专题六 几何探究题 课件（共50张PPT） 2025年中考数学人教版一轮复习考点探究(广西)

(共50张PPT)
数 学
专题六　几何探究题
类型一　与旋转有关
(2024.26)
例1 (2024广西)如图①，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点M，O，CO平分∠ACB.
(1)求证：△ABC∽△CBO；
证明：∵MO垂直平分AC，∴OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，∵CO平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠OCB，∴∠A＝∠OCB，
∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBO；
(2)如图②，将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A′OC′，旋转角为α(0°<α<360°)，连接A′M，C′M.
①求△A′MC′面积的最大值及此时旋转角α的度数，并说明 理由；
②当△A′MC′是直角三角形时，请直接写出旋转角α的度数．
【思路引导】从问题出发，要证△ABC∽△CBO，已知两个三角形有一个公共角，则只需证一角相等即可；
【思路引导】△A′MC′的底A′C′是定长，所以只要找到边A′C′上的高的最大值就可求出△A′MC′面积的最大值；
【思路引导】只有可能是∠A′MC′＝90°，由特殊三角形和旋转的性质猜测当点C′与A重合时和当A′与C重合时满足∠A′MC′＝90°，进而求旋转角即可．
1．(2024南宁一模)【情境呈现】在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图①所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠DBE＝30°，BD＝AC＝4.他把三角板ABC固定好后，将三角板DEB从图①所示的位置开始绕点B按顺时针方向旋转，每秒转动5°，设转动时间为t秒(0＜t≤30).
【问题应用】
(1)请直接写出图①中线段AD的值；
(2)如图②，在三角板DEB旋转的过程中，连接AD，当四边形ACBD是矩形时，求t的值；
【问题探究】
(3)如图③，在三角板DEB旋转的过程中，取AD的中点G，连接CG，CG是否存在最大值？若存在，请求出CG的最大值，并直接写出此时的t值；若不存在，请说明理由．
解：(1)线段AD的值为4；
(2)当四边形ACBD是矩形时，如解图①，此时∠CBD＝90°.
∵∠ABC＝30°，∴∠ABD＝∠CBD－∠ABC＝60°，即旋转角为60°，∴t＝60÷5＝12(秒)，∴t的值为12秒；
解：(1)①b＝－4a；
②∵函数图象经过点(1，3)，∴a＋b＋c＝3，∵b＝－4a，∴c＝3a＋3，∴抛物线的解析式为y＝ax2－4ax＋3a＋3.
∵点(x1，y1)，(x1＋2，y2)在抛物线y＝ax2－4ax＋3a＋3(a＞0)上，∴y1＝ax12－4ax1＋3a＋3，y2＝a(x1＋2)2－4a(x1＋2)＋3a＋3，
∴y1＋y2＝2ax12－4ax1＋2a＋6＝2a(x1－1)2＋6，
∵a＞0，∴y1＋y2的最小值为6；
2．(2024山西)【问题情境】如图①，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F.
【猜想证明】
(1)判断四边形AECF的形状，并说明理由；
【深入探究】
(2)将图①中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H.
①当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N.如图②，猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q.若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积．
解：(1)四边形AECF为矩形．
理由如下：∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠AFC＋∠ECF＝180°，∴∠ECF＝180°－∠AFC＝90°，∴四边形AECF为矩形；
(2)①CH＝MD.理由如下：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.∵△ABE旋转得到△AHG，∴AB＝AH，∠B＝∠H，∴AH＝AD，∠H＝∠D.
∵∠HAM＝∠DAC，∴△HAM≌△DAC(ASA)，∴AM＝AC，
∴AH－AC＝AD－AM，∴CH＝MD；
类型二　与折叠有关
(2023.26)
例2 (2022北部湾)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】如图①，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B′，E′，展平纸片，连接AB′，BB′，BE′.请完成：
(1)观察图①中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；
解：(1)∠1＝∠2＝∠3；
(2)证明(1)中的猜想；
证明：设AM，EF交于点O，
由题意得EF是AB的垂直平分线，AM是BB′的垂直平分线，AB＝AB′，∴AB′＝BB′，OA＝OB＝OB′，∴AB′＝BB′＝AB，O为△ABB′的外心，∴∠ABB′＝60°，∴∠1＝∠2＝30°.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠3＝90°－60°＝30°，∴∠1＝∠2＝∠3；
【类比操作】如图②，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B′，P′，展平纸片，连接BB′，P′B′.请完成：
(3)求证：BB′是∠NBC的一条三等分线．
证明：如图，设l与EF交于点O，连接OP′，OP，OB，PB′，同理(2)得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，∴∠P′BO＝∠B′BO，∠OBB′＝∠BB′O，
∵EF∥BC，∴∠OB′B＝∠B′BC，∴∠P′BO＝∠B′BO＝∠B′BC，∴BB′是∠NBC的一条三等分线．
【思路引导】设AM，EF交于点O，可推出点O是等边三角形ABB′的外心，从而得出∠1和∠2的度数，进一步得出结论；
【思路引导】设l与EF交于点O，连接OP′，OP，OB，PB′.同理(2)可得OB＝OB′＝OP＝OP′，BP′＝PB′＝BB′，从而得几组相等的角，根据EF∥BC得出一组等角，等量代换即可得证．
3．(2024钦州一模)【问题情境】如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，该怎么办呢？
【实践探究】小西进行了以下操作研究(如图①)：
第1步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．
第2步：再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN.
