重庆市江北区鲁能巴蜀中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学模拟试题
1．（2024八上·江北开学考）下图是重庆马拉松比赛的奖牌，把该图形进行平移，能得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·江北开学考）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查荣昌卤鹅的色素含量是否符合国家标准
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
3．（2024八上·江北开学考）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·江北开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·江北开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线垂直
B．相等的角是对顶角
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．内错角相等
6．（2024八上·江北开学考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B'恰好落在BC边上，，则的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
7．（2024八上·江北开学考）用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个☆，第②个图案用了9个☆，第③个图案用了16个☆，第④个图案用了25个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（ ）
A．77 B．79 C．81 D．83
8．（2024八上·江北开学考）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A． B． C． D．或
9．（2024八上·江北开学考）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（ ）
A．24 B．42 C．48 D．56
10．（2024八上·江北开学考）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2024八上·江北开学考）计算： ．
12．（2024八上·江北开学考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且轴，则 ．
13．（2024八上·江北开学考）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ．
14．（2024八上·江北开学考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝ ．
15．（2024八上·江北开学考）如图，已知，则 度．
16．（2024八上·江北开学考）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
17．（2024八上·江北开学考）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ．
18．（2024八上·江北开学考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 ；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为 ．
19．（2024八上·江北开学考）计算：
（1）
（2）．
20．（2024八上·江北开学考）分解因式：
（1）；
（2）．
21．（2024八上·江北开学考）已知，如图，，，．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：（请完善下面的证明过程）
证明：∵平分
∴____①
∵
∴____②
∴
∴____③
∵
∴
∴____④
在和中
∴
∴
22．（2024八上·江北开学考）某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图：
时间t/h 频数 百分比（）
2 4
6 12
a 28
18 b
10 20
请根据以上所给信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的学生中，参加社会实践活动的时间在哪个范围的学生人数最多？参加社会实践活动的时间不少于的学生有多少名？
（3）若将调查结果绘制成扇形统计图，求参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数．
23．（2024八上·江北开学考）如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
24．（2024八上·江北开学考）某公司共有530台A、B两种型号的机器可出租，其中B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台．
（1）求A型、B型机器各多少台？
（2）去年，A、B两种型号的机器全部租出．今年，由于成本提高，公司决定对A、B两种型号机器的租金适当上涨（上涨金额为整数元），若每台机器的租金在去年租金基础上上涨1元，A型机器就会少租出5台，B型机器就会少租出3台．根据市场需求，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半．求今年租金最多可以上涨多少元？
25．（2024八上·江北开学考）阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“a型平移”，点称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”．
例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________；将线段进行“型平移”后得到线段，线段的中点坐标为________．
（2）若线段进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围．
（3）已知点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，在坐标轴上确定一点M，使得，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一种情况写出求解过程．
26．（2024八上·江北开学考）已知：在中，，点D在上，连接，且．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，
∴ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据图形的平移性质：只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，逐项进行判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查荣昌卤鹅的色素含量是否符合国家标准，由于荣昌卤鹅的数量比较多，故适合抽样调查，A不符合题意；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，由于全国中学生的数量是比较多的，故适合使用抽样调查，B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，由于应聘人员数量有限，故适合全面调查，C符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，由于生产的鞋底数量是比较多的，故适合抽样调查，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查全面调查与抽样调查，由全面调查与抽样调查的意义逐项进行判断，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠1=65°，
∵，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质得∠ACD=65°，由平角定义求出∠ADC，即可利用三角形内角和定理求出∠3的度数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，故选项A不符合题意；
B、，计算错误，故选项B不符合题意；
C、，计算正确，故选项C符合题意；
D、，原计算错误，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据平方差公式可判断B；根据幂的乘方与积的乘方法则可判断C；根据完全平方公式可判断D．
5．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，原命题缺少前提“在同一平面内”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，例如一对90°的邻补角，故原命题为假命题，不符合题意；
C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题缺少前提“两直线平行”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据垂直的性质，对顶角的概念，平行公理以及平行线的性质，逐一进行判断即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A，
∴∠C＝∠，AB＝A，
∴∠B=∠AB'B=∠C+∠CAB'.
