专题五 二次函数综合题 课件(共44张PPT)2025年中考数学人教版一轮复习考点探究(广西)

(共44张PPT)
数 学
专题五　二次函数综合题
类型一　函数性质综合题
(2024.25)
例1 (2024广西)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
(1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时y的值；
解：①把a＝－4代入y＝x2＋2ax＋a－3，得y＝x2＋2×(－4)x＋(－4)－3＝x2－8x－7；
②∵y＝x2－8x－7＝(x－4)2－23，∴当x＝4时，y有最小值，最小值为－23；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x＝－a, 就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
(2)请结合函数解析式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理？
解：y＝x2＋2ax＋a－3＝(x＋a)2－a2＋a－3，∵抛物线的开口向上，∴当x＝－a时，y有最小值．∴甲的说法合理；
(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【思路引导】①代入a的值即可求出解析式；②利用顶点坐标公式即可求解；
【思路引导】化简解析式，根据二次函数最值性质判断；
【思路引导】当x＝－a时，化简解析式，根据二次函数最值性质判断．
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝t.
(1)当t＝2时，
①写出b与a满足的等量关系；
②当函数图象经过点(1，3)，(x1，y1)，(x1＋2，y2)时，求y1＋y2的最小值；
(2)已知点A(－1，m)，B(3，n)，C(x0，p)在该抛物线上，若对于3＜x0＜4，都有m＞p＞n，直接写出t的取值范围．
解：(1)①b＝－4a；
②∵函数图象经过点(1，3)，∴a＋b＋c＝3，∵b＝－4a，∴c＝3a＋3，∴抛物线的解析式为y＝ax2－4ax＋3a＋3.
∵点(x1，y1)，(x1＋2，y2)在抛物线y＝ax2－4ax＋3a＋3(a＞0)上，∴y1＝ax12－4ax1＋3a＋3，y2＝a(x1＋2)2－4a(x1＋2)＋3a＋3，
∴y1＋y2＝2ax12－4ax1＋2a＋6＝2a(x1－1)2＋6，
∵a＞0，∴y1＋y2的最小值为6；
3.(2024深圳)为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设BD的读数为x，CD读数为y，抛物线的顶点为C.
(1)列表：
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
描点：请将表格中的(x，y)描在图②中；
连线：请用平滑的曲线在图②将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图③，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a(x－h)2＋k的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为AB，竖直跨度为CD，且AB＝m，CD＝n，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程．
方案一：将二次函数y＝a(x－h)2＋k平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为y＝ax2.
①此时点B′的坐标为___________；
②将点B′坐标代入y＝ax2中，解得a＝____(用含m，n的式子表示)；
方案二：设C点坐标为(h，k).
①此时点B的坐标为_____________________；
②将点B坐标代入y＝a(x－h)2＋k中解得a＝____(用含m，n的式子表示)；
(3)【应用】如图④，已知平面直角坐标系xOy中有A，B两点，AB＝4，且AB∥x轴，二次函数C1：y1＝2(x＋h)2＋k和C2：y2＝a(x＋h)2＋b都经过A，B两点，且C1和C2的顶点P，Q距线段AB的距离之和为10.若AB∥x轴且AB＝4，求a的值．
类型二　利用函数解决几何问题
(2023.24，北部湾5年2考)
例2 (2023广西)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD＝BE＝CF.
(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合(2)所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．
【思路引导】由题意易得AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，然后根据SAS可进行求证；
【思路引导】易证△ADF≌△BED≌△CFE，观察图形可知S△DEF＝S△ABC－3S△ADF，分别求出△ABC的面积和△ADF的面积，进而可求解；
【思路引导】由(2)和二次函数的性质可进行求解．
类型三　以抛物线为背景
(北部湾5年3考)
考向1　线段问题
6．(2022北部湾)已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).
(1)求点A，点B的坐标；
(2)如图，过点A的直线l：y＝－x－1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；
(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y＝a(－x2＋2x＋3)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
解：(1)A(－1，0)，B(3，0)；
(2)易知抛物线对称轴为x＝1，∴设P(1，m)，
由－x2＋2x＋3＝－x－1得x1＝－1，x2＝4，当x＝4时，y＝－5，
∴C(4，－5).
由PA2＝PC2得22＋m2＝(4－1)2＋(m＋5)2，解得m＝－3；
解：(1)点A(－2，0)，点B(4，0)；
(3)在(2)中PD＋PE 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位长度，F为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点G，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以F，G，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．