．性质
(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．
(2)相似多边形的周长比等于⑩_________，面积比等于 ________________．
相似比
相似比的平方
位似图形
1．定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点的连线都经过同一点，且对应边互相平行，那么这样的两个多边形叫做位似图形，对应点连线的交点叫做位似中心．
2．性质
(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，面积比等于位似比的平方．
(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点(位似中心)．
(3)位似图形对应边平行(或共线)且成比例．
(4)位似图形对应角相等．
(5)在平面直角坐标系中，若一个图形与原图形位似，位似中心是原点，且位似比为|k|(k≠0)，那么这个图形的每个顶点的横、纵坐标都等于原图形对应顶点的坐标乘k或－k.
3．位似作图的基本步骤
(1)确定位似中心和位似比．
(2)确定关键点，通常为图形的顶点．
(3)以位似中心为端点向各关键点作射线，分别在射线上根据位似比确定各关键点对应点的位置．
(4)按原图顺次连接所作的各个顶点，得位似图形．
D
1．下列各组线段中，成比例的是( )
A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm
C．1 cm，2 cm，3 cm，5 cm
D．1 cm，2 cm，5 cm，10 cm
D
2．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于( )
A．70° B．80° C．110° D．120°
1∶2
3．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则这两个相似三角形的周长比是_______，面积比是_______．
1∶4
4．如图，已知三条直线l1，l2，l3互相平行，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AB的长为____．
4
(4，1)
4
△ACB
△ABC
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
相似三角形的相关计算(北部湾5年5考)
B
例1 (2020北部湾)如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
A
相似三角形的应用(北部湾5年1考)
例2 (2022北部湾)古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是______米．
134
(2024柳州三模)如图，这是小孔成像的示意图，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A，B的对应点分别是C，D).若物体AB的高为6 cm，实像CD的高度为4 cm，则小孔O的高度OE为_______cm.
D
位似的性质
(2024柳州模拟)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA∶OD＝2∶5，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为( )
A．12 B．18 C．20 D．30
C
分类讨论
一、图形大小的不确定而产生的分类讨论
例4 两个相似三角形的面积比为4∶9，其中一个三角形的周长为12 cm，则另一个三角形的周长是____________cm.
8或18
二、图形(点)位置的不确定而产生的分类讨论
【易错警示】如果两个相似三角形没有用“∽”符号连接，而是用“与”连接，此时说明两个相似三角形的对应角和对应边不确定，需要进行分类讨论．(共11张PPT)
数 学
第四章 三角形
第16节 全等三角形
1．性质
(1)全等三角形的对应边①_______，对应角②_______.
(2)全等三角形的周长③_______，面积④________.
(3)全等三角形对应的角平分线、中线、高线、中位线都相等．
相等
相等
相等
相等
2．判定(北部湾5年4考)
注：“AAA”和“SSA”不能判定两个三角形全等．
1．(一题多设问)如图，在横线上添加适当的条件使得△AEC≌△DFB(不添加任何辅助线)，并说明判定方法．
(1)已知EA∥DF，AE＝DF.
①添加条件：_________________________，判定方法为SAS；
②添加条件∠E＝∠F(或∠ACE＝∠DBF)，判定方法为________________；
AB＝CD(或AC＝DB)
ASA(或AAS)
(2)已知AE＝DF，EC＝FB.
①添加条件：_______________________，判定方法为SSS；
②添加条件：____________，判定方法为SAS；
③添加条件：________________________________________，判定方法为HL；
AB＝CD(或AC＝DB)
∠E＝∠F
∠A＝∠D＝90°(或∠ECA＝∠FBD＝90°)
(3)已知EA∥DF，EC∥BF.
①添加条件：____________________，判定方法为ASA；
②添加条件：____________________，判定方法为AAS；
(4)已知EC∥BF，AE ＝DF.添加条件：_________________________________，判定方法为________．
AC＝BD(或AB＝DC)
AE＝DF(或CE＝BF)
∠E＝∠F(或∠A＝∠D或AE∥DF)
AAS(共18张PPT)
数 学
第四章 三角形
第14节 一般三角形
三角形的分类
三角形的性质
1．内角和定理：三角形的内角和等于①_____．如图①，∠1＋∠2＋∠3＝②______．
2．外角和定理：三角形的外角和等于③____.如图①，∠4＋∠5＋∠6＝④_______．
3．内外角关系：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．如图①，∠6＝⑤____＋⑥____．
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．如图①，(∠6⑦___∠2，∠6⑧____∠3)
180°
180°
360°
360°
∠2
∠3
>
>
4．三边关系：三角形的任意两边之和⑨____第三边，任意两边之差⑩____第三边．如图②，a＋b ____c，a－b ____c.