∵A＝C，∴∠C＝∠CA，
∴∠B＝2∠C，
∵∠B＋∠C＋∠CAB＝180°，
∴3∠C+108°＝180°，
∴∠C＝24°，
∴∠＝∠C＝24°，
故答案为：D．
【分析】由旋转可得∠C＝∠，AB＝A，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠AB'B=∠C+∠CAB'，∠C＝∠CA，继而可得∠B=2∠C.再由三角形内角和定理即可求解．
7．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知：第①个图案用了☆的个数为，
第②个图案用了☆的个数为，
第③个图案用了☆的个数为，
第④个图案用了☆的个数为，
……
第个图案用了☆的个数为，
∴当时时，图案用了☆的个数为．
故答案为：C．
【分析】根据题意描述得，每个图形中☆的个数都是平方数，且第n个图形☆的个数规律为，据此规律求解即可．
8．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式，
∴或，
∴k-2=8或k-2=-8，
∴k=10或k=-6，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了完全平方公式：，根据完全平方式的相关知识得或，然后将完全平方公式展开，从而有k-2=8或k-2=-8，解方程求出k的值.
9．【答案】C
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
设，
∵DE=3AE，
∴，
∴，
∵F、G是边AB上的三等分点，
∴AF=FG=GB，
∴，
∴四边形FGDE的面积为：，
∵四边形FGDE的面积为14，
∴7x=14，
∴x=2，
∴，
∵D是BC的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比．连接，设，则，，由F、G是AB的三等分点可得出，从而有四边形FGDE的面积为7x=14，解方程求出x的值，最后根据三角形中线的性质得的值.
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环.
∴当时，，故①错误；
∵六个一循环，∴，
当，
即； 故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故答案为：D．
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可．
11．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根相关知识先进行化简，然后再进行加减计算即可．
12．【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵轴， 点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行于x轴的点的纵坐标相同可得，求得的值，即可确定点的坐标，再求的长即可．
13．【答案】8或5
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，
∴①当腰为5时，另一腰也为5，则底为，
，符合题意；
②当底为5时，腰为，符合题意，
∴该三角形的底边长为8或5．
故答案为：8或5．
【分析】根据等腰三角形一边长为5，分腰长为5和底边长为5两种情况分类进行讨论，同时验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
14．【答案】-2a
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：-2a.
【分析】由a、b、c在数轴上的位置得，然后根据绝对值和二次根式的性质进行化简，最后再进行计算求解.
15．【答案】270
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：270．
【分析】连接BC，根据三角形的内角和定理、对顶角的性质得，从而根据角的运算求出，然后利用三角形外角的性质求出，进而求出的值.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解为：，且，
解得．
解方程得：，
因为此方程的解为正数，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围是：，
则所有符合题意的整数为：，，，
所以它们的积为：．
故答案为：．
【分析】根据所给不等式组只有两个整数解，得到，继而可得的取值范围，再根据所给方程的解为正数，得到，同样求得的取值范围，综合可确定符合题意的所有整数的的值，再相乘即可．
17．【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，如图：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】过点作，证明∠DBE=∠DCF，于是可利用AAS证明，得到，，再利用HL证明，得AF=AE，于是可的，即可得出结果．
18．【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方、幂的乘方、单项式的乘法法则进行化简，然后合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行化简，然后去括号、合并同类项即可．
（1）解：
（2）
20．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解.
（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
21．【答案】（1）解：作图如下，
即为的角平分线，连接；
（2）①，②，③，④．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：∵平分
∴①
∵
∴②
∴
∴③
∵
∴
∴④
在和中
∴
∴，
故答案为：①，②，③，④．
【分析】（1）以为圆心，以一定长度为半径画弧交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接即可；
（2）由平行线的性质和角的构成可得∠FAC=∠BAD，结合已知用边角边可证△AFC≌△ABD，然后根据全等三角形的性质可求解．
22．【答案】（1）解：14，36；
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由频数分布直方图可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，有18人.
∵50－2－6=42（名），
参加社会实践活动的时间不少于的学生有42名．
（3）解：，
∴参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）抽取学生总人数为（人），
50－2－6－18－10=14（人），
，即，
故答案为：14；36.
