圆周角和圆心角的关系练习题
一、判断题
1．在两个圆中，分别有和，若的度数是的度数的2倍，则所对的圆心角是所对的圆心角的2倍． [ ]
2．与的度数相同，那么=． [ ]
3． 两条弧所含的度数相等, 叫等弧． [ ]
二、选择题
1． 若C、D为半圆AB上三等分点,那么CD:AB为 ___________． [ ]
A．2∶ B．1∶ C．2∶1 D．1∶2
2．如图, AB是⊙O的直径, CD是AO的垂直平分线, EF是OB的垂直平分线, 则下列结论正确的是 ___________． [ ]
三、填空题
1．如图，在两个同心圆中，为60°，则的度数为__________．
2． 弦MN把⊙O分成两段弧, 它们的度数比为4:5, 如果T为劣弧MN的中点, 那么∠MOT=________．
3． OA是圆O的半径, 过OA的中点E作OA的垂线交圆O于B, C, 则弧BAC的度数是________．
4． 6cm长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．
5． 在圆中等于半径的弦所对圆心角的度数是_______,弦所对劣弧所含圆周角的度数是______．
6．如图, 在△ABC中, ∠C是直角, ∠A=32°18', 以C为圆心, BC为半径作圆交AB于D，交AC于E，则的度数是______．
7． AB弦把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，则这两弧中，劣弧所对圆心角的度数为________．
8．如图, AB为⊙O的弦, ∠OAB=75°, 则此弦所对的优弧是圆周的________．
9． 在同一个圆中, 当圆心角不超过180°时, 圆心角越大, 所对的弧______;所对的弦__________, 所对弦的弦心距____________．
10． ⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长8cm，那么⊙O的半径等于_____，OM的长为_________．
11．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于________度．
四.解答题
1．如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则图中共有________个圆周角，分别是________________．
2．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，求所对的圆周角的大小．
3．AB是⊙O的一条弦，过点O作AB的垂线，垂足为C，已知OC等于⊙O直径的，求劣孤所对的圆周角的大小．
4．如图，在⊙O中，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BOC的大小．
5．如图，在⊙O中，∠ACD＝15°，，求∠BPC的大小．
3.3圆周角与圆心角的关系试题一
一、判断题
1． √2． ×3． ×
二、选择题
1． D 2． A
三、填空题
1． 60°
2． 80°
3． 120°
4．cm
5． 60°,150°
6． 64°36'
提示：∠B=90°-32°18'=57°42'
连结CD则∠CDB=57°42'
∴∠BCD=180°-57°42'×2=64°36'
7． 160°
8．
9． 越长, 越长, 越短
10． 5cm，3cm
11． 55
四.解答题
1．6个，∠ACB，∠BCE，∠ACE，∠CBD，∠CED，∠BDE．
2．30°．
3．60°．
4．∠BOC＝100°．
提示：连接OA．
5．∠BPC＝40°．
第三章 圆
《圆心角和圆周角的关系（第2课时）》
教学设计说明
佛山市华英学校 郭艳锋
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在本节的第一课时，通过探索，已经学习了圆心角和圆周角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟悉，具备了灵活应用本关系解决问题 的基本能力.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了化归和分类讨论的数学方法，获得了得到数学结论的过程中，可以采用的数学方法解决的经验，同时在学习过程中也经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交流的能力.
教学任务分析
本节共分2个课时，这是第2课时，主要研究圆周角定理的2个推论，并利用这些解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：
知识与技能：
1．掌握圆周角定理的2个推论的内容.?
2．会熟练运用推论解决问题.
过程与方法
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力.
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.
情感态度与价值观：培养学生的探索精神和解决问题的能力.
教学重点：圆周角定理的几个推论的应用.
教学难点：理解几个推论的“题设”和“结论”
教学设计分析
本节课设计了七个教学环节：课前复习——新课学习（一）——推论的应用（一）——新课学习（二）——推论的应用（二）——方法小结——作业布置.
第一环节 课前复习
活动内容：
1.求图中角X的度数：
x= x=
2.求图中角X的度数：
∠ABF=20°，∠FDE=30°
x= x=
活动目的：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；练习2是复习定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.
活动的注意事项：两个题目相对比较简单，关键在于引导学生学会看图，从图中看出圆心角和圆周角的一些关系.第2题的第2个图难度稍大，学生不易一眼看出个中关系，需要借助辅助线，连接CF，把x分解为2个角，使得问题简单解决，本题需要重点讲解，体现读图和应用的灵活性.
第二环节 新课学习（一）
活动内容：
（1）观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？
首先，让学生明确，“它所对的圆周角”指的是哪个角？（∠BAC）
然后，让学生猜想，这个角的特点，并拿量角器实际测量，看看猜测是否准确.（∠BAC是一个直角）
最后，让学生自行考虑进行证明的方法.引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明.
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：
∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
（2）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
首先，让学生猜想结果；
然后，再让学生尝试进行证明.
解：弦BC是直径.
连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
（3）从上面的两个议一议，得出推论：
直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
几何表达为：
直径所对的圆周角是直角；
∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
90°的圆周角所对的弦是直径.
∵∠BAC=90° ∴BC为直径
活动目的：本环节的设置，需要学生经历猜想——实验验证——严密证明，这三个基本的环节，从而推导出从圆心角和圆周角关系定理推导出的两个推论.
活动的注意事项：在（2）证明弦BC是直径的问题中，学生往往容易进入误区，直接连接BC，认为BC过点O，则直接说BC是直径，这样的说理是错误的，应该是连接OB和OC，再证明三点共线.在此需要特别指出注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.对于三点共线，学生也可能忘记，需要老师从旁提醒.
第三环节 推论的应用（一）
活动内容：
（1）小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？
（2）如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.
