(共20张PPT)
数 学
第一章 数与式
第2节 数的开方与二次根式
平方根、算术平方根、立方根
注：平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是0和1，立方根等于本身的数是0和±1.
二次根式的有关概念
≥
分母
二次根式的性质
a
a
－a
二次根式的运算
非负数
x≥－3
x≥1且x≠3
2
－2
4
±2
1.5
5
36
2
1
－2
3
二次根式及其性质(北部湾5年3考)
D
C
D
C
3
D
二次根式的运算(北部湾5年1考)
7
解：原式＝9－3＋2×3＝9－3＋6＝12.
B
二次根式的估值(2024.14)
2(答案不唯一)
头
平方根
性质
应用
开平方
有意义的条件
开方
算术平方根
二次根式
定义
最简二次根式
开立方
立方根
运算(共32张PPT)
数 学
第一章 数与式
第3节 代数式、整式与因式分解
列代数式及其求值
1.列代数式的基本模型
（1）原量a增加（减少）10%为① ____________；原量a的n倍多（少）m为② _________ .
（2）原价a的八折为③ ______ ；按原价a提高x%后再打七五折为④ _______________ .
（3）x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为⑤ ___________ 元．
a（1±10%）
an±m
0.8a
0.75a（1＋x%）
（ax＋by）
2．代数式求值的常用方法
直接代入法 把字母所表示的数值直接代入求值
整体代入法 (1)观察已知条件和所求代数式的关系；(2)通过提公因式、公式法等，将所求代数式变形为与已知代数式成倍数关系；(3)把已知代数式看成一个整体代入求值
3.简单的数列规律
(1)自然数列型：若一列正整数：1，2，3，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑥___，这n(n≥1)个数的和为⑦_________．
(2)奇偶型：若一列数：1，3，5，7，9，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑧_________，这n(n≥1)个数的和为⑨_______．
若一列数：2，4，6，8，10，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是⑩_____，这n(n≥1)个数的和为 __________．
n
2n－1
n2
2n
n(n＋1)
(3)正负交替型：若一列数：－2，2，－2，2，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 __________．
(4)平方型：若一列数：1，4，9，16，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 ___.
(5)固定累加型：如一列数：4，7，10，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 _________.
(6)乘积型：若一列数1，3，6，10，……，依照此规律，则第n(n≥1)个数是 __________．
(7)循环规律型：若坐标系中一点绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，则旋转 ___次为一个循环；每次旋转90°则旋转 ___次为一个循环；每次旋转45°，则旋转 ___次为一个循环．
(－1)n2
3n＋1
n2
4
6
8
整式的相关概念
整式的运算
1．整式的加减运算
(1)合并同类项：字母和字母的指数不变，同类项的 ______相加减作为新的系数．如3xy2＋2xy2＝5xy2.
(2)去括号法则：括号前为“＋”，去括号后每一项都不变号；括号前为“－”，去括号后每一项都要变号．如a＋(b＋c)＝a＋b＋c，a－(b－c)＝a－b＋c.
系数
2.幂的运算(m，n为正整数)
同底数幂相乘 am·an＝ _______
同底数幂相除 am÷an＝ ______（a≠0，且m>n）
幂的乘方 （am）n＝ ______
积的乘方 （ab）n＝ ______
am＋n
am－n
amn
anbn
3.整式的乘法
(1)单项式乘单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，结果作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
如2a2b·2a3＝(2×2)·a2＋3·b＝4a5b.
(2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如m(a＋b)＝ _____________．
(3)多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝ ___________________.
ma＋mb
ac＋ad＋bc＋bd
(4)乘法公式
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ________．
几何背景：
完全平方公式：(a＋b)2＝ _________________．(a－b)2＝ _______________．
几何背景：
a2－b2
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
4．整式的除法
(1)单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，结果作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如4a2b÷2a＝(4÷2)·a2－1·b＝2ab.
(2)多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.如(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m＝a＋b.
