垂径定理的拓广
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
转为几何语言：
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
=，=
如果把条件和结论看成是5个条件，相互间是否还有其它关系呢？
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径,
② CD⊥AB,
③ AM=BM,
④=，
⑤=
只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论.
你可以写出相应的命题吗?
条件
结论
命 题
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
?平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
①⑤
②③④
②③
①④⑤
?弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
②④
①③⑤
?垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
②⑤
①③④
③④
①②⑤
?平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
③⑤
①②④
④⑤
①②③
?平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
第三章 圆
《垂径定理》教学设计说明
广东省佛山市华英学校 罗建辉
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．
学生活动经验基础：在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
二、教学任务分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比等腰三角形的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．具体地说，本节课的教学目标是：
知识与技能
1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理；
2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．
过程与方法
1．经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
情感与态度
1. 培养学生类比分析，猜想探索的能力．
2. 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．
教学难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．
三、教学设计分析
本节课设计了四个教学环节：
类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结.
第一环节 类比引入
活动内容：
1.等腰三角形是轴对称图形吗？
2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
活动目的：
通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力．
第二环节 猜想探索
活动内容：
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M． （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
条件：① CD是直径；② CD⊥AB
结论（等量关系）：③AM=BM；
④=；⑤=.
证明：连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,
和重合,和重合.
∴ =，=.
2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：① CD是直径；② AM=BM
结论（等量关系）：③CD⊥AB；
④=；⑤=.
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，并表述逆定理的内容
——平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
反例：
活动目的：
活动1的主要目的是通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验；活动2 的主要目的是让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识；活动3的主要目的是通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识；活动4的主要目的与活动1相似，并让学生与活动1类比，提高探索能力；活动5的主要目的与活动3相似．
实际教学效果：
在活动1中的证明时，学生对如何证明平分弦，可能会有一定困难，此时应引导学生类比等腰三角形，通过连接OA、OB，构造等腰三角形，并利用三角形全等的知识来证明；另外，在证明直径平分弦所对的弧，也是一个难点，学生会觉得比较难表述，这时应类比等腰三角形的轴对称性，运用圆的轴对称性启发引导；在活动2中，学生的说法可能不够准确、精炼，但教师应该鼓励学生坚持勇于尝试，让学生互相指出说法的不足和缺陷，互相加以修正，在反复的语言提炼中对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识，这也是一个自主构建的过程；活动3是通过反例说明定理的条件的必要性和严谨性，要注意让学生学会通过反例找出对应缺失的条件，提高学生对定理的理解；在活动4中，学生已经有了活动1的经验，教师应放手让学生去猜想、类比、探索和证明，增加学生对数学知识的探索的领悟和经验；活动5与活动3相似．
第三环节 知识应用
活动内容：
讲解例题及完成随堂练习．
1．例：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m．
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC2=CF2 +OF2
即 R2=3002+(R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545m.
2．随堂练习1．1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径．（结果精确到0.1米）．
3．随堂练习2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
有三种情况：（1）圆心在平行弦外；
（2）圆心在其中一条弦上；
（3）圆心在平行弦内．
活动目的：活动1、2的主要目的是让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题；活动3的主要目的是让学生通过作垂线段构造符合定理使用的条件，从而运用定理解决问题，以及培养学生解题中的分类思想．
实际教学效果：
在活动4中，对于例题和随堂练习1教师要引导学生如何够造可以应用垂径定理的几何构图，让学生积累如何添加辅助线的经验，以及体会到构造直角三角形并利用勾股定理列方程在解决几何问题中的作用，培养数形结合的思想．对于随堂练习2，教师要引导学生通过自行画图，探索分析符合条件图形有多少种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，并通过添加辅助线构造可以应用垂径定理的条件，以及比较三种构图的共同点，得出说理的思路都是一样的结论．
第四环节 归纳小结
活动内容：
学生交流总结
1．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
活动目的：
通过回顾本节课的各个环节，鼓励学生交流自己的收获和感想，加深对本节课知识和探索方法的理解和掌握，培养学生养成归纳反思的学习习惯．
实际教学效果：
学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，大多都是围绕知识本身，教师应引导学生对探索知识的方法也能归纳反思．
四、教学设计反思
1．要从培养学生学习方法的角度使用教材
教材为教师提供了基本的教学素材，但如何使用这些素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．学生在探索垂径定理的时候，其中一个难点在于如何证明垂径定理，这时通过类比等腰三角形的轴对称性，可以使学生对证明的思考得到突破，从而寻找出合理的证明方向．这既使学生掌握了新知识，也培养了学生的学习数学的类比思想和观察、猜想的能力．
2．要鼓励学生敢于表述和善于纠错
垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点，教师如果直接给出，则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会．因此，应该让学生大胆表述，并对各人的表述严谨分析，找出漏洞，反复提炼，直至得出正确的说法，使学生得到更好的锻炼．
3．注意改进的方面
本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用．
课件17张PPT。第三章 圆3.3 垂径定理等腰三角形是轴对称图形吗？
如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？③AM=BM,① CD是直径② CD⊥AB条件结论 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM(HL).∴AM=BM.∠AOC＝∠BOC∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时, 点A与点B重合,CD⊥AB,∵ CD是直径,∴AM=BM, 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。(包括优弧和劣弧）几何语言条件结论（1）过圆心
（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧分析CD为直径，
CD⊥AB｝｛1.判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——
直径（半径），垂直于弦××√B2、请画图说明垂径定理的条件和结论.垂径定理的逆定理如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.M③CD⊥AB,垂径定理的逆定理 由 ① CD是直径② AM=BM平分弦（不是直径）的直径
垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
垂径定理的推论的题设和结论可用符号语言表示为：为什么要强调这条弦不是直径？是因为若弦是直径，则直径之间即使互相平分，也不一定互相垂直。M平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？解这个方程，得R=545.解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD根据勾股定理，得
OC2=CF2 +OF2即 R2=3002+(R-90)2.所以，这段弯路的半径为545m.1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？有三种情况：1、圆心在平行弦外；
2、圆心在其中一条弦上；
3、圆心在平行弦内。⌒⌒1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.练习：Ｐ76，《同步精练》
作业：Ｐ77习题3、4