解∵AB为直径
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∠ABC=30°，AB=10
∴
活动目的：在学习了推论“直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.”立刻安排两个简单练习让学生进行实际应用，目的的增加学生对这两个推论的熟练程度，并学习灵活应用这两个推论解决问题.第1题是实际问题，具有现实生活的实际意义，用利于提高学生应用数学解决实际问题的能力.
活动的注意事项：第2题练习中，涉及“在直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”这个定理的使用，估计学生不容易想到应用这个定理，从而无法解决这个问题，让学生思考后，发现无法联系到本定理，则需要老师从旁适时提醒.
第四环节 新课学习（二）
活动内容：
（一）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
首先：引导学生进行猜想；
然后：让学生进行证明.
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
（二）如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
首先：让学生猜想结论；
然后：让学生拿出量角器进行度量，实验验证猜想结果；
最后：让学生利用所学知识进行严密证明.
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∵,（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
（三）圆内接四边形概念与性质探索
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
得出定义：四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；
这个圆叫做四边形的外接圆.
通过议一议环节，我们我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
推论：圆内接四边形的对角互补.
几何语言：
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
活动目的：本活动环节，目的是通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生再次经历猜想，实验，证明这三个探索问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，再引入相关概念，得出相关推论.
活动的注意事项：在（二）的探索中，学生会陷入∠BAD和∠BCD所对圆心角混淆的误区，以及不会对这两个圆心角的角度进行表达.其次，在两个图形中四边形ABCD的共同特征探索方面，学生可能会简单问题复杂化，想到其他比较复习的特征，该给予肯定，但要引导学生不要把问题向复杂方向思考.
第五环节 推论的应用（二）
活动内容：
如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
让学生自主经历猜想，实验验证，严密证明三个环节
解：∠A=∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠A=∠DCE
活动目的：通过一个练习，让学生自主经历解决问题的三个基本环节，从而巩固本节课学习方法的应用.
活动的注意事项：个别学习能力低下的学生会不懂得思考问题的方式和方法，让学生做的时候，适当关注这部分学生，作出及时引导.
第六环节 方法小结
活动内容：
议一议：在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流.
让学生自主总结交流，最后老师再作方法归纳总结.
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.
方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律.
活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.
活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.
第七环节 作业布置
随堂练习3.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠A:∠C=4:5
∴
即∠C的度数为100°.
习题3.5
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数.
解：∵∠BOD=80°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠DAB+∠BCD=180°
∴∠BCD=180°-40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.
（方法一）解：连接BC
∵AB为直径
∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15°=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）
（方法二）解：连接OD
∵∠ACD=15°
∴∠AOD=2∠ACD=30°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°,求∠A的度数.
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
∠EBF+∠ABE=180°
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∴∠A=40°
4.如图，⊙O1与⊙O2都经过A，B两点，且点O2在⊙O1上，点C是弧AO2B上的一点（点C不与A，B重合），AC的延长线交⊙O2于点P，连接AB，BC，BP.
（1）根据题意将图形补充完整；
（2）当点C在弧AO2B上运动时，图中大小不变的角有哪些？（将符合要求的角都写出来）
解：大小不变的角有：
∠ACB
∠APB
∠BCP
教学设计反思
1.根据学生特点灵活应用教案
本教案的编写，学生的能力是相对较高的，因此课堂的容量会比较大，如果碰到学习能力不足的学生群体，则要根据实际情况进行调整，可以把第三环节的应用减少为一道题目，或者合并到第五环节两个应用一起进行.
2.让学生有充分的探索机会，经历猜想，实验证明，严密证明的环节
学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量，验证猜想，最后再进行严密的几何证明.
课件21张PPT。第三章 圆3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半B1.求图中角X的度数X= X= 35°120°同弧或等弧所对的圆周角相等2.求图中角X的度数60°xX= X= 60°50°20°x30°ABCDEF观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：
∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线。也可得到：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。推论：直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。几何语句：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°几何语句：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？√√如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长。解∵AB为直径
∴∠BCA=90°
在Rt△ABC中，
∠B=30°，AB=10
∴如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ADC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立
连接OB，OD
∵
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补12如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？圆内接四边形的对角互补。几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） 圆内接四边形的四个顶点到圆心的距离相等。如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？解：∠A=∠CDE
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°
∴∠A=∠DCE结论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验证——严密证明”三个基本环节.
方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律. 在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4:5，求∠C的度数。
解∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C=180°（圆内角四边形的对角互补）
∵∠A:∠C=4:5
∴
即∠C的度数为100°。1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和∠C的度数。解：∵ ∠BOD =80°
∴
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠DAB+∠C=180°
∴∠C=180°-40°=140°
（圆内接四边形的对角互补）2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。解：连接BC
∵AB为直径
∴∠BCA=90°
（直径所对的圆周角为直角）
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15°=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）方法一：2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数。解：连接OD
∵∠ACD=15°
∴∠AOD=2∠ACD =2×15°=30°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴∠BOD=180°-30°=150°
∴∠BAD=?∠BOD= 75°方法二：3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F =60°,求∠A的度数。解：
∵∠DCB是?DCE的一个外角
∴∠DCB=∠E+∠EDC
∵∠EDC是?ADF的一个外角
∴∠EDC= ∠EBF=180°
∵∠EDC=∠F+∠A
∴∠DCB=∠E+∠F+∠A=100°+∠A
∵∠DCB+∠A =180°
∴100°﹢∠A﹢∠A=180°
∴∠A=40°.CP.CP大小不变的角有：
∠ACB
∠APB
∠BCP∠CBP小结：
1、推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径。
2、圆内接四边形的对角互补。
3、圆内接四边形的四个顶点到圆心的距离相等.
4、圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
作业：
Ｐ84习题2、3