5．整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行计算．
因式分解
m（a＋b－c）
(a＋b)(a－b)
a±b）2
2．一般步骤
注：因式分解的结果一定是几个整式的积的形式．
C
A
2．下列各式中，与2a2b为同类项的是( )
A．－2a2b B．－2ab C．2ab2 D．2a2
3．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．x(2a＋1)＝2ax＋x
B．x2－2x＋4＝x(x－2)＋4
C．x2－36＋9x＝(x＋6)(x－6)＋9x
D．m2－n2＝(m－n)(m＋n)
D
4．(一题多设问)填空：
(1)每天完成的工作量为a，则要完成工作总量为m的工作所需天数为____天；
(2)某种橘子的售价是每千克3元，用面值为100元的人民币购买了a千克该种橘子，应找回____________元；
(3)某商品原价为a元，如果按原价的七五折销售，那么售价是_________元；
(4)培根在《论学问》中说“阅读可以使人充实”．爱好阅读的小宁前年读了m本书，去年阅读数量是前年的2倍，则小宁去年阅读了_______本书．
(100－3a)
0.75a
2m
1
3
19
nx2n－1
7．计算：
(1)a2＋a2＝____；
(2)－b·b3＝_______；
(3)x8÷x2＝____；
(4)(5x3y)2＝__________；
(5)(－a2b)3＝__________；
(6)2x3·(－5xy2)＝____________；
(7)10ab3÷(－5ab)＝__________；
(8)a(－2a＋b)＝____________；
(9)(x＋1)(x－2)＝__________；
(10)(－x－y)(－x＋y)＝_________；
(11)(x－2y)2＝________________．
2a2
－b4
x6
25x6y2
－a6b3
－10x4y2
－2b2
－2a2＋ab
x2－x－2
x2－y2
x2－4xy＋4y2
整式的运算(2023.8，北部湾5年5考)
例1 (2023广西)下列计算正确的是( )
A．a3＋a4＝a7 B．a3·a4＝a7
C．a4÷a3＝a7 D．(a3)4＝a7
(2024广西模拟)下列运算错误的是( )
A．－3(a－b)＝－3a＋3b
B．3xy2－xy2＝2xy2
C．(a＋b)2＝a2＋b2
D．(－mn3)2＝m2n6
B
C
x2－y2＋y2－2y
x2－2y
(2024南宁一模)先化简，再求值：[(x＋2y)2－(x＋2y)(x－2y)]÷4y，其中x＝1，y＝－1.
解：原式＝[x2＋4xy＋4y2－(x2－4y2)]÷4y＝(x2＋4xy＋4y2－x2＋4y2)÷4y＝(4xy＋8y2)÷4y＝x＋2y，
当x＝1，y＝－1时，原式＝1＋2×(－1)＝－1.
因式分解(2023.14，北部湾5年3考)
例3 (2022河池)多项式x2－4x＋4因式分解的结果是( )
A．x(x－4)＋4 B．(x＋2)(x－2)
C．(x＋2)2 D．(x－2)2
例4 (2023广西)分解因式：a2＋5a＝___________．
(2024南宁一模)因式分解：2x2－18＝______________.
D
a(a＋5)
2(x＋3)(x－3)
代数式求值(2024.10)
例5 (2024广西)如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2＋ab3的值为( )
A．0 B．1 C．4 D．9
D
(2022北部湾)阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．”可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式4a2＋4ab＋b2＋4a＋2b－1的值是____.
14
规律探索(北部湾5年2考)
例6 (2020柳州)如图，每一幅图中有若干个菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3菱形，第3幅图中有5个菱形，依照此规律，第6幅图中有____个菱形．
11
例7 (2020北部湾)观察下列一行数：4，1，－8，1，16，1，－32，1，64，1，－128，1，…，则第19个数与第20个数的和为_________．
－2047(共36张PPT)
数 学
第一章 数与式
第1节 实 数
实数的分类
循环
不循环
有限
实数的相关概念
1．数轴
(1)三要素：
(2)④______和数轴上的点是一一对应的．
(3)两点间的距离：用右边的点表示的数减去左边的点表示的数．
实数
2．相反数
(1)实数a的相反数是⑤____．特别地，0的相反数是⑥____.
(2)实数a，b互为相反数 a＋b＝⑦____．
(3)几何意义：数轴上表示相反数(0除外)的两个数在原点两侧，且到原点的距离⑧_______.
－a
0
相等
0
－a
±1
1
科学记数法
1．表示形式：a×10n(1≤|a|＜10，n为整数)．
2．a的确定：a的整数位只有一位．如原数为8500时，a为8.5.
3．n的确定
(1)|原数|≥10：n为正整数且等于原数整数位数减1.如原数为8500时，n为3.
(2)0＜|原数|＜1：n为负整数，其绝对值为原数左起第一个非零数前所有零的个数(包括小数点前的零).如原数为0.0085时，n为－3.