【分析】（1）根据时间段的频数和所占百分比，求出抽取学生总人数，进而求出用总人数减其他各组人数可求出的值，用18÷总人数可求出的值，补全频数分布直方图即可；
（2）由频数分布直方图可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，用参加社会实践活动的总人数减少于的学生人数，即可得到答案；
（3）用乘以参加社会实践活动的时间在“”范围内的百分比，即可求解．
（1）解：抽取学生总人数为（人），
，
，即，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由频数分布表可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，
（名），
参加社会实践活动的时间不少于的学生有42名．
（3）解：，
∴参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数为．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=90°，
∵∠BDF+∠BFD+∠CBD=180°，∠CBD=10°，
∴∠BFD=180°-∠BDF-∠CBD=80°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据“等边对等角”性质得出，从而得出，通过全等三角形判定定理“SAS”证明，即可求证；
（2）根据“等边对等角”性质得出，从而利用三角形内角和定理得∠DAB=120°，进而根据全等三角形对应角相等得，接下来求出∠BDF=90°，最后根据三角形内角和定理求出∠BFD的值.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：设A型、B型机器各x、y台，
则，解得．
所以，A型350台、B型机器180台．
（2）解：设每台机器的租金上涨a元，
则，
解得．
为整数，
的最大值为9．
所以，每台机器的租金最多上涨9元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型、B型机器各x、y台，根据共有530台A、B两种型号的机器，B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台，列出方程组进行求解即可；
（2）设每台机器的租金上涨a元，根据，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半，列出方程组进行求解即可．
25．【答案】（1）（2，0），（1，2）
（2）解：∵线段AB进行”a型平移“，A（1，1）、B（3，1），
∴，
当线段A'B'与x轴有公共点，即1-a=0，
解得：a=1，
当线段A'B'与y轴有公共点，即，
解得：-3≤a≤-1，
综上所述，a=1或-3≤a≤-1；
（3）解：∵点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：，
解得：，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得：或，
∴，；
③当点M在y轴上且在x轴上方时，设，则：，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为，，，.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）∵将点A（1，1）进行“1型平移”后的对应点为A'，A（1，1）
∴点的坐标为（1+1，1-1），即A'（2，0），
∵将线段AB进行“-1型平移“后得到线段A'B'，B（3，1）
∴A（1，1）、B（3，1）进行“-1型平移”后的对应点A'、B'坐标为（1-1，1+1）、（3-1，1+1），即A'（0，2）、B'（2，2），
∴线段A'B'的中点坐标为（1，2），
故答案为：（2，0），（1，2）.
【分析】（1）根据新定义进行求解，先求出点A进行”1型平移“后对应点A'的坐标，然后求出AB进行”-1型平移“后对应点A’、B'的坐标，最后再根据中点坐标公式求解即可；
（2）根据新定义求出A'、B'的坐标，接下来进行分类讨论：线段与x轴有公共点，则1-a=0，从而求出a=1；线段与y轴有公共点，则，从而求出-3≤a≤-1；
（3）先根据新定义求出C'、D'的坐标，接下来利用三角形面积公式求出，从而得，进而进行分类讨论：点在轴上和轴上两种情况，结合三角形面积公式求解即可.
（1）解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
所以，线段的中点坐标为；
故答案为：，；
（2）解：线段进行“a型平移”后，
当线段与x轴有公共点，即，解得：，
当线段与y轴有公共点，即，解得：，
故答案为：或；
（3）解：点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：
解得，，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得，，或，
∴，；
③当点M在y轴上且在x轴上方时，设，则，
解得，，
∴
综上，点的坐标为，，，
26．【答案】（1）证明：设，
∵∠ABC=∠ACB+90°，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∠ADB=45°，
∴∠ABC=α+90°，∠CAD=∠ADB-∠ACB=45°-α
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：如图2，过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R，
∴∠BTE=∠BTG=∠CRE=90°，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，AD平分∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠AHF=∠CHR，
∴∠G=∠CHR，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
由（2）得∠G=∠AHF，BG=CH，
∴AG=AH，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵EM⊥AG，EN⊥AC，
∴，
又∵，BG=CH，
∴，
∵AG=AH，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【分析】（1）设，根据题意以及三角形外角的性质，得∠ABC=α+90°，∠CAD=45°-α，然后利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，从而得∠BAD的度数，进而得证结论；
（2）过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R，利用全等三角形判定定理”AAS“易证，根据全等三角形对应边相等得BT=CR，接下来利用直角三角形两锐角互余证出，从而证得，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）连接，由（2）得∠G=∠AHF，BG=CH，从而得AG=AH，然后根据三角形中线的性质得，从而求出，进而根据三角形面积公式求出，接下来根据线段的和差关系求出AG=AH=5，即可求出EM+EN的值.
