江西省赣州市南康区部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南康开学考）实数的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．（2024九上·南康开学考）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
3．（2024九上·南康开学考）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看所得的图形是叠放的两个长方形，上面一个小的，下面一个大的.
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．
4．（2024九上·南康开学考）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，当温度计的温度升高到时，温度不再变化，选项C的图象符合条件.
故答案为：C．
【分析】根据题意，当温度计的温度升高到时，温度不再变化，结合各选项即可判断求解．
5．（2024九上·南康开学考）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
6．（2024九上·南康开学考）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
选择标有①或②的位置的空白小正方形， 能与阴影部分组成正方体展开图，
∴能与阴影部分组成正方体展开图的方法共有2种.
故答案：B．
【分析】根据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可求解．
7．（2024九上·南康开学考）计算 ＝ .
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：1
【分析】根据解答即可.
8．（2024九上·南康开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
9．（2024九上·南康开学考）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
10．（2024九上·南康开学考）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：an，
故第100个式子为：.
故答案为：.
【分析】观察发现第n个式子的次数为n，即可得到答案.
11．（2024九上·南康开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，
在Rt AOD中，由勾股定理得：
AD=，
∴BC=AD＝13，
∴，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质“菱形的对边相等，对角线互相垂直平分”可得AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，在Rt AOD中，用勾股定理求出AD的值，根据菱形的面积公式等于两对角线乘积的一半（或等于底×高）可得关于DE的方程，解方程即可求解．
12．（2024九上·南康开学考）平面直角坐标系中，已知点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ．
【答案】或或
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可分三种情况：
①为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
②为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为，
③为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
综上可得，点的坐标可能是或或
故答案为：或或.
【分析】根据平行四边形的性质可分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质并结合已知的点的坐标即可求得点的坐标．
13．（2024九上·南康开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式=1+5
=6；
（2）解：原式==1.
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；同分母分式的加、减法
14．（2024九上·南康开学考）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】（1）解：如图，连接BD，即为所求；
（2）解：如图，连接CE，并延长CE至M，使CE=EM，连接BM、AM，则即为所求．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形ACBM是平行四边形，
∴BM∥AC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（）连接BD，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，即为的垂线；
（）连接CE，并延长CE至M，使CE=EM，连接BM、AM，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBM是平行四边形，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得BM∥AC.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
15．（2024九上·南康开学考）若实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 且，化简．
【答案】解：由实数a、b、c在数轴上的位置可得：
a＜c＜0＜b，且，，
∴a+b=0，c-a＞0，
∴原式=-a+0-(c-a）-2（-c)
=-a-c+a+2c
=c
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】根据实数a、b、c在数轴上的位置可得：a＜c＜0＜b，且，，则a+b=0，c-a＞0，然后根据二次根式的性质和绝对值的非负性并结合合并同类项法则计算即可求解．
16．（2024九上·南康开学考）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】（1）解：∵ 长方形绿地的长为米，宽为米，
∴长方形的周长（米）.
答：长方形的周长是米
（2）解：∵通道的面积
（平方米），
∴购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元
【知识点】二次根式的性质与化简；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长等于（长+宽）×2列出算式，再由二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可求解；
（2）根据通道的面积=长方形绿地的面积-长方形花坛的面积求出通道的面积，然后用通道的面积×地砖每平方米的造价并结合二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可求解．
17．（2024九上·南康开学考）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设进馆人次的月平均增长率为x，由题意分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次可列关于x的方程，解方程即可求解．
18．（2024九上·南康开学考）已知关于的函数．
（1）若这个函数的图象平行于直线，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象平行于直线y=2x-3，
∴3m-1=2，
解得：m=1.
（2）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：.
∴的取值范围为：．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（）根据两一次函数图象平行的性质“当函数y1=k1x+b1，与y2=k2x+b2平行时，k1=k2”可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解.
（1）由题意得：，
解得：，
∴的值为；
（2）由题意得：，
解得：，
∴的取值范围是．
19．（2024九上·南康开学考）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求的值．
【答案】（1）解：，
，
=（a-2）2+4，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，即b2-4ac＞0，
无论为何值， 方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：，
，即：，
∵和是方程x2-ax-2=0的两实数根，
∴由一元二次方程的根与系数的关系可得：
，，
∴，即，
解得：a=1或，
答：或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意，先计算△=b2-4ac的值，并配成完全平方式，根据偶次方的非负性可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可求解；
（2）将去括号，由一元二次方程的根与系数的关系，可求出与的值，然后整体代换即可求解.