【拓展笔记】常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104.常用的计量单位有：1 mm＝10－3m，1μm＝10－6m，1 nm＝10－9m．
近似数和精确度
1.近似数：与实际接近但存在一定偏差的数．
2.精确度：一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．如1.4145精确到0.01为1.41，精确到0.001为1.415.
实数的大小比较
实数的运算
1
b－a
（－b）
3．实数混合运算的步骤
(1)先计算每小项(如：零次幂、负整数指数幂、根式运算、－1的整数次幂、乘方、求绝对值、开方等).
(2)再根据实数的运算顺序计算：先乘除，后加减；有括号的先计算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序进行运算．
(3)最后得出计算结果．
1．(一题多设问)如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点．
(1)点D表示的数是____；
(2)到原点距离相等的点是________，点C，E之间的距离是____；
(3)如果点A，B，C，D所对应的数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系为_____________________________；
(4)最小的正数对应的点是____，绝对值最小的数对应的点是____，点C表示的数的倒数是_______，点E表示的数的相反数是____；
(5)将点C向右平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，表示的数是_______；
3
C和D
c＜b＜a＜d(或d>a>b>c)
－1
1
A
B
2
2.用科学记数法表示下列各数．
（1）22100000＝ ___________ ；
（2）114.37万＝ ______________ ；
（3）29亿＝ ___________ ；
（4）0.000191＝ ____________ ；
（5）34 μm＝ ___________ m.
2.21×107
1.1437×106
2.9×109
1.91×10－4
3.4×10－5
3.用四舍五入法对下列各数取近似数．
(1)0.5629（精确到千分位）≈ _______ ；
(2)2.7548（保留两位小数）≈ _______ ；
(3)4.965（精确到0.1）≈ _____ ．
0.563
2.75
5.0
＞
＞
＞
＞
①⑤⑧
①④⑥
①④⑤⑥⑧
②③⑦⑨⑩
－3
5
－6
－4
1
－1
9
－1＋3－2＋(－8)÷4
－1＋3－2－2
－2
实数的分类(2023.1，北部湾5年3考)
C
A
D
A
实数的相关概念(北部湾5年4考)
A
C
A
科学记数法(2024.3；北部湾5年4考)
例8 (2024广西)广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科学记数法表示为( )
A．0.849×109 B．8.49×108
C．84.9×107 D．849×106
例9 (2022贵港)据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28 nm.已知1 nm＝10－9m，则28 nm用科学记数法表示是( )
A．28×10－9m B．2.8×10－9m
C．2.8×10－8m D．2.8×10－10m
B
C
实数的大小比较(2024.1)
例10 (2024广西)下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是( )
A．北京－4.6 ℃ B．上海5.8 ℃
C．天津－3.2 ℃ D．重庆8.1 ℃
(2024南宁一模)下列各数中，最大的是( )
A．－3 B．0 C．2 D．|－1|
A
C
例11 (2024贵港二模)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A．a＞0 B．a＜b C．b－1＜0 D．ab＞0
B
实数的运算(2024.19，2023.19，北部湾3年3考)
例12 (2024广西)计算：(－3)×4＋(－2)2.
解：原式＝－12＋4＝－8.
例13 (2023广西)计算：(－1)×(－4)＋22÷(7－5).
解：原式＝(－1)×(－4)＋4÷2＝4＋2＝6.(共20张PPT)
数 学
第一章 数与式
第4节 分 式
分式的相关概念及性质
b≠0
a＝0且b≠0
不等于0
不变
公因式
分式的化简及求值
4．解题步骤
(1)有括号的，先算括号里面的，括号内如果是异分母分式的加减运算，需先将异分母分式通分化为同分母分式，再将分子合并同类项．
(2)有除法运算的，将除法运算变为乘法运算．
(3)对于分式乘法运算，利用因式分解、约分计算．
(4)按照运算顺序，从左到右进行分式加减运算，直到化为最简分式．
(5)将所给的数值代入求值．
C
A
＝－3
＝2
－1
2n2
分式的性质(2023.3，北部湾5年2考)
A
－3
分式的化简与求值(北部湾5年2考)
－2，0，2
1
头
运用
分式化简求值
分式的意义
乘除法
相关概念
乘方
分式的运算
分式
分式值为0
基本性质
加减法
关键
依据
通分
约分
.C
b
用于通分
用于约分
