(共21张PPT)
数 学
第20节 矩形、菱形、正方形
课时1 矩 形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2．性质
(1)边：对边平行且相等．
(2)角：四个角都是①________．
(3)对角线：两条对角线互相平分且相等．
(4)对称性：矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，有②______条对称轴，对称中心是两条对角线的交点．
3．判定
(1)有一个角是③_______的平行四边形是矩形．
(2)有三个角是④________的四边形是矩形．
(3)对角线⑤________的平行四边形是矩形．
直角
两
直角
直角
相等
4．面积公式：S＝ab(a，b分别表示矩形的长和宽).
5．矩形中面积的常见关系
1．已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是( )
A．OA＝OC B．AC＝BD
C．DA⊥AB D．∠OAB＝∠OBA
A
1．(一题多设问)如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝3，BC＝4，则BD的长为____，点A到BD的距离为____；
(2)若∠AOD＝120°，AB＝4，则∠ACB的度数为_________，矩形的周长为______________，矩形的面积为___________；
5
30°
(3)若点E，F分别为OB，BC的中点，若BD＝8，则EF的长为____；
(4)若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积为______；
(5)若点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，当AB＝3，BC＝5时，则tan ∠FEC的值为____．
2
12
2.如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加条件____(填序号)不能判定平行四边形ABCD为矩形．
①OA＝OC
②AC＝BD
③DA⊥AB
④∠OAB＝∠OBA
①
3．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，BE∶ED＝1∶3，若AB＝2，则AD＝____．
(北部湾5年3考)
A
A
例3 (2021贺州)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝_______．
45°
例4 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE.
(1)求证：△ADE≌△BDF；
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．
(1)证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∵AE∥BC，∴AE∥DC，∵AE＝DC，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形；(共24张PPT)
数 学
第五章 四边形
第19节 平行四边形与多边形
平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．性质
(1)边：两组对边分别①_________________．
(2)角：两组对角分别相等，四组邻角分别②______________．
(3)对角线：两条对角线③__________________．
(4)对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过对称中心的直线平分平行四边形的周长和面积．
平行且相等
互补
互相平分
3．判定
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)两组对边分别④___________的四边形是平行四边形．
(3)一组对边⑤_________________的四边形是平行四边形．
(4)对角线⑥_______________的四边形是平行四边形．
(5)两组对角分别⑦_____________的四边形是平行四边形．
4．面积公式：S＝ah(a，h分别表示边长及边上的高).
相等
平行且相等
互相平分
相等
5．平行四边形中面积的常见关系
(n－2)×180°
360°
相等
相等
相等
n
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AO＝CO，BO＝DO
B．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠DCB
C．AB∥CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD＝BC
D
2．(一题多设问)已知n(n≥3)边形．
(1)若n边形的内角和等于1800°，则这个多边形的边数n＝_____，外角和为________，共有______条对角线；
(2)若n边形为正十边形，则内角和是_________，每一个内角是_______，每一个外角是_____，有______条对称轴，_____轴对称图形(填“是”或“不是”)，_____中心对称图形(填“是”或“不是”).
12
360°
54
1440°
144°
36°
10
是
是
3．(一题多设问)如图，在 ABCD中，E是对角线BD的中点，过点E作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N，连接BM，DN，连接MC，交DN于点F，交BD于点G.
(1)求证：四边形BNDM是平行四边形；
证明：∵在 ABCD中，E是对角线BD的中点，∴BE＝DE，AD∥BC，AD＝BC，∴∠MDE＝∠NBE，∠DME＝∠BNE，∴△MDE≌△NBE(AAS)，∴DM＝BN.又∵DM∥BN，∴四边形BNDM是平行四边形；
(2)求证：△ABM≌△CDN；
证明：由(1)得AD＝BC，DM＝BN，∴AM＝CN.∵在 ABCD中，∠A＝∠BCD，AB＝CD，∴△ABM≌△CDN(SAS)；
(3)若NM平分∠BND，当∠MBD＝25°，∠CDN＝15°，则∠A的度数为__________；
(4)若△ABM的周长为10，则 ABCD的周长为______；
115°
20
＝
多边形的性质与计算
例1 (2024南宁二模)正五边形的外角和为( )
A．72° B．180° C．360° D．540°
例2 中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和为( )
A．1080° B．900° C．720° D．540°
C
A
若一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形的边数是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
B
平行四边形的证明及相关计算(北部湾5年3考)
例3 (2024南宁一模)如图，在 ABCD中，AB＝8，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点C作CF⊥BE于点F，交AD于点G，若AG＝GE，则BC的长为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
C
例4 (2024贺州一模)如图，在平行四边形ABCD中，BC＝10，AC＝8，BD＝14，△AOD的周长是____．
12
例5 (2020北部湾)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
(2022桂林)如图，在 ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE.