（1）证明：如图1，
设，则，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴
即平分；
（2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，
∵，
∴，
∴，，
由（1）可知，，即
∴，
∵点E为的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴
1 / 1重庆市江北区鲁能巴蜀中学2024-2025学年八年级上学期开学考试数学模拟试题
1．（2024八上·江北开学考）下图是重庆马拉松比赛的奖牌，把该图形进行平移，能得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：∵图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，
∴ABC不符合题意，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据图形的平移性质：只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，逐项进行判断求解即可.
2．（2024八上·江北开学考）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查荣昌卤鹅的色素含量是否符合国家标准
B．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查荣昌卤鹅的色素含量是否符合国家标准，由于荣昌卤鹅的数量比较多，故适合抽样调查，A不符合题意；
B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，由于全国中学生的数量是比较多的，故适合使用抽样调查，B不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试，由于应聘人员数量有限，故适合全面调查，C符合题意；
D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，由于生产的鞋底数量是比较多的，故适合抽样调查，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】本题考查全面调查与抽样调查，由全面调查与抽样调查的意义逐项进行判断，即可求解.
3．（2024八上·江北开学考）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠1=65°，
∵，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质得∠ACD=65°，由平角定义求出∠ADC，即可利用三角形内角和定理求出∠3的度数.
4．（2024八上·江北开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，计算错误，故选项A不符合题意；
B、，计算错误，故选项B不符合题意；
C、，计算正确，故选项C符合题意；
D、，原计算错误，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据同底数幂的乘法法则可判断A；根据平方差公式可判断B；根据幂的乘方与积的乘方法则可判断C；根据完全平方公式可判断D．
5．（2024八上·江北开学考）下列命题是真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两直线垂直
B．相等的角是对顶角
C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D．内错角相等
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，原命题缺少前提“在同一平面内”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，例如一对90°的邻补角，故原命题为假命题，不符合题意；
C、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原命题为真命题，符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，原命题缺少前提“两直线平行”，不一定能成立，故原命题是假命题，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据垂直的性质，对顶角的概念，平行公理以及平行线的性质，逐一进行判断即可．
6．（2024八上·江北开学考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点B'恰好落在BC边上，，则的度数为（ ）
A．18° B．20° C．22° D．24°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A，
∴∠C＝∠，AB＝A，
∴∠B=∠AB'B=∠C+∠CAB'.
∵A＝C，∴∠C＝∠CA，
∴∠B＝2∠C，
∵∠B＋∠C＋∠CAB＝180°，
∴3∠C+108°＝180°，
∴∠C＝24°，
∴∠＝∠C＝24°，
故答案为：D．
【分析】由旋转可得∠C＝∠，AB＝A，由等腰三角形的性质可得∠B＝∠AB'B=∠C+∠CAB'，∠C＝∠CA，继而可得∠B=2∠C.再由三角形内角和定理即可求解．
7．（2024八上·江北开学考）用大小相同的☆按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个☆，第②个图案用了9个☆，第③个图案用了16个☆，第④个图案用了25个☆，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案中用的☆个数为（ ）
A．77 B．79 C．81 D．83
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可知：第①个图案用了☆的个数为，
第②个图案用了☆的个数为，
第③个图案用了☆的个数为，
第④个图案用了☆的个数为，
……
第个图案用了☆的个数为，
∴当时时，图案用了☆的个数为．
故答案为：C．
【分析】根据题意描述得，每个图形中☆的个数都是平方数，且第n个图形☆的个数规律为，据此规律求解即可．
8．（2024八上·江北开学考）若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵关于x的二次三项式是一个完全平方式，
∴或，
∴k-2=8或k-2=-8，
∴k=10或k=-6，
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了完全平方公式：，根据完全平方式的相关知识得或，然后将完全平方公式展开，从而有k-2=8或k-2=-8，解方程求出k的值.