（1）解：，
，
该方程总有两个不相等的实数根，
（2）解：，
，即：，
由和是方程两实数根，可得：，，
代入，可得：，即，
或，
故答案为：或．
20．（2024九上·南康开学考）某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
∴（负值舍去），
∴（米，
答：风筝的高度为21.6米
（2）解：由题意得，米，连接BM，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）由题意得，米，进而求出DM的长度，再利用勾股定理即可求出BM的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解.
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）解：由题意得，米，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
21．（2024九上·南康开学考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵，
∴ AB-AE=CD-CF，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，
∴∠DFA=∠FAB，
∵平分，
∴∠FAB=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
∴矩形的面积是：．
答： 四边形的面积为20.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE的值，然后根据矩形的面积等于底×高计算即可求解．
22．（2024九上·南康开学考）某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表：
组别 “跳绳次数”x/次 频率 组内学生的平均“跳绳次数”/次
A
10% 110
B
35% 130
C 30% 150
D 25% 170
通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159；
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生一共有_________人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是_________；
（2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
（3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀．请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．
【答案】（1）40，141次
（2）解：这组数据的平均数为：
（次），
∴该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次；
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次
（3）解：∵这组数据中达到优秀的百分数为：30%+25%=55%，
∴该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为：1600×55%=880（人）.
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵C组的有12人，所占百分比为30%，
∴抽取的人数为：（人）；
∴A等级的学生为：40×10%=4（人）；
B等级的学生为：40×35%=14（人）；
D等级的学生为：（人）；
而，
把数据按从小到大排列，这组数据中的第20和21个数，是C等级中的141与141两个数，
∴这组数据的中位数为：（次）；
故答案为：次．
【分析】（1）根据C等级的频数和所占的百分比并结合样本容量=频数÷百分比即可求出抽取的学生人数；根据频率=频数×样本容量可求得A、B、D级的频数，根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”可求得所调查的学生“跳绳次数”的中位数；
（2）根据加权平均数计算公式计算即可求解；
（3）根据用样本估计总体可求解．
（1）解：抽取的人数为：（人）；
D等级的学生为，而，把数据按从大到小排列，则中位数是C等级中的141与141两个数的平均数，故中位数为：；
故答案为：次．
（2）解：（次）
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为次．
（3）解：（人），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人．
23．（2024九上·南康开学考）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写山线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段的长．
【答案】（1）解：结论：EF=BE；理由如下：
如图，
∵， 点F与点A重合，点D为AB的中点，
是BF的垂直平分线，
．
（2）结论：，理由如下：
如下图，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：由题意可分两种情况：
（Ⅰ）如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
由（2）得：AF2+BE2=EF2，
在Rt CEF中，由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
，
解得：x=，
∴AF=．
（Ⅱ）如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
同理可得：AF2+BE2=CF2+CE2，
，
解得：x=2，
.
综上可得：满足条件的的长为或2．
答：的长为或2.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）结论：．根据线段的垂直平分线的性质”线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等“即可求解；
（2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．由题意用角角边可证 AJD≌ BED，由全三角形的选择”全等三角形的对应边相等“可得，，再证明，在Rt AJF中，用勾股定理可求解；
（3）由题意可分两种情况：（Ⅰ）如图中，当点在线段上时，（Ⅱ）如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．由（2）得：AF2+BE2=EF2，在Rt CEF中，由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2，于是可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：结论：．
理由：如图1中，
，，
垂直平分，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接．
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或2．
1 / 1江西省赣州市南康区部分学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题
1．（2024九上·南康开学考）实数的相反数是（ ）
A．5 B． C． D．
2．（2024九上·南康开学考）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·南康开学考）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·南康开学考）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·南康开学考）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
6．（2024九上·南康开学考）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．（2024九上·南康开学考）计算 ＝ .
8．（2024九上·南康开学考）因式分解： ．
9．（2024九上·南康开学考）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
10．（2024九上·南康开学考）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
11．（2024九上·南康开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，，，，垂足为点E，则 ．
12．（2024九上·南康开学考）平面直角坐标系中，已知点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是 ．
13．（2024九上·南康开学考）（1）计算：；
（2）化简：．
14．（2024九上·南康开学考）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
15．（2024九上·南康开学考）若实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 且，化简．
16．（2024九上·南康开学考）某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米．
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
17．（2024九上·南康开学考）书籍是人类宝贵的精神财富，读书则是传承优秀文化的通道，某中学为响应“全民阅读活动”，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆100人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆225人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
18．（2024九上·南康开学考）已知关于的函数．
（1）若这个函数的图象平行于直线，求的值；
（2）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，求的取值范围．
19．（2024九上·南康开学考）已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求的值．
20．（2024九上·南康开学考）某市园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
21．（2024九上·南康开学考）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
22．（2024九上·南康开学考）某校给全体学生推送了“天天跳绳”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作x，并绘制了如下的统计表：
组别 “跳绳次数”x/次 频率 组内学生的平均“跳绳次数”/次
A
10% 110
B
35% 130
C 30% 150
D 25% 170
通过体育老师了解到成绩位于C等级的学生成绩为：140、141、141、142、145、148、150、153、155、156、157、159；
请根据以上信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生一共有_________人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是_________；
（2）求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；
（3）该校共有学生1600人，若规定一分钟跳绳次数时为优秀．请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．
23．（2024九上·南康开学考）如图，中，，D为中点，点E在直线上（点E不与点B，C重合），连接，过点D作交直线于点F，连接．
（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段与的数量关系；
（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写山线段，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，，，请直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看所得的图形是叠放的两个长方形，上面一个小的，下面一个大的.