小雅在小西研究的基础上，再次动手操作(如图②).
(1)直接写出BE和BN的数量关系：________________；
(2)请求出∠ABM的度数；
(3)求证：四边形BGHM是菱形．
(3)证明：由(1)(2)知∠NBM＝∠ABM＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠CBN＝30°，∴∠MBN＝∠CBN＝30°.由翻折可知∠BNM＝∠A＝90°，∴∠BNM＝∠BNG＝90°，∵BN＝BN，
∴△BNM≌△BNG(ASA)，∴BM＝BG，
∵AD∥BC，∴∠BHM＝∠CBN＝30°，∴∠BHM＝∠MBN＝30°，
∴BM＝HM，∴BG＝HM，∵AD∥BC，
∴四边形BGHM是平行四边形，
∵BM＝HM，∴四边形BGHM是菱形．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，∴∠QAO＋∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，∴∠ADO＋∠OAD＝90°，∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ(ASA)，∴AE＝DQ.
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，∴DQ∥GF，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴GF＝DQ，∵AE＝DQ，∴AE＝FG；
类型三　与动点有关
(北部湾5年2考)
例3 (2022北部湾)已知∠MON＝α，点A，B分别在射线OM，ON上运动，AB＝6.
(1)如图①，若α＝90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A′，B′，D′，连接OD，OD′.判断OD与OD′有什么样的数量关系？证明你的结论；
(2)如图②，若α＝60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离；
(3)如图③，若α＝45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．
【思路引导】根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”分别求出OD，OD′的长，进而得出结论；
【思路引导】作△AOB的外接圆⊙I，观察图形，找出点O与点C距离最大时，点O′的位置，结合已知条件进而求得结果；
【思路引导】作等腰直角三角形AIB，以点I为圆心，AI长为半径作⊙I，取AB的中点C，连接CI并延长交⊙I于点O，此时△AOB的面积最大，进一步求得结果．
5．(2024广西模拟)【探究与证明】学校开展艺术作品展示活动，九年级数学兴趣小组制作菱形木质框架时(如图①)，通过平移支架开展数学探究，探索数学奥秘．
【动手操作】菱形框架固定不动，在AC上平移支架∠EGF的顶点G.
如图①，在菱形ABCD中，已知∠B＝∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC，CD于点E，F.
如图②，当顶点G运动到与点A重合时，观察图中EC，CF和BC，试猜想这三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
6.(2024贵州)如图，∠AOB＝90°，点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA于点A.
【操作判断】
(1)如图①，过点P作PC⊥OB于点C，根据题意在图①中画出PC，图中∠APC的度数为______度；
【问题探究】
(2)如图②，点M在线段AO上，连接PM，过点P作PN⊥PM交射线OB于点N，求证：OM＋ON＝2PA；
(1)解：如图①，PC即为所求；90；
(2)证明：如图②，过P作PC⊥OB于点C.
由(1)知四边形OAPC是矩形，
∵点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA，PC⊥OB，∴PA＝PC，∴矩形OAPC是正方形，∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，
∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，
又∠MAP＝∠NCP＝90°，AP＝CP，∴△APM≌△CPN(ASA)，
∴AM＝CN，∴OM＋ON＝OM＋OC＋CN＝OM＋AM＋OC＝OA＋OC＝2AP，∴OM＋ON＝2PA；
【拓展应用】
(3)在(1)的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图③.已知AC＝6，设AD＝x，四边形CDFE的面积为y.
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当BF＝2时，请直接写出AD的长度．