9．（2024八上·江北开学考）如图，点D是边上的中点，点E是上一点且，F、G是边上的三等分点，若四边形的面积为14，则的面积是（ ）
A．24 B．42 C．48 D．56
【答案】C
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
设，
∵DE=3AE，
∴，
∴，
∵F、G是边AB上的三等分点，
∴AF=FG=GB，
∴，
∴四边形FGDE的面积为：，
∵四边形FGDE的面积为14，
∴7x=14，
∴x=2，
∴，
∵D是BC的中点，
∴，
故答案为：C．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分，同高三角形面积比等于底的比．连接，设，则，，由F、G是AB的三等分点可得出，从而有四边形FGDE的面积为7x=14，解方程求出x的值，最后根据三角形中线的性质得的值.
10．（2024八上·江北开学考）有依次排列的两个整式，，用后一个整式与前一个整式作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，依次进行作差的操作得到新的整式．下列说法：①当时，；②当时，；③正确的说法有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意依次计算可得：
，
，
，
，
，
，
．
以此类推，6个一循环.
∴当时，，故①错误；
∵六个一循环，∴，
当，
即； 故②正确；
∵，，，
∴，，，
∴，
，
∴和不一定相等，故③错误，
综上所述，正确的说法有1个，
故答案为：D．
【分析】本题考查了整式的运算以及探索规律，根据题意依次进行作差，求出C1到C7的值，发现规律为：6个一循环，然后再逐一判断即可．
11．（2024八上·江北开学考）计算： ．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据乘方、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根相关知识先进行化简，然后再进行加减计算即可．
12．（2024八上·江北开学考）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，且轴，则 ．
【答案】5
【知识点】坐标与图形性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵轴， 点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行于x轴的点的纵坐标相同可得，求得的值，即可确定点的坐标，再求的长即可．
13．（2024八上·江北开学考）已知等腰三角形的周长为18，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 ．
【答案】8或5
【知识点】等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5，
∴①当腰为5时，另一腰也为5，则底为，
，符合题意；
②当底为5时，腰为，符合题意，
∴该三角形的底边长为8或5．
故答案为：8或5．
【分析】根据等腰三角形一边长为5，分腰长为5和底边长为5两种情况分类进行讨论，同时验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
14．（2024八上·江北开学考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简﹣|a﹣c|+﹣|﹣b|＝ ．
【答案】-2a
【知识点】二次根式的性质与化简；绝对值的概念与意义；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：-2a.
【分析】由a、b、c在数轴上的位置得，然后根据绝对值和二次根式的性质进行化简，最后再进行计算求解.
15．（2024八上·江北开学考）如图，已知，则 度．
【答案】270
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：270．
【分析】连接BC，根据三角形的内角和定理、对顶角的性质得，从而根据角的运算求出，然后利用三角形外角的性质求出，进而求出的值.
16．（2024八上·江北开学考）若使关于的不等式组有且只有两个整数解，且使关于的方程的解为正数，则符合题意的所有整数之积为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴不等式组的解为：，且，
解得．
解方程得：，
因为此方程的解为正数，
所以，
解得，
综上所述，的取值范围是：，
则所有符合题意的整数为：，，，
所以它们的积为：．
故答案为：．
【分析】根据所给不等式组只有两个整数解，得到，继而可得的取值范围，再根据所给方程的解为正数，得到，同样求得的取值范围，综合可确定符合题意的所有整数的的值，再相乘即可．
17．（2024八上·江北开学考）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则 ．
【答案】3
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，如图：
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】过点作，证明∠DBE=∠DCF，于是可利用AAS证明，得到，，再利用HL证明，得AF=AE，于是可的，即可得出结果．
18．（2024八上·江北开学考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为 ；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为 ．
【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
19．（2024八上·江北开学考）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方、幂的乘方、单项式的乘法法则进行化简，然后合并同类项即可；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行化简，然后去括号、合并同类项即可．
（1）解：
（2）
20．（2024八上·江北开学考）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式进行因式分解；
（2）先提公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解.
