2024-2025学年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市新疆实验中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆实验中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线：经过点，则的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.若两直线：与：间的距离为，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.在空间四边形中，若，分别是，的中点，是上的点，且，记，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点纵坐标为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点是直线：上的动点，过点作圆：的两条切线，切点为，，则四边形面积的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点若的中点坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量共面
10.若曲线与直线有两个交点，则实数的值可能为( )
A. B. C. D.
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．
如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线过点，其左、右焦点分别为，若从发出的光线经双曲线右支上一点反射的光线为，点处的切线交轴于点，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 过点且垂直于的直线平分
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆与圆相交于，两点，则 ______．
13.椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为______．
14.在四面体中，平面，平面，，异面直线与的夹角，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：过定点．
求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
设为：上的一个动点，求中点的的轨迹方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知点为抛物线：的焦点，过的直线交于点，当的斜率为时，．
求的方程；
已知圆：，若直线与，都相切，求直线的方程．
18.本小题分
在四棱锥中，平面，，，，为的中点，点在上，且，设点是线段上的一点．
求证：平面；
若，判断，，，四点是否共面，说明理由．
19.本小题分
已知椭圆：的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为，，是椭圆左右顶点，过，做椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点，在的左侧，并过，两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于．
求椭圆的标准方程．
若，直线与的斜率分别为与，求的值．
求证：．
参考答案
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15.解：因为直线：，即，
所以直线恒过定点，
若截距不为，不妨设直线方程为，代入，得，
此时直线方程为，
若截距为，即直线经过原点，则，解得，
此时直线的方程为，
则求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．
设，，
则，得到，所以，
又点在上，所以，
整理得，
故的轨迹方程为．
16.解：证明：取中点，连接，，
为的中点，
，，又，，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面；
因为，取得中点，连接，则，
又因为侧面底面，平面平面，平面，
所以平面，
又，，为中点，连接，则，
如图建系：
，，，
，，
设平面一个法向量为，
则，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
所以平面与平面所成线二面角的余弦值为．
17.解：由抛物线：的焦点，
当的斜率为时，直线方程为，联立抛物线的方程，消去，可得，
设，的纵坐标分别为，，可得，
则，解得，
则抛物线的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，设为，方程为，
由直线与圆：相切，可得，
化为，
联立，可得，由直线与抛物线相切，可得，
即，
由，解得，或，，
则直线的方程为，或，或．
18.解：证明：因为平面，平面，
所以，
又因为，又，平面，平面，
所以平面．
在底面中，过作，交于，
由题意可知，又平面，
则以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
可得，，，
若平面，则，且，使得，
则有，解得，
故，
所以直线平面，
即可得，，，四点共面．
19.解：由题意：，解得，
所以椭圆的标准方程为：．
设过点的切线方程为：，即，
联立，消去并整理得：，
由，
整理得：，所以．
证明：设，的延长线交轴于点，如图：
、两点处切线斜率分别为，，则，
设点的椭圆的切线方程为：，
联立，消去并化简整理得：，
由得，，
化简整理得：，
由韦达定理得：，，
所以，，
所以要证明，只需证明，
即
，
因为，所以上式成立，
即成立．
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