2024-2025学年上海市普陀区曹杨中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区曹杨中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则“为纯虚数”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
3.在直三棱柱的棱所在直线中，与直线异面的直线条数为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 函数在区间内有三个零点
B. 函数是函数的一个极值点
C. 曲线在点处的切线斜率小于零
D. 函数在区间上是严格减函数
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知其中为虚数单位，则______．
6.已知，则 ______．
7.函数的最小正周期 ．
8.已知向量，，且，则 ______．
9.已知复数，其中为虚数单位，则 ______．
10.若圆柱的轴截面面积为，则它的侧面积为______．
11.函数在处的切线方程为______．
12.已知圆锥的母线长为，底面直径，则沿着侧面从点到点的距离最小值是______．
13.已知，则 ______．
14.已知是边长为的正六边形上或其内部的一点，则的取值范围为______．
15.如图所示，已知一个半径为的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点为半圆弧的中点，该几何体的体积为______．
16.已知关于的不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量，．
若与的夹角为，求实数的值；
若，求向量在向量上的投影向量．
18.本小题分
如图，在正四棱柱中，，．
求与底面所成角；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求的面积；
若，求．
20.本小题分
如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
若，，求二面角的大小．
21.本小题分
求函数的极小值；
若，函数为上严格增函数，求实数的取值范围；
已知，，且只有一个极大值点，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：因为，，
所以，，，
若与的夹角为，则且，
可得，解得或舍去，
所以实数的值为；
若，则，解得，
可得，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
18.解：由题意得，与底面所成角为，
在中，，
，
故A与底面所成角为；
四棱柱为正四棱柱，
，
，
，
设点到平面的距离为，
则，
即，
解得，
所以点到平面的距离为．
19.解：，
，
；
，由正弦定理可得，
，，
，可能为锐角可能为钝角，为锐角，
，
当为锐角，，
，
当为钝角，，
，
或．
20.解：证明：因为，分别为棱，的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为为圆的直径，所以．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
由知，所以平面，又平面，
所以平面平面．
以为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系，
因为，，所以，，，，
中点即为，
设面的法向量为，
则，可得，
令，则，，
所以，
又面的法向量可表示为，
所以，
即二面角的大小为．
21.解：因为，所以，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值为，
所以函数的极小值为；
因为函数为上严格增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
设，，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，所以，
所以实数的取值范围为；
因为，，
所以，，
因为函数只有一个极大值，故恒成立或方程有两个不同的根．
若恒成立，即在上恒成立，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
此时函数只有一个极大值点，满足题意，所以此时，
根据第一问可知，所，
令，，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增；时，时；时，如图，
若方程有两个不同的根，，则，
显然，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，
因为只有一个极大值点，所以只能，，
即是的一个根，此时，
时，，
令，解得；令，解得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，满足题意；
综上，．
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