（1）解：
，
；
（2）解：
，
．
21．（2024八上·江北开学考）已知，如图，，，．
（1）用直尺和圆规作的平分线交于点，连接．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
（2）求证：（请完善下面的证明过程）
证明：∵平分
∴____①
∵
∴____②
∴
∴____③
∵
∴
∴____④
在和中
∴
∴
【答案】（1）解：作图如下，
即为的角平分线，连接；
（2）①，②，③，④．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）证明：∵平分
∴①
∵
∴②
∴
∴③
∵
∴
∴④
在和中
∴
∴，
故答案为：①，②，③，④．
【分析】（1）以为圆心，以一定长度为半径画弧交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，连接即可；
（2）由平行线的性质和角的构成可得∠FAC=∠BAD，结合已知用边角边可证△AFC≌△ABD，然后根据全等三角形的性质可求解．
22．（2024八上·江北开学考）某校为了解七年级700名学生上学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生进行了调查．根据收集的数据绘制了下面不完整的频数分布表和频数分布直方图：
时间t/h 频数 百分比（）
2 4
6 12
a 28
18 b
10 20
请根据以上所给信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的学生中，参加社会实践活动的时间在哪个范围的学生人数最多？参加社会实践活动的时间不少于的学生有多少名？
（3）若将调查结果绘制成扇形统计图，求参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数．
【答案】（1）解：14，36；
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由频数分布直方图可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，有18人.
∵50－2－6=42（名），
参加社会实践活动的时间不少于的学生有42名．
（3）解：，
∴参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数为．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）抽取学生总人数为（人），
50－2－6－18－10=14（人），
，即，
故答案为：14；36.
【分析】（1）根据时间段的频数和所占百分比，求出抽取学生总人数，进而求出用总人数减其他各组人数可求出的值，用18÷总人数可求出的值，补全频数分布直方图即可；
（2）由频数分布直方图可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，用参加社会实践活动的总人数减少于的学生人数，即可得到答案；
（3）用乘以参加社会实践活动的时间在“”范围内的百分比，即可求解．
（1）解：抽取学生总人数为（人），
，
，即，
补全频数分布直方图如下：
（2）解：由频数分布表可知，参加社会实践活动的时间在的学生人数最多，
（名），
参加社会实践活动的时间不少于的学生有42名．
（3）解：，
∴参加社会实践活动的时间在“”范围的扇形的圆心角度数为．
23．（2024八上·江北开学考）如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由（1）得，
∴，
∴∠BDF=∠ADE-∠ADB=90°，
∵∠BDF+∠BFD+∠CBD=180°，∠CBD=10°，
∴∠BFD=180°-∠BDF-∠CBD=80°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据“等边对等角”性质得出，从而得出，通过全等三角形判定定理“SAS”证明，即可求证；
（2）根据“等边对等角”性质得出，从而利用三角形内角和定理得∠DAB=120°，进而根据全等三角形对应角相等得，接下来求出∠BDF=90°，最后根据三角形内角和定理求出∠BFD的值.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．（2024八上·江北开学考）某公司共有530台A、B两种型号的机器可出租，其中B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台．
（1）求A型、B型机器各多少台？
（2）去年，A、B两种型号的机器全部租出．今年，由于成本提高，公司决定对A、B两种型号机器的租金适当上涨（上涨金额为整数元），若每台机器的租金在去年租金基础上上涨1元，A型机器就会少租出5台，B型机器就会少租出3台．根据市场需求，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半．求今年租金最多可以上涨多少元？
【答案】（1）解：设A型、B型机器各x、y台，
则，解得．
所以，A型350台、B型机器180台．
（2）解：设每台机器的租金上涨a元，
则，
解得．
为整数，
的最大值为9．
所以，每台机器的租金最多上涨9元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设A型、B型机器各x、y台，根据共有530台A、B两种型号的机器，B型机器数量的2倍比A型机器数量多10台，列出方程组进行求解即可；
（2）设每台机器的租金上涨a元，根据，今年出租A、B两种型号的机器总数量不超过去年出租总数量的，其中B型机器出租的数量会超过A型机器出租数量的一半，列出方程组进行求解即可．
25．（2024八上·江北开学考）阅读材料：对于平面直角坐标系中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“a型平移”，点称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”．
例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为________；将线段进行“型平移”后得到线段，线段的中点坐标为________．
（2）若线段进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围．
（3）已知点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，在坐标轴上确定一点M，使得，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一种情况写出求解过程．
【答案】（1）（2，0），（1，2）
（2）解：∵线段AB进行”a型平移“，A（1，1）、B（3，1），
∴，
当线段A'B'与x轴有公共点，即1-a=0，
解得：a=1，
当线段A'B'与y轴有公共点，即，
解得：-3≤a≤-1，
综上所述，a=1或-3≤a≤-1；
（3）解：∵点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：，
解得：，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得：或，
∴，；
③当点M在y轴上且在x轴上方时，设，则：，
解得：，
∴，
综上所述，点的坐标为，，，.