5．边角关系：同一个三角形中，大角对长边，小角对短边，等角对等边．
【拓展笔记】三角形三边关系的应用
1．三条线段能否组成三角形，只需判断较短的两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度．
2．已知三角形两边的长为a，b，则第三条边的长c的取值范围是|a－b|＜c＜a＋b.
大于
小于
>
<
三角形中的重要线段
1．高线
2.中位线
3.中线
4．角平分线
5.垂直平分线
44°
16
8
4
4(3)如图①，若DE垂直平分AC.
①若∠ADC＝88°，则∠C＝____，∠ADE＝________；
②若AB＝7，BC＝10，则△ABD的周长为____；
46°
17
44°
8
5或7(共23张PPT)
数 学
第四章 三角形
模型突破——全等三角形的常考模型
模型一 平移型
模型分析 沿同一直线(BC)平移可得两个三角形重合
图示
解题思路 ①加(减)公共部分CE，得BC＝EF； ②利用平行线性质找对应角相等
例1 (2024柳州模拟)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，BC＝EF，AC＝DF，BC∥EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求证：AB∥DE.
模型二 轴对称型
模型分析 所给图形沿公共边所在直线或经过公共顶点的某条直线折叠，两个三角形完全重合
图示 共顶 点
公共边
解题思路 ①找公共角、垂直、对顶角、等腰等条件得对应角相等； ②找公共边、中点、相等角、相等边、线段的和差等条件得对应边相等
例2 (2024广西模拟)有一个平分角的仪器如图所示，其中AB＝AD，BC＝DC.求证：AC平分∠BAD.
模型三 旋转型
模型分析一 不共顶点旋转：绕一点(非顶点)旋转一定的角度后，再平移可得两个三角形全等
图示
解题思路 ①利用公共边的和差变化推出等边；
②利用平行线的性质推出等角
模型分析二 共顶点旋转(手拉手模型)：绕着公共顶点旋转一定的角度，可得两个三角形全等
图示 无重叠
有重叠
解题思路 遇到公共夹角，则应用角的和差转化成一组相等的角
例3 如图，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外作等边△ABM与等边△ACN，连接MC，BN.求证：BN＝MC.
例4 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：∠BEA＝∠BFC.
模型四 一线三等角型
模型 特点 一线：经过三个等角顶点的直线(AB)； 三等角：∠1＝∠2＝∠3
图示 锐角 直角 钝角
拓展模型 (三垂直型)
例5 如图，在正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若BE＝CF＝5，则BG的长为________．
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠ADE＝40°，点D在线段BC上且DC＝AB，连接AD，DE与AC交于点E.求证：△ABD≌△DCE.
模型五 对角互补型
模型特点 90°对角互补
∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD
图示 过点D分别作BA，BC的垂线 将BD绕点D逆时针旋转90°得到线段DF
结论 ①△DEA≌△DFC； ②S四边形ABCD＝S正方形EBFD
模型特点 120°，60°互补
∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD
图示 过点D分别作BA，BC的垂线 将BD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE
结论 △DEA≌△DFC ①△BDE为等边三角形；
②△ABD≌△CED；
③AB＋BC＝BD
例7 如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若S四边形DEBF＝9，则AB的长为____．
6
模型六 半角型
模型特点 含45°的旋转半角 含60°的旋转半角
AB＝AD，∠BAD＝90°，∠EAF＝45° BD＝CD，∠EDF＝60°，∠BDC＝120°
图示 将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG 将△BDE绕点D顺时针旋转120°得到△CDG
结论 ①△AEF≌△AEG； ②EF＝DF＋BE； ③△AGF为等腰直角三角形 ①△DEF≌△DGF；
②EF＝CF＋BE
例8 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( )
A．2α B．90°－2α
C．45°－α D．90°－α
A
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°.过点A作AE⊥BC，垂足为E，延长EA至点D.使AD＝AC.在边AC上截取AF＝AB，连接DF.求证：DF＝BC.
2．如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
3．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C.且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．