选择必修第二册 第四章 4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）课件（24页ppt）

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选择必修2
第四章 数列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解等差数列通项公式与与前n项和公式的关系，并能熟练运用这些公式． 1.逻辑推理素养和数学运算素养.
2.掌握等差数列前n项和的性质及其应用． 2.逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
1.等差数列的通项公式
an=a1+(n-1)d.
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为
2.等差数列前n项和的公式
. ⑴
. ⑵
公式⑵可化为.
温故知新
已知是等差数列，公差为，
⑴{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列.即，…()是公差为md的等差数列.
⑵数列(b为常数，b≠0)是公差为bd的等差数列;
⑷{ban＋c}(b，c是常数)是公差为bd的等差数列．
⑸若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列．
⑶{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列；
3.等差数列的性质
⑹若数列{an}是等差数列，p , q , s , t∈N*,且p+q=s+t.则ap+aq=as+at.
知新探究
已知数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r,其中p，q，r为常数，且p0，任取若干组p，q，r，在电子表格中计算a1,a2,a3,a4,a5的值(如图，给出p=1，q=2，r=0的情况)，观察数列{an}的特点，研究它是怎样一个数列，并证明你的结论.
图中的电子表格A列中A1,A2,A3分别p，q，r的值，B列、C列分别是相应的Sn和an的值.
知新探究
由数列的前n项和定义可知， ,因此，由Sn=pn2+qn+r可以推证.
.
当n≥2时，
∴当r=0时，数列{an}是首项为p+q，公差为的2p等差数列；当r≠0时，数列{an}从第2项开始，构成等差数列.
=2pn-p+q.
当n=1时，a1=S1=p+q+r,
证明：
∴,
结论：若数列{an}的前n项和Sn是一个不含常数项的二次函数，则该数列为等差数列.
知新探究
【例1】 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位.
解：
设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.
根据题意{an}是公差为2的等差数列，且S20=800.
由,可得
a1=21,
因此，第1排应安排21个座位.
分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an} ，设数列{an} 的前n项和为Sn.由题意可知,{an}是等差数列，且公差及前20项和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.
初试身手
设良马每天所行路程为{an},则{an}是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为{bn},则{bn}是以97为首项,以为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则
1.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行 里.
∴103n+13+97n+=2250.
解：
B9=2250-1395=855,
解得n=9或n=-40(舍去),
An+Bn=2×1125,
化简整理，得n2+31n-360=0,
A9=103×9+13=1395,
∴n=9,
∴A9-B9=1395-855=540.相逢时良马比驽马多行540里.
540
知新探究
【例2】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解：
方法1：由an+1-an=-2<0,得an+1又由an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12，可知：
当n<6时，an>0；
当n＝6时，an＝0；
∴S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…,
分析：由a1>0和d<0,可以证明数列{an}是递减数列，且存在正整数k, 使得当n≥k时，an<0,Sn递减.这样，就把求Sn的最大值转化为{an}所有正数项的和.
当n>6时，an<0.
也就是说，当n＝5或6时，Sn最大.
因为=30，所以Sn的最大值为30.
知新探究
【例2】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解：
方法2：∵
＝-n2+11n
.
分析：另一方面，等差数列的前n项和公式可写成，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数(x∈R)当x=n时
的函数值.如图，当d<0时，Sn关于n的图像是一条开口向下的抛
物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n, Sn的值.
∴当n取与最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30.
新知探究
1.通项法
在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法
若a1>0，d<0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；
2.二次函数法
若a1<0，d>0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定.
利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)．
在等差数列{an}中，由于,则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值取与对称轴距离最近的一个正整数点.
在例2中，当d=-3.5时，Sn有最大值吗 结合例2考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题.
初试身手
方法1：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，
2.在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
∴数列{an}的前13项和最大，最大值为S13＝13×25＋×(－2)＝169.
解：
令an＞0，则－2n＋27＞0，解得n＜13.5，
即数列{an}的前13项均为正数，第13项以后均为负数，
∴an＝25＋(－2)×(n－1)＝－2n＋27.
∴d=-2.
方法2：由S9＝S17得9a1＋d＝17a1＋d，又a1＝25，
∴d=-2
则Sn=25n+=-n2+26n=.
∴当n=13时，Sn取最大值，最大值为169.
初试身手
方法3：设Sn＝An2＋Bn，
2.在等差数列{an}中，公差为d，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
∴当n=13时，Sn取最大值，最大值为169.
解：
∴二次函数图象的对称轴为＝13，且开口方向向下，
∵S9＝S17，
方法4：∵S9＝S17，
∴a10+a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=0，
即a13+a14=0，
∴当n=13时，Sn取最大值，最大值为169.
∵a1>0，
∴d<0，
∴a13>0，a14<0，
新知探究
1.等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列；
等差数列的前n项和常用的性质
3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d.
2.数列{an}是等差数列 Sn＝an2＋bn(a，b为常数) 数列{}为等差数列；
⑴当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，；
⑵当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，.
试根据等差数列的前n项和的定义及前n项和公式给出这些性质的证明.
知新探究
【例3】⑴等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)
A．130　　 B．170 C．210 D．260
⑵等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________；
⑶ 已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝________.
解：
⑴利用等差数列的性质,Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．
即30+(S3n－100)=2(100-30),
解得S3n=210.
故选C.
∴Sn+(S3n－S2n)=2(S2n－Sn),
C
知新探究
【例3】⑴等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)
A．130　　 B．170 C．210 D．260
⑵等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________；
⑶ 已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝________.
解：
⑵∵等差数列共有2n＋1项，
即132-120=,
解得n=10.
∴S奇－S偶＝an+1=,
10
知新探究
【例3】⑴等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)
A．130　　 B．170 C．210 D．260
⑵等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________；
⑶ 已知{an}，{bn}均为等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，且，则＝________.
解：
⑶由等差数列的性质，知
.
.
初试身手
⑴设等差数列{an}的公差为d,
3.⑴设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)
A.18 B.17 C.16 D.15
⑵等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项和为________．
故选A.
解：
∴a5＋a6＋a7＋a8-S4＝16d=4,
解得d=,
∵a5＋a6＋a7＋a8=S8-S4＝12，
∴a11＋a12＋a13＋a14=S4+40d=18,
A
初试身手
⑵∵an＝2n＋1，
3.⑴设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　)
A.18 B.17 C.16 D.15
⑵等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项和为________．
解：
∴数列{}的前10项和为.
∴a1=3,
∴Sn=，.
∴数列{}是首项为3，公差为1的等差数列.
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课堂小结
1.等差数列前n项和公式的应用
2.等差数列前n项和的最值问题
3. 等差数列前n项和的性质
作业布置
作业： P24 练习 第2,5题
P25 习题4.2 第5,6,7,8,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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