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（1）∵将点A（1，1）进行“1型平移”后的对应点为A'，A（1，1）
∴点的坐标为（1+1，1-1），即A'（2，0），
∵将线段AB进行“-1型平移“后得到线段A'B'，B（3，1）
∴A（1，1）、B（3，1）进行“-1型平移”后的对应点A'、B'坐标为（1-1，1+1）、（3-1，1+1），即A'（0，2）、B'（2，2），
∴线段A'B'的中点坐标为（1，2），
故答案为：（2，0），（1，2）.
【分析】（1）根据新定义进行求解，先求出点A进行”1型平移“后对应点A'的坐标，然后求出AB进行”-1型平移“后对应点A’、B'的坐标，最后再根据中点坐标公式求解即可；
（2）根据新定义求出A'、B'的坐标，接下来进行分类讨论：线段与x轴有公共点，则1-a=0，从而求出a=1；线段与y轴有公共点，则，从而求出-3≤a≤-1；
（3）先根据新定义求出C'、D'的坐标，接下来利用三角形面积公式求出，从而得，进而进行分类讨论：点在轴上和轴上两种情况，结合三角形面积公式求解即可.
（1）解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
所以，线段的中点坐标为；
故答案为：，；
（2）解：线段进行“a型平移”后，
当线段与x轴有公共点，即，解得：，
当线段与y轴有公共点，即，解得：，
故答案为：或；
（3）解：点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：
解得，，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得，，或，
∴，；
③当点M在y轴上且在x轴上方时，设，则，
解得，，
∴
综上，点的坐标为，，，
26．（2024八上·江北开学考）已知：在中，，点D在上，连接，且．
（1）如图1，求证：平分；
（2）如图2，点E为的中点，过点E作的垂线分别交的延长线，的延长线， 于点F，G，H，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点E分别作于点M，于点N，若，，求的值．
【答案】（1）证明：设，
∵∠ABC=∠ACB+90°，∠ADB=∠ACB+∠CAD，∠ADB=45°，
∴∠ABC=α+90°，∠CAD=∠ADB-∠ACB=45°-α
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：如图2，过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R，
∴∠BTE=∠BTG=∠CRE=90°，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）可知，AD平分∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠AHF=∠CHR，
∴∠G=∠CHR，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
由（2）得∠G=∠AHF，BG=CH，
∴AG=AH，
∵点E为的中点，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∵EM⊥AG，EN⊥AC，
∴，
又∵，BG=CH，
∴，
∵AG=AH，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【分析】（1）设，根据题意以及三角形外角的性质，得∠ABC=α+90°，∠CAD=45°-α，然后利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数，从而得∠BAD的度数，进而得证结论；
（2）过点B作BT⊥GH于点T，过点C作CR⊥RH交GH的延长线于点R，利用全等三角形判定定理”AAS“易证，根据全等三角形对应边相等得BT=CR，接下来利用直角三角形两锐角互余证出，从而证得，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）连接，由（2）得∠G=∠AHF，BG=CH，从而得AG=AH，然后根据三角形中线的性质得，从而求出，进而根据三角形面积公式求出，接下来根据线段的和差关系求出AG=AH=5，即可求出EM+EN的值.
（1）证明：如图1，
设，则，，
∵在中，，
∴，
∴，
∴
即平分；
（2）证明：如图2，过点B作于点T，过点C作交的延长线于点R，
∵，
∴，
∴，，
由（1）可知，，即
∴，
∵点E为的中点，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：如图3，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴
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