故答案为：B．
【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．
4．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，当温度计的温度升高到时，温度不再变化，选项C的图象符合条件.
故答案为：C．
【分析】根据题意，当温度计的温度升高到时，温度不再变化，结合各选项即可判断求解．
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：A、观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，结论正确，此选项不符合题意；
B、观察折线统计图知，15出现了3次，次数最多，即众数是15天，结论正确，此选项不符合题意；
C、观察折线统计图知，把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，结论正确，此选项不符合题意；
D、观察折线统计图知，这组数据的平均数为：≠15，结论错误，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据折线统计图并结合中位数、众数、平均数的意义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”依次判断即可求解．
6．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
选择标有①或②的位置的空白小正方形， 能与阴影部分组成正方体展开图，
∴能与阴影部分组成正方体展开图的方法共有2种.
故答案：B．
【分析】根据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可求解．
7．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：1
【分析】根据解答即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
9．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
10．【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：an，
故第100个式子为：.
故答案为：.
【分析】观察发现第n个式子的次数为n，即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，
∵AC＝24，BD＝10，
∴AO＝12，OD＝5，
在Rt AOD中，由勾股定理得：
AD=，
∴BC=AD＝13，
∴，
∴×24×10＝13×DE，
解得：DE＝，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质“菱形的对边相等，对角线互相垂直平分”可得AD＝BC，AC⊥BD，AO＝OC，DO＝BO，在Rt AOD中，用勾股定理求出AD的值，根据菱形的面积公式等于两对角线乘积的一半（或等于底×高）可得关于DE的方程，解方程即可求解．
12．【答案】或或
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可分三种情况：
①为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
②为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为，
③为对角线时，中点的坐标为，则点的坐标为
综上可得，点的坐标可能是或或
故答案为：或或.
【分析】根据平行四边形的性质可分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质并结合已知的点的坐标即可求得点的坐标．
13．【答案】（1）解：原式=1+5
=6；
（2）解：原式==1.
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；同分母分式的加、减法
14．【答案】（1）解：如图，连接BD，即为所求；
（2）解：如图，连接CE，并延长CE至M，使CE=EM，连接BM、AM，则即为所求．
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴四边形ACBM是平行四边形，
∴BM∥AC.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（）连接BD，由菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分”可得，即为的垂线；
（）连接CE，并延长CE至M，使CE=EM，连接BM、AM，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ACBM是平行四边形，然后根据平行四边形的性质“平行四边形的对边分别平行”可得BM∥AC.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
15．【答案】解：由实数a、b、c在数轴上的位置可得：
a＜c＜0＜b，且，，
∴a+b=0，c-a＞0，
∴原式=-a+0-(c-a）-2（-c)
=-a-c+a+2c
=c
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】根据实数a、b、c在数轴上的位置可得：a＜c＜0＜b，且，，则a+b=0，c-a＞0，然后根据二次根式的性质和绝对值的非负性并结合合并同类项法则计算即可求解．
16．【答案】（1）解：∵ 长方形绿地的长为米，宽为米，
∴长方形的周长（米）.
答：长方形的周长是米
（2）解：∵通道的面积
（平方米），
∴购买地砖需要花费（元）．
答：购买地砖需要花费元
【知识点】二次根式的性质与化简；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据长方形的周长等于（长+宽）×2列出算式，再由二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可求解；
（2）根据通道的面积=长方形绿地的面积-长方形花坛的面积求出通道的面积，然后用通道的面积×地砖每平方米的造价并结合二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可求解．
17．【答案】解：设进馆人次的月平均增长率为x，由题意得：
，
解得：（不合题意，舍去），
答：进馆人次的月平均增长率为．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设进馆人次的月平均增长率为x，由题意分别表示出第一个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆225人次可列关于x的方程，解方程即可求解．
18．【答案】（1）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象平行于直线y=2x-3，
∴3m-1=2，
解得：m=1.
（2）解：∵函数y=(3m-1)x+m+3的图象经过第一、二、四象限，
∴，
解得：.