(1)求证：BE＝DF；
(2)求证：△ABE≌△CDF.(共19张PPT)
数学
第20节 矩形、菱形、正方形
课时3 正方形
正方形
1．定义：四条边都①________，四个角都是②________的四边形叫做正方形．
2．性质
(1)边：对边平行，四条边相等．
(2)角：四个角都是直角．
(3)对角线：两条对角线互相垂直平分且③__________．
(4)对称性：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，有④______条对称轴．
相等
直角
相等
四
3．判定
(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
(2)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．
(3)有一组邻边相等的⑤____________是正方形．
(4)对角线互相⑥________的矩形是正方形．
(5)有一个角是直角的⑦________是正方形．
(6)对角线⑧_______的菱形是正方形．
矩形
垂直
菱形
相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1．包含关系
2．转化关系
中点四边形
1．定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形．
2．常见的中点四边形
【拓展笔记】
(1)判断一个四边形的中点四边形形状的关键是判断其两条对角线的位置关系和数量关系．
(2)无论原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形
1．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D
2．若正方形ABCD的周长为8，则对角线AC的长为______，面积为______．
3．有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD.从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形(如图).现在文文选择了②③，你认为文文选择的_______(填“对”或“不对”).
4
不对
45°
4
2
4
2
4
(2024.17，北部湾5年3考)
正方形的相关计算(2023.18)
A
中点四边形(2024.12)
D
例2 (2022玉林)若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是( )
A．互相平分 B．互相垂直
C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等
例3 (2024广西)如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为( )
A．1 B．2 C．5 D．10
C
如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为18 cm，顺次连接各边中点E，F，G，H得四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为______cm.
36(共14张PPT)
模型突破——十字模型
模型一 正方形中的十字模型
例1 (2019河池)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
例2 如图，在正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，点M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上，若MN⊥EF，MN＝10 cm，则EF＝______cm.
10
模型二 矩形中的十字模型
C
1．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为( )
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
C
2．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB，CD于点E，F.若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝____．
如图，在 ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BD，BC相交于点E，O，F，连接BE，DF，求证：四边形EBFD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵O是BD中点，∴BO＝DO，∵∠EOD＝∠BOF，∴△DEO≌△BFO(ASA)，∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．(共18张PPT)
数学
第20节 矩形、菱形、正方形
课时2 菱 形
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．性质
(1)边：对边平行，四条边①________．
(2)角：对角相等．
(3)对角线：两条对角线互相②____________．
(4)对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，有③______条对称轴，对称轴是对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点．
3．判定
(1)有一组邻边④_______的平行四边形是菱形．
(2)四条边相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相⑤______的平行四边形是菱形．
相等
垂直平分
两
相等
垂直
5．菱形中面积的常见关系
1．如图，要判定 ABCD是菱形，需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．BC＝BD
C．AC＝BD D．AB＝BC
D
2. (一题多设问)如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若∠ABC＝120°，则∠ACD＝__________；
(2)若AC＝8，BD＝4，则AB＝______，菱形ABCD的周长为______，菱形ABCD的面积为______；
(3)若∠BCD＝60°，BD＝3，则△ABD为_______三角形，对角线AC的长为______；
(4)若E为DC的中点，连接OE，当OE＝2时，则菱形ABCD的周长为______；
(5)若sin ∠ABD＝ ，且AC＝4，则菱形ABCD的面积为______．
30°
16
等边
16
(2024.17，北部湾5年3考)
例1 (2022河池)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
C
例2 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，EF与AC相交于点O，连接BO.若∠DAC＝36°，则∠OBC的度数为( )
A．36° B．54°
C．64° D．72°
B
例3 (2024广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为_______cm.
(2019北部湾)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝______．
例4 如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC中选择1个条件__________________(写序号)，能使得四边形ADEF为菱形，判定依据是：________________________________，并加以证明．
③(答案不唯一)
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
如图，在 ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF.
(1)求证： ABCD是菱形；
(2)若AB＝5，AC＝6，求 ABCD的面积．