∴的取值范围为：．
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（）根据两一次函数图象平行的性质“当函数y1=k1x+b1，与y2=k2x+b2平行时，k1=k2”可得关于m的方程，解方程即可求解；
（）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、四象限，可得关于m的不等式组，解不等式组即可求解.
（1）由题意得：，
解得：，
∴的值为；
（2）由题意得：，
解得：，
∴的取值范围是．
19．【答案】（1）解：，
，
=（a-2）2+4，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，即b2-4ac＞0，
无论为何值， 方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：，
，即：，
∵和是方程x2-ax-2=0的两实数根，
∴由一元二次方程的根与系数的关系可得：
，，
∴，即，
解得：a=1或，
答：或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意，先计算△=b2-4ac的值，并配成完全平方式，根据偶次方的非负性可判断b2-4ac的符号，然后根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"即可求解；
（2）将去括号，由一元二次方程的根与系数的关系，可求出与的值，然后整体代换即可求解.
（1）解：，
，
该方程总有两个不相等的实数根，
（2）解：，
，即：，
由和是方程两实数根，可得：，，
代入，可得：，即，
或，
故答案为：或．
20．【答案】（1）解：在中，由勾股定理得，，
∴（负值舍去），
∴（米，
答：风筝的高度为21.6米
（2）解：由题意得，米，连接BM，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
【知识点】勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）由题意得，米，进而求出DM的长度，再利用勾股定理即可求出BM的长度，最后根据线段间的数量关系即可求解.
（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
（2）解：由题意得，米，
米，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵，
∴ AB-AE=CD-CF，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得：，
∴∠DFA=∠FAB，
∵平分，
∴∠FAB=∠DAF，
∴∠DFA=∠DAF，
∴AD=DF，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：
，
∴矩形的面积是：．
答： 四边形的面积为20.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，则，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，结合，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可求解；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等角对等边可得，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE的值，然后根据矩形的面积等于底×高计算即可求解．
22．【答案】（1）40，141次
（2）解：这组数据的平均数为：
（次），
∴该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次；
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为144次
（3）解：∵这组数据中达到优秀的百分数为：30%+25%=55%，
∴该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为：1600×55%=880（人）.
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵C组的有12人，所占百分比为30%，
∴抽取的人数为：（人）；
∴A等级的学生为：40×10%=4（人）；
B等级的学生为：40×35%=14（人）；
D等级的学生为：（人）；
而，
把数据按从小到大排列，这组数据中的第20和21个数，是C等级中的141与141两个数，
∴这组数据的中位数为：（次）；
故答案为：次．
【分析】（1）根据C等级的频数和所占的百分比并结合样本容量=频数÷百分比即可求出抽取的学生人数；根据频率=频数×样本容量可求得A、B、D级的频数，根据中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”可求得所调查的学生“跳绳次数”的中位数；
（2）根据加权平均数计算公式计算即可求解；
（3）根据用样本估计总体可求解．
（1）解：抽取的人数为：（人）；
D等级的学生为，而，把数据按从大到小排列，则中位数是C等级中的141与141两个数的平均数，故中位数为：；
故答案为：次．
（2）解：（次）
答：该校学生一分钟跳绳次数的平均数为次．
（3）解：（人），
答：估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数为880人．
23．【答案】（1）解：结论：EF=BE；理由如下：
如图，
∵， 点F与点A重合，点D为AB的中点，
是BF的垂直平分线，
．
（2）结论：，理由如下：
如下图，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，
，，
，
，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）解：由题意可分两种情况：
（Ⅰ）如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
由（2）得：AF2+BE2=EF2，
在Rt CEF中，由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2，
∴AF2+BE2=CF2+CE2，
，
解得：x=，
∴AF=．
（Ⅱ）如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
同理可得：AF2+BE2=CF2+CE2，
，
解得：x=2，
.
综上可得：满足条件的的长为或2．
答：的长为或2.
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）结论：．根据线段的垂直平分线的性质”线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等“即可求解；
（2）结论：如图2中，过点作交的延长线于，连接．由题意用角角边可证 AJD≌ BED，由全三角形的选择”全等三角形的对应边相等“可得，，再证明，在Rt AJF中，用勾股定理可求解；
（3）由题意可分两种情况：（Ⅰ）如图中，当点在线段上时，（Ⅱ）如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．由（2）得：AF2+BE2=EF2，在Rt CEF中，由勾股定理可得：CF2+CE2=EF2，于是可得关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：结论：．
理由：如图1中，
，，
垂直平分，
．
（2）结论：．
理由：如图2中，过点作交的延长线于，连接．
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
（3）如图中，当点在线段上时，设，则．
，，
，
，
，
，
．
如图中，当点在线段的延长线上时，设，则．
，，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为或2．
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